2.1.2 正弦交流电的相量表示法与同频率交流电的加减运算
在分析交流电路时，必然涉及正弦量的代数运算，甚至还有微分、积分运算，如果用三角函数来表示正弦量进行运算，将使计算非常烦琐。为此，我们引入一个数学工具“复数”来表示正弦量，从而使正弦交流电路的分析和计算得到简化。
（1）复数
一个复数有多种表达形式，常见的有代数形式、三角函数形式、指数形式和极坐标形式四种。复数的代数形式是
式中，a、b均为实数，分别称为复数的实部和虚部，复数A也可以用由实轴与虚轴组成的复平面上的有向线段OA相量来表示，如图2-3所示。在图2-3中，相量长度r=
称为复数的模；相量与实轴的夹角φ称为复数的辐角，各量之间的关系为
于是可得复数的三角函数形式为
将欧拉公式ejφ=cosφ+jsinφ代入式（2-7），可得复数的指数形式为
实际使用时，为了便于书写，常把指数形式写成极坐标形式，即
图2-3 相量图
（2）旋转相量表示法
对照图2-4，如果有向线段OA的模r等于某正弦量的幅值，OA与横轴的夹角为正弦量的初相，OA逆时针方向以正弦量角速度旋转，则这一旋转矢量任一瞬时在虚轴上的投影为rsin(ωt+φ)，它正是该正弦量在该时刻的瞬时值表达式。
图2-4 用旋转相量表示正弦量
若r=Um，则在任意时刻t，OA在虚轴上的投影为u=Umsin(ωt+φ)。这就是说，正弦量可以用一个旋转相量来表示，该相量的模等于正弦量的幅值，相量与横轴的夹角等于正弦量的初相，相量的旋转角速度等于正弦量的角频率。
一般情况下，求解一个正弦量必须求得它的三要素，但在分析正弦稳态电路时，由于电路中所有的电压、电流都是同频率的正弦量，且它们的频率与正弦电源的频率相同，而电源频率往往是已知的，因此通常只要分析最大值（或有效值）和初相两个要素就够了，旋转相量的角速度ω可以省略，所以我们只需用一个有一定长度、与横轴有一定夹角的相量就可以表示正弦量了。
（3）静止相量表示法
由上述可知，正弦量可以用相量来表示，而相量可以用复数来表示，因而，我们可以借用复数来表示正弦量，利用复数的运算规则来处理正弦量的有关运算问题，从而简化运算过程。如正弦交流电流i=Imsin(ωt+φi）可用复平面上的相量表示，相量的模等于正弦量的幅值Im，相量与横轴的夹角等于正弦量的初相φi，如图2-5所示。
复平面上的这个相量又可用复数表示为
图2-5 正弦量的相量表示法
可以看出上式既可表达正弦量的大小，又可表达正弦量的初相。我们把这个表示正弦量的复数称作相量，将图2-5所示的图形称为相量图，用一个复数来表示正弦量的方法称为正弦量的相量表示法。交流电的相量表示法既可以用最大值表示，也可以用有效值表示。
注意事项：
1）相量只是代表正弦量，并不等于正弦量。
2）只有当电路中的电动势、电压和电流都是同频率的正弦量时，才能用相量来进行运算。
3）同频率正弦量可以画在同一相量图上。规定，若相量的幅角为正，相量从正实轴绕坐标原点逆时针方向绕行一个幅角；若相量的幅角为负，相量从正实轴绕坐标顺时针绕行一个幅角，如图2-6a所示。相量的加减法符合相量运算平行四边形法则，如图2-6b所示。
图2-6 相量图
a）φ1＞0；φ2＜0 b）相量加法图示
通常在分析电路时，用相量图易于理解，用复数计算会得出较准确的结果。此外，为了使相量图简洁明了，有时不画出复平面的坐标轴，只标出原点和正实轴方向即可。
【例2-3】已知i1=4sin(ωt+90°)A，i2=3sinωtA。求i=i1+i2。
解：解法1 相量运算法。
根据交流电的解析式可以写出相量表示式
故i=5sin(ωt+53°)A
图2-7 例2-3相量图
解法2 相量图法（图2-7）。
故i=5sin(ωt+53°)A