1.2 检测技术基础知识
当今传感器检测技术早已无处不在，如商场、银行的自动门，酒店自动升降电梯，洗手间的自动水龙头等都应用了传感器检测与控制技术。如何有效地利用传感器实现各种参数的自动检查和精确测量，则是整个自动控制系统的基础。为了更好地掌握传感器检测技术的相关知识，需要对检测技术的基本概念、基本测量方法、检测系统的组成、测量误差及数据处理等方面的理论及工程应用进行学习和研究，只有了解和掌握了这些基本理论，才能更有效地完成检测任务。
1.2.1 检测系统的组成
1.检测的概念
检测就是人们借助于仪器、设备，利用各种物理效应，采用一定的方法，将被测量的有关信息通过检查与测量获取定性或定量信息的过程。这些仪器和设备的核心部件就是传感器。检测包含检查与测量这两个方面，检查往往是获取定性信息，而测量则是获取定量信息。
检测技术是一门以研究检测系统中的信息提取、信息转换以及信息处理的理论与技术为主要内容的应用技术学科。检测技术主要研究被测量的测量原理、测量方法、检测系统和数据处理等方面的内容。
2.检测系统
一个完整的检测系统，首先应获得被测量的信息，并通过信号变换电路转换把被测量的信号变换为电量，然后进行一系列的处理，再用指示仪或显示仪将信息输出，或由计算机对数据进行处理等。检测系统的组成如图1-12所示。
图1-12 检测系统组成框图
传感器作为检测系统的第一环节，它将完成检测过程中信息的采集。一般需要将被测信息转换成电信号，也就是说，把被测信号转换成电压、电流或电路参数（电阻、电感、电容）等电信号输出。例如，将机械位移转换为电阻、电容或电感等电参数的变化；又如将振动或声音转换成电压或电荷量的变化。
信号变换部分是对传感器所送出的信号进行加工，如将电阻抗变为电压或电流、对信号进行放大等。为了用传感器输出的信号进一步推动显示、记录仪器和控制器，或将此信号输入计算机进行信号的分析和处理，需对传感器输出的信号做进一步变换。信号变换的具体内容很多，如用电桥将电路参量（如电阻、电容、电感）转换为可供传输、处理、显示和记录的电压或电流信号；利用滤波电路抑制噪声，选出有用信号；对在传感器及后续各环节中出现的一些误差做必要的补偿和校正；信号送入计算机以前需经模-数转换及在计算机处理后送出时需经数-模转换等。经过这样的加工，使传感器输出的信号变为符合需要、便于传输、便于显示或记录和可做进一步处理的信号。
显示记录装置将所测信号变为一种能为人们所理解的形式，以供人们观测和分析。
数据处理装置用来对被测结果进行处理、运算、分析，对动态测试结果做频谱分析、能量谱分析等，完成这些工作必须用计算机技术。在自动控制系统中，经信号处理电路输出的与被测量对应的电压或电流信号还可以驱动某些执行机构动作，以便为自动控制系统提供控制信号。
上述检测系统各组成部分都是“功能块”的含义，在实际工作中，这些功能块所表达的具体装置或仪器的伸缩性是很大的。例如，信号变换部分可以是由很多仪器组合而成的一个完成特定功能的复杂群体，也可以简单到一个变换电路，甚至可能仅是一根导线。
检测系统在一定程度上是人类感官的某种延伸，但它能获得比人的感官更客观、更准确的量值，具有更为宽广的量程，反应更为迅速。不仅如此，检测系统通过对所测结果的处理和分析，把最能反映研究对象本质的特征量提取出来并加以处理，这就不仅是单纯的感官的延伸，而且具有了选择、加工、处理以及判断的能力，也可以认为是一种智能的复制和延长。
1.2.2 测量方法
1.测量
测量是人们借助专门的技术和设备，通过实验的方法，把被测量与单位标准量进行比较，以确定出被测量是标准量的多少倍数的过程，所得的倍数就是测量值。测量结果可用一定的数值表示，也可以用一条曲线或某种图形表示。但无论其表现形式如何，测量结果应包括两部分：比值和测量单位。测量过程的核心就是比较。
2.测量方法
测量方法对检测系统是十分重要的，它直接关系到检测任务是否能够顺利完成。因此需针对不同的检测目的和具体情况进行分析，然后找出切实可行的测量方法，再根据测量方法选择合适的检测技术工具，组成一个完整的检测系统，进行实际测量。
对于测量方法，从不同的角度出发，可有不同的分类方法。
根据测量手段不同分为直接测量、间接测量和组合测量；根据测量方式不同分为偏差式测量、零位式测量和微差式测量；根据测量的精度要求不同分为等精度测量和非等精度测量；根据被测量变化情况不同分为静态测量和动态测量；根据敏感元件是否与被测介质接触可分为接触测量和非接触测量等。
（1）直接测量、间接测量和组合测量
1）直接测量。在使用仪表进行测量时，对仪表读数不需要经过任何运算，就能直接表示测量所需要的结果，称为直接测量。例如，用磁电式电流表测量电路的电流，用弹簧管式压力表测量锅炉的压力等就是直接测量。直接测量的优点是测量过程简单而迅速，缺点是测量精度不容易做到很高，这种测量方法在工程上被广泛采用。
2）间接测量。有的被测量无法或不便于直接测量，这就要求在使用仪表进行测量时，首先对与被测物理量有确定函数关系的几个量进行测量，然后将测量值代入函数关系式，经过计算得到所需的结果，这种方法称为间接测量。例如，要测量某长方体的密度ρ，其单位为kg/m3，显然无法直接获得具有这种单位的量值，但是可以先测出长方体的长、宽和高，即a、b、c（单位为m）及其质量m（单位为kg），然后根据ρ=m/（abc）求得密度。
间接测量比直接测量所需要测量的量要多，而且计算过程复杂，引起误差的因素也较多，但如果在比较理想的条件下进行间接测量，对误差进行分析并选择和确定优化的测量方法，测量结果的精度不一定低，有时还可得到较高的测量精度。间接测量一般用于不方便直接测量或者缺乏直接测量手段的场合。
3）组合测量。在应用仪表进行测量时，若被测物理量必须经过求解联立方程组才能得到最后结果，则称这样的测量为组合测量（又称联立测量）。在进行组合测量时，一般需要改变测试条件才能获得一组联立方程所需要的数据。
组合测量是一种特殊的精密测量方法，操作手续较复杂，花费时间长，一般适用于科学实验或特殊场合。
（2）偏差式测量、零位式测量与微差式测量
用仪表指针的位移（即偏差）决定被测量的量值，这种测量方法称为偏差式测量。应用偏差式测量时，仪表刻度事先用标准器具标定。在测量时，输入被测量，按照仪表指针标识在标尺上的示值，决定被测量的数值。这种方法测量过程比较简单、迅速，但测量结果精度较低。
零位式测量是用指零仪表的零位指示检测来测量系统的平衡状态，在测量系统平衡时，用已知的标准量决定被测量的量值的测量方法。应用这种测量方法进行测量时，已知标准量直接与被测量相比较，已知量应连续可调，指零仪表指零时，被测量与已知标准量相等。例如，天平、电位差计等。零位式测量的优点是可以获得比较高的测量精度，但测量过程比较复杂，测量时要进行平衡操作，耗时较长，不适用于测量快速变化的信号。
微差式测量是综合了偏差式测量与零位式测量的优点而提出的一种测量方法。它将被测量与已知的标准量相比较，取得差值后，再用偏差法测得此差值。故这种方法的优点是反应快，而且测量精度高，特别适用于在线控制参数的测量。
（3）等精度测量与非等精度测量
在整个测量过程中，若影响和决定测量精度的全部因素（条件）始终保持不变，如由同一个测量者，用同一台仪器，采用同样的方法，在同样的环境条件下对同一被测量进行多次重复测量，称为等精度测量。在实际中，很难做到这些因素（条件）全部始终保持不变，所以一般情况下只是近似地认为是等精度测量。用不同精度的仪表或不同的测量方法，或在环境条件相差很大的情况下对同一被测量进行多次重复测量称为非等精度测量。
（4）静态测量与动态测量
被测量在测量过程中认为是固定不变的，这种测量称为静态测量。静态测量不需要考虑时间因素对测量的影响。
若被测量在测量过程中是随时间不断变化的，这种测量称为动态测量。
在实际测量过程中，需要根据测量任务的具体情况，决定选用哪种测量方法。
1.2.3 测量误差及分类
1.测量误差
测量的目的是希望通过测量获取被测量的真实值。但在实际测量过程中，由于种种原因，例如，传感器本身性能不理想、测量方法不完善、受外界干扰影响及人为的疏忽等都会造成被测参数的测量值与真实值不一致，两者的不一致程度用测量误差表示。
测量误差就是测量值与真实值之间的差值，它反映了测量的精度。测量误差可用绝对误差表示，也可用相对误差表示。
2.误差的表示方法
（1）绝对误差
绝对误差是指测量值与真值之间的差值，它反映了测量值偏离真值的多少，即
式中，A0为被测量真值，Ax为被测量实际值。
由于真值的不可知性，在实际应用时，常用以下三种真值代替。
①理论真值：由理论推导出来的真值，如三角形内角和为180°。
②约定真值：按照国际公认的单位定义的真值，如在标准条件下，水的冰点和沸点分别为0℃和100℃。
③相对真值（实际真值）：即用被测量多次测量的平均值或上一级标准仪器测得的示值作为实际真值。相对真值在误差测量中的应用最为广泛。
（2）相对误差
相对误差能够反映测量值偏离真值的程度，相对误差通常比绝对误差能更好地说明不同测量的精确程度，相对误差越小，准确度越高。它有以下三种常用形式。
1）实际相对误差。实际相对误差是指绝对误差Δ与被测量真值A0的百分比，用γA表示，即
2）示值（标称）相对误差。示值相对误差是指绝对误差Δ与被测量实际值Ax的百分比，用γx表示，即
3）引用（满度）相对误差。引用相对误差是指绝对误差Δ与仪表满度值Am的百分比，用γm表示，即
仪表的满度值Am也称量程，等于测量上限减去测量下限，如某温度计的测量范围是-50～150℃，其量程为150℃-（-50）℃=200℃。
当式（1-10）中的Δ取最大值Δm时，其满度相对误差常被用来确定仪表的准确度等级S，即
根据准确度等级S及量程范围，可以推算出该仪表可能出现的最大绝对误差Δm。准确度等级S规定取一系列标准值。我国模拟仪表有下列7种等级：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0。它们分别表示对应仪表的满度相对误差所不应超过的百分比。从仪表面板上的标志可以判断出仪表的等级。仪表在正常工作条件下使用时，各等级仪表的基本误差不超过表1-2所规定的值。
表1-2 仪表的准确度等级和基本误差
仪表的准确度习惯上称为精度，准确度等级习惯上称为精度等级。等级的数值越小，仪表的精度就越高。根据仪表的等级可以确定测量的满度相对误差和最大绝对误差。例如，在正常情况下，用0.5级、量程为100℃的温度表来测量温度时，可能产生的最大绝对误差为
Δm=（±0.5%）×Am=±0.5%×100℃=±0.5℃
在正常工作条件下，可以认为仪表的最大绝对误差是不变的，而示值相对误差γx随示值的减小而增大。
例如，用上述温度表来测量80℃的温度时，相对误差为
用它来测量10℃的温度时，相对误差为
【例1-1】 某压力表精度等级为2.5级，量程为0～1.5MPa，测量结果显示为0.70MPa，试求：
1）可能出现的最大满度相对误差γm。
2）可能出现的最大绝对误差Δm为多少kPa？
3）可能出现的最大示值相对误差γx。
解：1）可能出现的最大满度相对误差可以从精度等级直接得到，即γm=2.5%。
2）可能出现的最大绝对误差Δm为
Δm=γm×Am=2.5%×1.5MPa=37.5kPa
3）可能出现的最大示值相对误差为
由上例可知，γx总是大于（满度时等于）γm。
【例1-2】 现有0.5级的、量程为0～300℃的温度计和1.0级的、量程为0～100℃的温度计，要测量80℃的温度，试问采用哪一个温度计好。
解：用0.5级温度计测量时，可能出现的最大示值相对误差为
若用1.0级表测量时，可能出现的最大示值相对误差为
计算结果表明，1.0级温度计比0.5级温度计示值的相对误差反而小，所以更合适。由上例可知，在选用仪表时应兼顾精度等级和量程，通常希望示值落在仪表满度值的2/3以上。
3.测量误差的分类
（1）按误差表现的规律划分
根据测量数据中的误差所呈现的规律，将误差分为三种，即系统误差、随机误差和粗大误差。这种分类方法便于测量数据的处理。
1）系统误差。系统误差也称为装置误差，它反映了测量值偏离真值的程度。凡误差的数值固定或按一定规律变化者，均属于系统误差。按其表现的特点，可分为恒值误差和变值误差两大类。在整个测量过程中，恒值误差的数值和符号都保持不变。例如，由于刻度盘分度差错或刻度盘移动而使仪表刻度产生误差，皆属此类。
大部分附加误差属于变值误差，例如，环境温度波动使电源的电压下降、电子元器件老化、机械零件变形移位、仪表零点漂移等。
系统误差是有规律性的，因此可以通过实验的方法或引入修正值的方法计算修正，也可以通过重新调整测量仪表的有关部件予以消除。
2）随机误差。对同一被测量进行多次重复测量时，若误差的大小随机变化、不可预知，这种误差称为随机误差。随机误差是测量过程中，许多独立的、微小的、偶然的因素引起的综合结果。
对随机误差的某个单值来说，是没有规律、不可预料的，但从多次测量的总体上看，随机误差又服从一定的统计规律，大多数服从正态分布规律。因此，可以用概率论和数理统计的方法，从理论上估计其对测量结果的影响。
3）粗大误差。明显偏离真值的误差称为粗大误差，也叫过失误差。粗大误差主要是由于测量人员的粗心大意及电子测量仪器受到突然而强大的干扰所引起的。如测错、读错、记错和尖峰干扰等造成的误差。就数值大小而言，粗大误差明显超过正常条件下的误差。当发现粗大误差时，应予以剔除。
（2）按被测量与时间关系划分
按被测量与时间关系，将误差划分为静态误差和动态误差。
1）静态误差。在被测量不随时间变化时所产生的误差称为静态误差。前面讨论的误差多属于静态误差。
2）动态误差。当被测量随时间迅速变化时，系统的输出在时间上不能与被测量的变化精确吻合，这种误差称为动态误差。例如，将水银温度计插入100℃沸水中，水银柱不可能立即上升到100℃。如果此时就记录读数，必然产生误差。
引起动态误差的原因很多。例如，用笔式记录仪记录心电图时，由于记录笔有一定的惯性，所以记录的结果在时间上滞后于心电的变化，有可能记录不到特别尖锐的窄脉冲。又如，用放大器放大含有大量高次谐波的周期信号（例如很窄的矩形波）时，由于放大器的频响及电压上升率不够，故造成高频段的放大倍数小于低频段，最后在示波器上看到的波形失真很大，产生误差。
此外，按测量仪表的使用条件分类，可将误差分为基本误差和附加误差；按测量方法和手段不同，误差可分为工具误差和方法误差等。
1.2.4 测量数据的处理
测量数据处理是对测量所获得的一系列数据进行深入分析，找出变量之间相互制约、相互联系的依存关系，有时还需要用数学分析的方法，推导出各变量之间的函数关系。只有经过科学的处理，才能获得反映被测对象的物理状态和特性的信息。
测量数据总是存在误差的，而误差又可能是由各种因素产生的，如系统误差、随机误差、粗大误差等。显然，一次测量是无法判别误差的统计特性的，只有通过足够多次的重复测量，才能由测量数据的统计分析获得误差的统计特性。
而实际的测量是有限次的，因而测量数据只能用样本的统计量作为测量数据总体特征量的估计值。测量数据处理的任务就是求得测量数据的样本统计量，以得到一个既接近真值又可信的估计值以及它偏离真值程度的估计。
误差分析的理论大多基于测量数据的正态分布，而实际测量由于受各种因素的影响，使得测量数据的分布情况复杂。因此，测量数据必须在消除系统误差和剔除粗大误差后，才能做进一步处理，以得到可信的结果。
1.随机误差的分析与处理
（1）随机误差的原因和特性
随机误差就单次测量而言是无规律的，其大小、方向不可预知。但当测量次数足够多时，随机误差的总体服从数理统计规律。
随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的因素所构成，主要有以下几个方面。
1）测量装置方面的因素：零部件配合的不稳定性、零部件的变形、零件表面油膜不均匀、摩擦、电路参数的不稳定等。
2）测量环境方面的因素：温度的微小波动、湿度与气压的微量变化、光照强度变化、供电电压波动及电磁场变化等。
3）测量人员方面的因素：瞄准、读数的不稳定等。
具有正态分布的随机误差如图1-13所示，它具有以下4个特征。
图1-13 随机误差的正态分布曲线
①对称性。绝对值相等的正、负误差出现的机会大致相等。
②单峰性。绝对值越小的误差在测量中出现的概率越大。
③有界性。在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定的界限。
④抵偿性。在相同的测量条件下，当测量次数增加时，随机误差的算术平均值趋向于零。
（2）评价随机误差的指标
随机误差是按正态分布规律出现的，具有统计意义，通常以测量数据的算术平均值x和均方根误差σ作为评价指标。
1）算术平均值。在实际测量时，真值A一般无法得到。所以只能从一系列测量值xi找一个接近真值A的数值作为测量结果，这个值就是算术平均值
。因为如果随机误差服从正态分布，则算术平均值处随机误差的概率密度应该最大，如对被测量进行n次等精度测量，得到n个测量值x1，x2，…，xn，它们的算术平均值为
可以证明，随着测量次数n的增多，算术平均值x越来越接近真值A，当n无限大时，测量的算术平均值就是真值，所以在各测量值中算术平均值x是最可信赖的，将它作为被测量实际的真值（即最佳估计值）是可靠而且合理的。
2）标准误差（又称为均方根误差）。上述的算术平均值是反映随机误差的分布中心，而标准误差则反映随机误差的分布范围。标准误差越大，测量数据的分散范围也越大，所以标准误差σ可以描述测量数据和测量结果的精度，它是评价随机误差的重要指标。图1-14为三种不同σ的正态分布曲线。由图可见：σ越小，分布曲线越陡，说明随机变量的分散性小，测量精度高；反之，σ越大，分布曲线越平坦，随机变量的分散性也大，则精度也低。
图1-14 三种不同σ的正态分布曲线
由于在实际应用中用算术平均值代替真值A0，所以通常通过残余误差来求得标准误差σ。所谓残差，是指测量值与该被测量的算术平均值之差，用
。
设对某一被测量进行了n次等精度测量，则标准误差σ可表示为
将多次测量算术平均值作为测量结果时，其精度参数也用算术平均值的标准误差
来表示，即
由以上讨论可知，对一个被测量的测量结果，可用其算术平均值
作为被测量的最可信值（真值的最佳估计值），一般用下式表示随机误差的影响，即
式中，Z称为置信系数，一般取1～3，可以证明，这时置信概率P如下：
Z=1， P=68.26%
Z=2， P=95.44%
Z=3， P=99.73%
当Z=1，2，3时，随机误差在±σ、±2σ和±3σ范围内的置信概率分别为68.26%、95.44%和99.73%，故评定随机误差时一般以±3σ为极限误差，如某项测量值的残差超出±3σ，则认为此项测量值中含有粗大误差，数据处理时应舍去。
2.系统误差的分析与处理
分析与处理系统误差的关键是如何查找误差根源，这就需要对测量设备、测量对象和测量系统做全面分析，明确其中有无产生明显系统误差的因素，并采取相应措施予以修正或消除。由于具体条件不同，在分析查找误差根源时并无一成不变的方法，这与测量者的经验、水平以及测量技术的发展密切相关。
（1）引起系统误差的原因
引起系统误差的原因可以从以下几个方面进行分析考虑。
1）所用传感器、测量仪表或组成元件是否准确可靠。例如，传感器或仪表灵敏度不足，仪表刻度不准确，变换器、放大器等性能不太优良，由这些引起的误差是常见的误差。
2）测量方法是否完善。如用电压表测量电压，电压表的内阻对测量结果有影响。
3）传感器或仪表安装、调整或放置是否正确合理。例如，没有调好仪表水平位置，安装时仪表指针偏心等都会引起误差。
4）传感器或仪表工作场所的环境条件是否符合规定条件。例如，环境、温度、湿度、气压等的变化也会引起误差。
5）测量者的操作是否正确。例如，读数时的视差、视力疲劳等都会引起系统误差。
（2）发现系统误差的方法
发现系统误差一般比较困难，下面只介绍几种发现系统误差的一般方法。
1）实验对比法。这种方法是通过改变产生系统误差的条件从而进行不同条件的测量，以便发现系统误差。该方法适用于发现固定的系统误差。例如，一台测量仪表本身存在固定的系统误差，即使进行多次测量也不能发现，只有用精度更高一级的测量仪表测量，才能发现这台测量仪表的系统误差。
2）残余误差观察法。这种方法是根据测量值的残余误差的大小和符号的变化规律，直接由误差数据或误差曲线来判断有无系统误差。该方法主要适用于发现有规律变化的系统误差。把残余误差按照测量值先后顺序作图，如图1-15所示。图1-15a中残余误差大体上是正负相同，且无明显的变化规律，则无根据怀疑存在系统误差；图1-15b中残余误差有规律地递增（或递减），表明存在线性变化的系统误差；图1-15c中残余误差的大小和符号大体呈周期性变化，可以认为有周期性系统误差。
3）理论计算法。通过现有的相关准则进行理论计算，也可以检验测量数据中是否含有系统误差。不过要注意这些准则都有一定的适用范围。如马利科夫准则适用于判别测量数据中是否存在累进性系统误差。阿贝·赫尔默特（Abbe Helmert）准则适用于判别测量数据中是否存在周期性系统误差。
图1-15 残余误差的变化规律
a）残余误差大体上正负相同 b）残余误差有规律地递增（或递减） c）残余误差大小和符号呈周期性变化
（3）系统误差的消除
1）在测量结果中进行修正。对于已知的系统误差，可以用修正值对测量结果进行修正；对于变值系统误差，设法找出误差的变化规律，用修正公式或修正曲线对测量结果进行修正；对未知系统误差，则按随机误差进行处理。
2）消除系统误差的根源。在测量之前，应仔细检查仪表，正确调整和安装；防止外界干扰影响；选好观测位置，消除视差；选择环境条件比较稳定时进行读数等。
3）在测量系统中采用补偿措施找出系统误差的规律，在测量过程中自动消除系统误差。如用热电偶测量温度时，热电偶参考端温度变化会引起系统误差，消除此误差的办法之一是在热电偶回路中加一个冷端补偿器，从而进行自动补偿。
4）实时反馈修正。由于自动化测量技术及微机的应用，可用实时反馈修正的办法来消除复杂的变化系统误差。当查明某种误差因素的变化对测量结果有明显的复杂影响时，应尽可能找出其影响测量结果的函数关系或近似的函数关系。在测量过程中，用传感器将这些误差因素的变化转换成某种物理量形式（一般为电学量），及时按照其函数关系，通过计算机算出影响测量结果的误差值，对测量结果做实时的自动修正。
3.粗大误差的分析与处理
在一系列重复测量数据中，如有个别数据与其他数据有明显差异，则它（或它们）很可能含有粗大误差，称其为可疑数据。根据随机误差理论，出现粗大误差的概率虽小，但也是可能的。因此，如果不恰当地剔除含粗大误差的数据，会造成测量精密度偏高的假象。反之，如果对含有粗大误差的数据（即异常值）未加剔除，必然会造成测量精密度偏低的后果。因此，对数据中异常值的正确判断与处理，是正确评定测量结果必须解决的一个重要问题。
3σ准则是最常用也是最简单的粗大误差判别准则，它一般应用于测量次数充分时（n≥30）或当n>10做粗略判别时的情况。
根据误差理论，当测量数据呈正态分布时，误差出现在-3σ～+3σ范围内的概率为99.73%，可以认为出现绝对值大于3σ的误差为小概率事件。若测量次数为有限次，测量误差（通常用残差表示）绝对值大于3σ，即可判定该测量数据含有粗大误差，应予以剔除。
应当注意，剔除一个粗大误差后应重新计算测量数据的平均值和标准差，再进行判别，反复检验直到粗大误差全部剔除为止。
【例1-3】 对某量进行了15次重复测量，测量的数据为：20.42、20.43、20.40、20.43、20.42、20.43、20.39、20.30、20.40、20.43、20.42、20.41、20.39、20.39和20.40。试判定测量数据中是否存在粗大误差（P=99%）。
解：测量数据的平均值
测量数据的标准偏差
第8个数据20.30的残差|v8|=0.104>3σ=0.099，可以判定，数据20.30为异常应当剔除。剔除该数据后，重新计算平均值和标准偏差，得
这时剩余数据的残差|vi|<3σ′=0.048，即剩余数据不再含有粗大误差。