5 毕达哥拉斯定理

影响最早且被人们所熟知的数学定理，恐怕就是“毕达哥拉斯定理”了。它描述的是关于直角三角形三边代数关系的一个基本事实。它为我们提供了一个已知三角形的两边如何求解第三条边的方法。但是“毕达哥拉斯定理”并非对所有的三角形都成立。它的适用范围仅限三角形的特殊子集——直角三角形。

不知道是哪位几何学家最先发现了直角三角形的三条边的关系。据考证，早在公元前1700年，古巴比伦的数学家已经对此十分了解（见第6篇，Yale碑上的图片）。这就意味着，早在毕达哥拉斯之前，许多人可能已经发现了这个事实。比如有证据显示在古希腊人对这个问题感兴趣的数世纪之前，古印度和中国就已经知道了这一事实。遗憾的是，并没有史料证实，早期的思考者有没有把这个事实从观察的角度上升到一个定理：这一观察对所有直角三角形都成立，并给出相应的证明。对这个定理现存的最早证明出现在欧几里得的《几何原本》中（见第9篇）。因此，即使是在古代，这个结果也归功于那个名字与该定理紧密相连的人，即毕达哥拉斯。

神秘的毕达哥拉斯

毫无疑问，毕达哥拉斯是对古希腊文化很有影响力的人，他的一生都笼罩着一层神秘的色彩！一位诗人曾称他为宇宙之神阿波罗的儿子，还有人尊称他是宙斯的使者。关于他神话般能力的故事也有很多。其中，包括他拥有可以在两个地方同时出现的能力，甚至有传言，认为他在返回人类王国之前，曾在地下世界度过了207年。

众所周知，毕达哥拉斯是一位哲学家、数学家，是毕达哥拉斯学派的领袖。他在意大利南部的土地上建立了他们的第一所学校。毕达哥拉斯学派信奉素食主义，他们相信人死后灵魂可以转生到其他动物。最重要的是，毕达哥拉斯学派还深信，在深层次上，能够使这一切发生的是数学，特别是几何学在其中起到了巨大作用。于是，他们对数学的热衷，已不是单纯的好奇，而是成了他们人生的使命。

毕达哥拉斯定理的内容

毕达哥拉斯研究的三角形，即由三条边首尾相连构成的图形。他研究的是其中的一类特殊情况——直角三角形，即有两条边互相垂直。定理的内容是：在直角三角形中，若三条边长分别是a、b、c，其中c是最长的，则它们一定满足

a2+b2=c2

即a×a+b×b=c×c。这条最长边通常被称为“斜边”，是直角的对边，如果一个直角三角形中两条短边的长分别是3和4个单位长度，则斜边长必定等于5个单位长度，因为32+42=9+16=52。

毕达哥拉斯定理的证明

毕达哥拉斯去世后的数世纪，已有多种方法可以证明该定理的正确性。目前已知的好几百种不同的证明里，所应用的技巧也各有不同。其中，最漂亮的一个证明是由12世纪印度几何学家婆什迦罗给出的，婆什迦罗的证明是先构造4个要讨论的直角三角形，并将这4个直角三角形用两种不同的方法排在一个正方形框架中，该框的边长是a+b。在第二种排法中剩余的空间可放入一个边长为c的正方形，当然在这两种情况下总面积是相等的，也就是说，两个小正方形的面积加起来等于大正方形的面积，或可写成：a2+b2=c2。

毕达哥拉斯和距离

直角三角形仅占据图形的很小一部分，可是为什么毕达哥拉斯定理在数学中占据着如此重要的地位呢？答案是这样的，我们估计距离的一般方法是：如果一张纸上两点的水平距离是3cm，垂直距离是4cm，则在这个问题中隐藏着一个直角三角形。这两点间的直线距离可以由这个看不见的直角三角形的斜边给出：5cm。

最重要的是，毕达哥拉斯学派还深信，在深层次上，能够使这一切发生的是数学，特别是几何学在其中起到了巨大作用。于是，他们对数学的热衷，已不是单纯的好奇，而是成了他们人生的使命。

事实上，很多著名理论的背后都隐藏着毕达哥拉斯定理。例如，欧几里得定义的圆，是到中心距离等于定长r的点的集合。虽然一个圆看起来不怎么像直角三角形。但是距离本身的准确记法却是用毕达哥拉斯定理来表示的，这就是为什么圆的标准方程与这个定理如此相像：x2+y2=r2。

毕达哥拉斯定理与数论

毕达哥拉斯定理是几何学中的一个定理，但它却暗示着另外一个重要的数学分支——数论。所有直角三角形的三边能否都由整数给出？通常这种情况不会发生（见第6篇）。但是也有一些毕达哥拉斯三元数的例子，其中，（3,4,5）是第一个，接着是（5,12,13）、（7,24,25）和（6,15,17），是否有无限多对这样的三元数对？这一问题被欧几里得所肯定并给予解决。当毕达哥拉斯定理中的平方被更高次方取代，是否仍有相似的组合数？这一问题就是“费马大定理”（见第91篇）。