第3章　无穷

一个激进的经验主义者相信正整数是一个一个被发现的⁽¹⁾！

让·皮亚杰

世间的精彩，或正来自于其充满着无限的可能。时间上，文明延绵不绝，从几千年前的刀耕火种到如今的机器轰鸣；空间上，征途是星辰大海，人类从非洲无垠的草原出发，已快要登上火星。人们一代人接着一代人，前赴后继，在无限的时空上孜孜不倦地前进着。

然而，于每一个个体，一切又都是有限的。我们的生命不过几十年，能看过不过几百本书，能结识不过几千人，能行走不过几万里路。无怪乎庄子曾感慨道“吾生也有涯，而知也无涯。以有涯随无涯，殆已！”追逐无涯，很累啊！

但是，你我并没有就此被囚禁在一个牢笼之中。纵使我们的肉体没办法突破有限牢笼的禁锢，我们的思维却可以在无限的海洋中尽情地遨游！我们可以想象无穷，可以感受它，琢磨它，甚至把握与驯服它！而数学的伟大成就之一，便是对无穷的征服。

当然，这征途并非一帆风顺。直面无穷的早期，人们真是充满了困惑。比如下面这个看起来很荒谬的结论，其改编于著名的芝诺（Zeno）悖论⁽²⁾：

悖论3.1　龟兔赛跑中，若乌龟先跑出一段，那么兔子便永远追不上乌龟。因为，若要追上，兔子得先跑到乌龟此刻的位置，但此时乌龟已经又跑出去一小段。如此循环往复无穷无尽，故兔子永远追不上乌龟。

再比如，回到我们之前提过的问题2.2：什么是。如果你写一个计算机程序来计算它，随着时间的推移，你会算得越来越精确，源源不断地得到其小数点后越来越多位：

· 1.414

· 1.414213

· 1.41421356

· 1.41421356237.

︙

这个过程可以永远持续下去，不会停止，不会到头，不会出现循环，不会出现规律。我们永远也写不完。

难道兔子真的追不上乌龟吗？难道真的永远也写不出来吗？当然不是，兔子一眨眼便会超过乌龟，“”这个符号已经把写完了呀！上面的一切困惑，仅表明一个问题：我们对自己认知无穷本能的理解还非常肤浅，或者说朴素。