1.4 信息及其度量

1.4.1 信息量的含义

通信的根本目的在于传输消息中所包含的信息。信息是指消息中所包含的有效内容，或者说是受信者预先不知而待知的内容。不同消息包含的信息量不同，不同受信者从同一消息中所获得的信息量不同，从而需要对信息进行度量。因此，信息含量就是对消息中这种不确定性的度量。

消息是多种多样的。因此度量消息中所含信息量的方法，必须能够用来度量任何消息，而与消息的种类无关。同时，这种度量方法也应该与消息的重要程度无关。

首先，让我们从常识的角度来感觉三条消息。①太阳从东方升起；②太阳比往日大两倍；③太阳将从西方升起。第一条几乎没有带来任何信息，第二条带来了大量信息，第三条带来的信息多于第二条。究其原因，第一事件是一个必然事件，人们不足为奇；第三事件几乎不可能发生，它使人感到惊奇和意外，也就是说，它带来更多的信息。因此，信息含量是与惊奇这一因素相关联的，这是不确定性或不可预测性的结果。越是不可预测的事件，越会使人感到惊奇，带来的信息量就越大。

根据概率论知识，事件的不确定性可用事件出现的概率来描述。可能性越小，概率越小；反之，概率越大。因此，消息中包含的信息量与消息发生的概率密切相关。消息出现的概率越小，消息中包含的信息量就越大。假设P（x）是一个消息发生的概率，I是从该消息获悉的信息，根据上面的认知，显然I与P（x）之间的关系反映为如下规律。

（1）信息量是概率的函数，即

I=f[P（x）]

（2）P（x）越小，I越大；反之，I越小，且

P（x）→1时，I→0

P（x）→0时，I→∞

（3）若干个互相独立事件构成的消息，所含信息量等于各独立事件信息量之和，也就是说，信息具有相加性，即

I[P（x₁）P（x₂）…]=I[P（x₁）]+I[P（x₂）]+…

综上所述，信息量I与消息出现的概率P（x）之间的关系应为

信息量的单位与对数底数a有关。a=2时，信息量的单位为比特（bit）；a=e时，信息量的单位为奈特（nat）；a=10时，信息量的单位为十进制单位，叫哈特莱。上述三种单位的使用场合，应根据计算及使用的方便来决定。目前广泛使用的单位为比特。

下面首先讨论等概率出现的离散消息的度量，先看一个简单的例子。

【例1-1】 设二进制离散信源，以相等的概率发送数字0或1，则信源每个输出的信息含量为

解：

可见，传送等概率的二进制波形之一（P=1/2）的信息量为1bit。同理，传送等概率的四进制波形之一（P=1/4）的信息量为2bit，恰好是二进制每一波形包含信息量的2倍，从信息相等的角度看，每一个四进制波形需要用2个二进制脉冲表示；传送等概率的八进制波形之一（P=1/8）的信息量为3bit，恰好是二进制每一波形包含信息量的3倍，可用3个二进制脉冲表示。

综上所述，对于离散信源，M个波形等概率（P=1/M）发送，且每一个波形的出现是独立的，即信源是无记忆的，则传送M进制波形之一的信息量为

式中，P为每一个波形出现的概率；M为传送的波形数量。

若M是2的整幂次，比如M=2^k（k=1，2，3，…），则式（1-4）可改写为

式中，k是二进制脉冲数目，也就是说，传送每一个M（M=2^k）进制波形的信息量就等于用二进制脉冲表示该波形所需的脉冲数目k。

1.4.2 信息熵的概念

接下来我们讨论非等概率出现的离散消息的度量。

【例1-2】 在26个英文字母中，字母e和v出现的概率分别为0.105和0.008，试求e和v的信息量各为多少。

解：由于P_e=0.105，P_v=0.008，由信息量定义式（1-3），得两个字母的信息量分别为

e的信息量

v的信息量

一般，设离散信源是一个由M个符号组成的符号集，其中每个符号x_i（i=1，2，3，…，M）出现的概率为P（x_i），且有。则x₁，x₂，…，xM所包含的信息量分别为

-log₂P（x₁），-log₂P（x₂），…，-log₂P（x_M）

于是，每个符号所含信息量的统计平均值，即平均信息量为

由于平均信息量H（s）同热力学中的熵形式一样，故通常又称它为信源熵，其单位为bit/sym-bol。可以证明，当信源中每个符号等概独立出现时，式（1-6）即成为式（1-4），此时信源的熵有最大值。

【例1-3】 某离散信源由0、1、2、3共4个符号组成，且各符号独立出现。

（1）若符号0、1、2、3出现的概率分别为3/8、1/4、1/4、1/8，求每个符号的平均信息量。

（2）求某消息序列201020130213001203210100321010023102002010312032100120210的信息量。

（3）若4种符号等概出现，求每个符号的平均信息量。

解：

（1）由式（1-6），求得信源每个符号的平均信息量（信源熵）为

（2）此消息中，符号0出现23次，1出现14次，2出现13次，3出现7次，共有57个符号，故该消息的信息量为

I=23×I（0）+14×I（1）+13×I（2）+7×I（3）=108bit

也可用信源熵来求。由（1）得信源熵为H（s）=1.906bit/symbol，故57个符号的信息量为

I=57×H（s）=57×1.906bit≈108.64bit

可见两种算法的结果有一定误差，但当消息序列很长时，用熵的概念来计算比较方便。而且随着消息序列长度的增加，两种计算误差将趋于零。

（3）当4种符号等概时，每个符号携带相同的信息量，信源熵达到最大值，即

H（s）_max=log₂M=log₂4=2bit/symbol

二维码1-2