2.2 数学模型建立的一般步骤

控制系统数学模型建立的一般步骤如下。

1）分解系统各环节，确定自身特性变量及其相互关系因素（即确定环节的形态特征，什么是输入量，什么是输出量）。

2）根据物理、化学等机理与定律，列出各环节变量特性的原始数学方程。

3）列写原始方程组的中间变量及其相互关系。

4）将3）中的各关系式代入2）中的原始方程式，消去中间变量。

5）列写消去中间变量后的方程式（或方程式组），建立对象系统关于所考虑的输入量输出量之间的数学模型。

特别地，若3）中列写的数学方程不是线性关系，则导出的是非线性数学模型。

例2-1 考虑如图2-1所示的RLC电路，设电路中R、L、C为常数值，以u_r（t）为输入量，u_o（t）为输出量，试列出u_r（t）与u_o（t）为输入输出关系的方程式。

解：1）确定输入量和输出量，显然，电路中共有三个元件。各元件上电流电压关系是

2）存在中间关系式

3）将2）的中间关系代入1）的各原始方程式，整理后有

4）消去中间变量i（t），电路以u_r（t）与u_o（t）为输入输出关系的微分方程式是

例2-2 图2-2是电动机转速反馈控制系统的物理描述。设输入量为参考电压u_r（t），输出量为电动机转速ω（t），试建立u_r（t）和ω（t）间的输入输出关系的微分方程式。

解：1）系统的输入量与输出量分别为u_r（t）与ω（t）。

电动机转速控制系统的框图如图2-3所示。

2）列出各环节及其原始方程，具体如下。

● 放大器假设为线性定常的电路环节，则

式中，K为放大器放大增益。

● 测速电动机的转速与输出电压成线性比例关系，即

式中，K′为测速电动机的转速/电压比例系数。

● 被控电动机的电气方程式为

式中，T_a为电动机电枢回路时间常数；T_m为机电时间常数；M_L（t）为电动机轴上的负载转矩；K^∗为电势系统参数。

3）选择u_a（t）、e（t）、u_f（t）为中间变量，利用式（2-1）和式（2-2）的关系，代入式（2-3）消去中间变量。

4）移除中间变量后，整理得u_r（t）与ω（t）间的微分方程式是

式中，K″＝K·K′/K^∗。