化圆为方

哲学家阿那克萨戈拉（约公元前 500—约公元前 428）是伯里克利（公元前 494—公元前 429）的朋友兼老师。他因宣称太阳是一团红热的石头而被捕。根据传记作者兼评论家普鲁塔克（约 46—120）的说法，阿那克萨戈拉在狱中一直尝试化圆为方。这是我们已知的化圆为方问题首次出现。

到公元前 5 世纪末，这一问题已经出名到变成了大众文化的一部分。公元前 411 年，阿里斯托芬（约公元前 446—约公元前 386）在他的喜剧《鸟》中玩了一个文字游戏，间接提到了这一著名问题。但他的描述稍有不同（把一个圆分成四块）。在这一段落的结尾中，一个角色把另一个角色比作米利都的泰勒斯（约公元前 624—约公元前 546）。泰勒斯是古希腊早期的一位数学家、哲学家和天文学家。^[2]

历数家：我把这根弯曲的尺放在这上面，在这点放上我的圆规。明白吗？

珀斯特泰洛斯：我不明白。

历数家：我用这根直尺测量，化圆周为四方，中间作为市场，许多直路通到这中心地带，犹如星体本身虽然是圆的，直的光线则从此照耀到各处。

珀斯特泰洛斯：这家伙简直是个泰勒斯。1

1《鸟》，杨宪益译。——译者注

但是在某种意义上，化圆为方问题比这还要古老。自从人类第一次用绳子和两根树枝在地上画出一个圆，我们就一直追寻着这一完美几何图形的本质。圆的面积是多少？它的周长又如何计算？它究竟是什么？无论是古巴比伦人、古埃及人、古印度人还是中国人，大多数文明研究出了估算圆面积和周长的方法，但没有办法准确解释这两个量和单位长度以及单位面积之间的关系。

因为过于出名，化圆为方问题已经从数学领域走进了大多数人的词典中。时至今日，“化圆为方”这一说法已经等同于完成不可能完成的任务。化圆为方还有一个伴生问题——化圆为线，它们的表述都很简单。

化圆为方：已知一个圆，用尺规作正方形，使得两者面积相等。

化圆为线：已知一个圆，用尺规作线段，使得其长度等于圆周长。

每个学龄儿童都会学习基本的尺规作图技巧，所以这个看上去简单的问题吸引了无数业余数学家。就连亚伯拉罕·林肯（1809—1865）都曾涉猎此问题。我们都知道林肯基本上是自学成才的，但很少有人知道在 19 世纪 50 年代，他在作为巡回法院律师周游美国的时候自学了《几何原本》。林肯的合伙人赫恩登某天早上在办公室发现了林肯，他这样描述当时的情形：^[3]

他坐在桌旁，面前摆着一沓白纸、一大块厚纸板、一支圆规、一把直尺、无数支铅笔、几瓶不同颜色的墨水，还有一大堆文具和书写用品。他明显在奋战于某种长度计算，因为他身边散布着一张又一张的纸，上面都写满了某种不同寻常的数字排列。他沉浸在学习中，我进门时他几乎没有抬头看我。我承认我想知道他在干什么……当他站起来时……他教导我说他正在试着解决困难的化圆为方问题……接下来两天的大部分时间，他都全神贯注在这一即便不是不可解，也是极为困难的问题上。我觉得他几乎要累瘫了。

化圆为方问题，也被称作圆的求积问题。它是更大的一类几何问题中的一个。要把某个图形化为方形，我们需要作一个和原图形有相同面积的正方形；在欧几里得几何中，这就等同于求图形的面积。

为了演示这个问题中涉及的知识，我们首先看一个最基本的面积问题。图 1.1 中的三角形底为 2，高为 1，所以它的面积是 1。为了把这个三角形化为方形，我们必须作一个 1×1 的正方形。这用尺规可以轻而易举地做到。图 1.2 给出了作法：从第一步到第五步，我们得到了一条经过 且垂直于 的直线，以及点 。第六步和第七步得到了点 。、、 和 就是所要求作的正方形的四个顶点。

图 1.1　化三角形为方：一个 1×1 的正方形和底为 2、高为 1 的三角形面积相同

图 1.2　以 为边的正方形的作法

上述的步骤仅适用于一小部分底和高的比是 2∶1 的三角形。我们会在后面介绍如何把更一般的图形，比如长方形、三角形、任意数量条边的多边形，以及一些有弯曲边界的图形，化为方形。尽管古希腊人和未来的数学家可以把一些极为复杂的图形化为方形，他们对于圆这一几何学中最简单的图形仍然束手无策。

化圆为方和化圆为线问题在本质上都和常数 有关。 一般被定义为圆周长和直径的比值，也就是 。但是它也把圆的面积和半径联系了起来，即 。

已知一个半径为 的圆，那么具有相同面积的正方形边长应该是 （图 1.3）。因此，为了化圆为方，我们必须能作一条长度为 的线段。同理，为了化圆为线，我们必须能作一条长度为 的线段。我们随后会看到，这两者的困难程度是相同的。如果我们能解决其中一个问题，那另一个也会迎刃而解。事实上，如果给定一个半径为 1 的圆，那么当且仅当能作长度为 的线段时，我们才能解决这两个问题。

图 1.3　要把半径为 的圆化圆为方，我们必须作一个边长为 的正方形。而要把它化圆为线，我们必须作一条长度为 的线段

因此，为了理解和解决化圆为方问题，我们必须先研究 的历史和本质。