1.4　沉降平衡与高度分布定律

微粒在水中沉降的结果使之在水体下部的浓度较上部大而造成浓度差。由于浓度差的存在，发生扩散作用。扩散的方向系由高浓到低浓，即由下往上，而与沉降方向相反，成为阻碍沉降的因素。当沉降速度与扩散速度相等时，物系达到平衡状态，称为扩散平衡。1910年Perrin根据这一思想推导出一个公式，并进一步证明了其正确性，介绍如下。

设在横截面积为A的容器内盛有某种溶胶且达平衡，如图1.7所示。

图1.7　沉降平衡

（a）～（c）不同分散度的单种溶胶的沉降平衡；（d）由（a）～（c）三种溶胶组成的多种溶胶的沉降平衡

若球形微粒的半径为r，微粒和介质的密度分别为ρ和ρ₀，微粒的数目浓度为n，在离开容器底面的高度分别为x₁和x₂之处，微粒的数目浓度分别为n₁和n₂，g为重力加速度，则在厚度为dx的一层溶胶中，使微粒沉降的重力为：

由于使微粒发生扩散的力与使介质透过半透膜的渗透力相等。所以在该层中微粒所受的扩散力是：

-Adπ

π为渗透压，负号表示扩散力与重力在方向上相反，dπ为半透膜两侧的渗透压力差。

根据van't Hoff渗透压公式π=cRT得到：

　　(1.16)

式中，c为物质的量浓度；R为气体常数；T为绝对温度。在恒温下达沉降平衡时则有：

　　(1.17)

式中，N_A为Avogadro常数。积分后得：

　　(1.18)

或

　　(1.19)

式（1.18）和式（1.19）称为高度分布定律。由此式可以看出，在体系达到沉降平衡时，形成一定的浓度梯度。当微粒的质量较大时，其浓度随高度的升高较迅速地减小，微粒多集中于下部；当微粒的质量较小时，其浓度随高度的升高较缓慢地减小，微粒分布较均匀。这就是说，高度越高，质量越小的微粒越多；反之，高度越低，质量越大的微粒越多。应该指出，此式所表示的高度分布是沉降达到平衡后的情形，微粒较大的体系一般沉降较快，扩散力也小，可以较快地达到平衡；相反，微粒较小的高分散体系则需要较长的时间才能达到平衡。体系在达到沉降平衡后，微粒则停止下沉，因而水不能得到澄清。