2.3　图像像素间的关系

像素间的关系主要指像素与像素之间的关联，理解像素间的关系是学习图像处理的必要准备，其中主要包括邻域关系，邻接性、连通性，区域、边界的概念，以及今后要用到的一些常见距离度量方法。正如前面提到的，一幅图像用f(x,y)表示。在本节中，当我们指特殊像素时用小写字母，如p和q。

2.3.1　邻域关系

邻域关系用于描述相邻像素之间的相邻关系，包括4邻域、8邻域、D邻域等类型。假定位于坐标(x,y)的一个像素p有4个水平和垂直的相邻像素，如图2.9所示，相应坐标如式（2.3）所示。

(x+1,y),(x−1,y),(x,y+1),(x,y−1)　　（2.3）

这个像素集就称为p的4邻域，用N₄(p)表示。而8邻域就是除了水平和垂直外，还加上了斜方向的四个像素点。D邻域的像素点在(x,y)的四个角。每个像素距(x,y)一个单位距离，如果(x,y)位于图像的边界，则N₄(p)和N₈(p)中的某些点可能落入图像外部。

2.3.2　邻接性、连通性、区域和边界

（1）邻接性

定义V是用于定义邻接性的灰度值集合，它是一种相似性的度量，用于确定所需判断邻接性的像素之间的相似程度。在二值图像中，如果把具有1值的像素归入邻接，则V={1}，此时邻接性完全由位置决定。对于灰度图像，概念是一样的，但是集合V一般包含更多元素。例如，对于那些可能性比较大的灰度值的像素邻接性，集合V可能是这256个值（0～255）的任何一个子集。这里考虑三种类型的邻接性：

①4邻接：如果q在N₄(p)集中，则具有V中数值的两个像素p和q是4邻接的。

②8邻接：如果q在N₈(p)集中，则具有V中数值的两个像素p和q是8邻接的。

③m邻接（混合邻接）：如果q在N₄(p)中，或者q在N_D(p)中且集合N₄(p)∩N₄(p)没有V值像素，则具有V值的像素p和q是m邻接的。

混合邻接是8邻接的改进。混合邻接的引入是为了消除采用8邻接常常发生的二义性。例如，考虑图2.10对于V={1}所示的像素位置排列。位于图2.10（b）上部的三个像素显示了多重（二义性）8邻接，如虚线所示。这种二义性可以通过m邻接消除，如图2.10（c）所示。

（2）连通性

从具有坐标(x,y)的像素p到具有坐标（s,）t的像素q的通路（或曲线）是特定的像素序列，其坐标为：

（x₀,y₀）,（x₁,y₁）,…,（x_n,y_n）　　（2.4）

其中(x₀,y₀)=(x,y),(x_n,y_n)=(s,t)并且像素(x_i,y_i)和(x_i−1,y_i−1)（对于1≤i≤n）是邻接的。在这种情况下，n是通路的长度。如果(x₀,y₀)=(x_n,y_n)，则通路是闭合通路。可以依据特定的邻接类型定义4、8或m邻接。如图2.10（b）所示，东北角点和东南角点之间的通路是8通路，而图2.10（c）中的通路是m通路。注意在m通路中不存在二义性。

令S代表一幅图像中像素的子集。如果在S中全部像素之间存在一个通路，则可以说两个像素p和q在S中是连通的。对于S中的任何像素p,S中连通到该像素的像素集称为S的连通分量。如果S仅有一个连通分量，则集合S称为连通集。

（3）区域和边界

区域的定义是建立在连通集的基础上的，令R是图像中的像素子集。如果R是连通集，则称R为一个区域。

一个区域R的边界（也称为边缘或轮廓）是区域中像素的集合，该区域有一个或多个不在R中的邻点。显然，如果R是整幅图像（我们设这幅图像是像素的方形集合），则边界由图像首行、首列、末行和末列定义。因而，正常情况下，当我们提到一个区域时，指的是一幅图像的子集，并包括区域的边缘。而区域的边缘（Edge）由具有某些导数值的像素组成，是一个像素及其直接邻域的局部性质，是一个有大小和方向属性的矢量。

边界和边缘是不同的。边界是和区域有关的全局概念，而边缘表示图像函数的局部性质。

2.3.3　像素之间的距离

对于像素p、q和z，其坐标分别为(x,y)、(s,t)和(v,w)，如果函数D满足距离三要素，即：

①非负性，D(p,q)≥0[D(p,q)=0，当且仅当p=q]

②对称性，D(p,q)=D(q,p)

③三角不等式，D(p,z)≤D(p,q)+D(q,z)

则称函数D为有效距离函数或度量，常用的像素间距离度量包括欧式距离、D₄距离（城市距离）及D₈距离（棋盘距离）。

p和q间的欧式距离定义如下：

　　（2.5）

距点(x,y)的距离小于或等于某一值r的像素是中心在(x,y)且半径为r的圆平面。

p和q间的距离D₄如式（2.6）定义：

D₄(p,q)=|x−s|+|y−t|　　（2.6）

在这种情况下，距(x,y)的D₄距离小于或等于某一值r的像素形成一个中心在(x,y)的菱形。例如，距(x,y)的D₄距离小于或等于2的像素形成固定距离的下列轮廓：

具有D₄=1的像素是(x,y)的4邻域。

p和q间的D₈距离（又称棋盘距离）定义为式（2.7）：

D_s(p,q)=max(|x−s|,|y−t|)　　（2.7）

在这种情况下，距(x,y)的D₈距离小于或等于某一值r的像素形成中心在(x,y)的方形。例如，距点(x,y)（中心点）的D₈距离小于或等于2的像素形成下列固定距离的轮廓：

具有D₈=1的像素点是关于(x,y)的8邻域。

注意，p和q之间的D₄和D₈距离与任何通路无关，通路可能存在于各点之间，因为这些距离仅与点的坐标有关。然而，如果选择考虑m邻接，则两点间的D_m距离用点间最短的通路定义。在这种情况下，两像素间的距离将依赖于沿通路的像素值及其邻点值。例如，考虑下列安排的像素并假设p、p₂和p₄的值为1，p₁和p₃的值为0或1：

假设考虑值为1的像素邻接（即V={1})。如果p₁和p₃是0，则p和p₄最短m通路的长度（D_m距离）是2。如果p₁是1，则p₂和p将不再是m邻接（见m邻接的定义），并且m通路的长度变为3（通路通过点p、p₁、p₂、p₄）。类似地，如果p₃是1（并且p₁为0），则最短的通路距离也是3。最后，如果p₁和p₃都为1，则p和p₄间的最短m通路长度为4，在这种情况下，通路通过点p、p₁、p₂、p₃、p₄。