2　黎曼几何

1．几何几何

几何是一门古老的学科，它的年龄有几何？可以让我们一直追溯到两千多年前的古希腊。实际上，恐怕没有哪一门学科，像欧几里得几何学那样在公元前就已经被创立成形，而至今都还活跃在许多课堂上和数学竞赛试题中。在笔者那一代的中学生中，不乏数学迷和几何迷，大家在几何世界中遨游，从中体会到数学的奥妙，也感受到无限的乐趣。

纵观科学史，牛顿、爱因斯坦都是伟人，欧拉、高斯……伟大的数学家也可以列出不少，但恐怕很难找出像欧几里得这样的科学家，从两千多年前一直到现代，人们还经常提到以他命名的“欧几里得空间”、“欧几里得几何”等名词，真可谓名垂千古而不朽了。爱因斯坦的理论刚到百年历史，牛顿时代距现在也还不过四百来年，欧几里得却是公元前的人物了。

欧几里得（Euclid，前325—前265年）的名字来源于希腊文，是“好名声”的意思，难怪他被誉为几何之父。欧几里得的主要著作《几何原本》^[16]（1607年，有徐光启的中译本^[17]），在全世界流传2000年，的确为他留下了好名声。

《几何原本》不仅仅被人誉为有史以来最成功的教科书，而且在几何学发展的历史中具有重要意义。其中所阐述的欧氏几何是建立在5个公理之上的一套自洽而完整的逻辑理论，简单而容易理解。这点令人惊叹，它标志着在2000多年前，几何学就已经成为了一个有严密理论系统和科学方法的学科！除了《几何原本》之外，欧几里得流传至今的著作还有另外5本，从中可以看出他对几何光学及球面天文学等其他领域也颇有研究。

欧几里得几何是一个公理系统，主要研究的是二维空间中的平面几何。所谓“公理系统”的意思是说，只需要设定几条简单、符合直觉、大家公认、不证自明的命题（称为公理，或公设），然后从这几个命题出发，推导证明其他的命题……再推导证明更多的命题，这样一直继续下去，一个数学理论便建立起来了。如上所述建立公理系统的过程颇似建立一座高楼大厦：首先铺上数块牢靠的砖头作为基础，然后在这基础上砌上第二层、第三层、第四层砖，一直继续下去，直到大厦落成。所以，“公理”就是建造房屋时水平放在基底的第一层大“砖块”。有了牢靠平放的基底，其他的砖块便能够一层一层地叠上去，万丈高楼也就平地而起。基底砖块破缺了，或者置放得不水平，楼房就可能会倒塌。

欧几里得平面几何的公理（砖块，或称公设）有5条：

1．从两个不同的点可以作一条直线；

2．线段能无限延伸成一条直线；

3．以给定线段一端点为圆心，该线段作半径，可以作一个圆；

4．所有直角都相等；

5．若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。

欧几里得就从这5条简单的公理，推演出了所有的平面几何定理，建造出一个欧氏几何的宏伟大厦。数学逻辑推理创造的奇迹令人吃惊。不过，当人们反复思考这几个公理时，觉得前面4个都是显然不言自明的，唯有第5条公理比较复杂，听起来不像一个简单而容易被人接受的直觉概念。还有人推测，欧几里得自己可能也对这条公理持怀疑态度，要么怎么把它放在5条公理的最后呢？并且，欧几里得在《几何原本》中，推导前面28个命题都没有用到第5公设，直到推导第29命题时才开始用它。于是，人们就自然地提出疑问：这第5条是公理吗？它是否可以由其他4条公理证明出来？大家的意思就是说，欧氏平面几何的大厦用前面4块大砖头可能也就足以支撑了，这第5块砖头，恐怕本来就是放置在另外4块砖头之上的。

第5条公理也称为平行公理（平行公设），由这条公理可以导出下述等价的命题：

通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。

因为平行公理并不像其他公理那么一目了然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功，这种努力一直延续到19世纪初。1815年左右，一个年轻的俄罗斯数学家，尼古拉·罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky，1792—1856）开始思考这个问题。在试图证明第5公设而屡次失败之后，罗巴切夫斯基采取了另外一种思路：如果这第5公设的确是条独立的公理的话，将它改变一下会产生什么样的后果呢^[18]？

罗巴切夫斯基巧妙地将上述与第5公设等价的命题改变如下：“过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”。然后，将这条新的“第5公设”与其他4条公设一起，像欧氏几何那样类似地进行逻辑推理、建造大厦，推出新的几何命题来。罗巴切夫斯基发现，如此建立的一套新几何体系，虽然与欧氏几何完全不同，但却也是一个自身相容的没有任何逻辑矛盾的体系。因此，罗巴切夫斯基宣称：这个体系代表了一种新几何，只不过其中许多命题有点古怪，似乎与常理不合，但它在逻辑上的完整和严密却完全可以与欧氏几何媲美！

罗氏几何体系得到古怪而不合常理的命题是必然的，因为被罗巴切夫斯基改变之后的第5公设，本身就与人们的日常生活经验不相符合。过平面上直线外的一点，怎么可能作出多条不同的直线与已知直线不相交呢？由此而建造出来的数学逻辑大厦，尽管也是稳固而牢靠的，但却有它的不寻常之处。比如说，罗氏几何导出的如下几条古怪命题：同一直线的垂线和斜线不一定相交；不存在矩形，因为四边形不可能4个角都是直角；不存在相似三角形；过不在同一直线上的三点，不一定能作一个圆；一个三角形的3个内角之和小于180°……。

然而，重要的是，罗巴切夫斯基使用的是一种反证法。因为既然改变第5公设能得到不同的几何体系，那就说明第5公设是一条不能被证明的公理。所以，从此以后数学家们便打消了企图证明第5公设的念头。然而，由于罗氏几何得出的许多结论和我们所习惯的欧式空间的直观图像相违背，罗巴切夫斯基生前并不得意，还遭遇不少的攻击和嘲笑。

罗巴切夫斯基在1830年发表了他的非欧几何论文。无独有偶，匈牙利数学家鲍耶·亚诺什（János Bolyai，1802—1860）在1832年也独立地得到非欧几何的结论^[19]。

匈牙利数学家鲍耶的父亲，正好是大数学家高斯的大学同学。当父亲将鲍耶的文章寄给高斯看后，高斯却在回信中提及自己在30多年前就已经得到了相同的结果。这给予正年轻气盛的鲍耶很大的打击和疑惑，甚至怀疑高斯企图盗窃他的研究成果。但实际上，从高斯的文章、笔记、书信等可以证实，高斯的确早就进行了非欧几何的研究，并在罗巴切夫斯基与鲍耶之前，已经得出了相同的结果，不过没有将它们公开发表而已^[20]。

早在1792年，15岁的高斯就开始了关于平行公理独立性的证明。他继而研究曲面（球面或双曲面）上的三角几何学，在17岁时就已深刻地认识到：“曲面三角形之外角和不等于360°，而是成比例于曲面的面积”。1820年左右，高斯已经得出了非欧几何的很多结论，但不知何种原因，高斯没有发表他的这些关于非欧几何的思想和结果，只是在1855年他去世后才出现在出版的信件和笔记中。有人认为是因为高斯对自己的工作精益求精、宁缺毋滥的严谨态度；有人认为是高斯害怕教会等保守势力的压力；也有人认为高斯已经巧妙地将这些思想包含在他1827年的著作中^[21]。

实际上，第5公设还可以用不同的方式进行改造。像罗巴切夫斯基那样，改成“可以引最少两条平行线”的话，得到的是一种双曲几何。如果将第5公设改成“一条平行线也不能作”的话，便又能得到另一种新几何，称为“球面几何”。见图2-1-1。

本来，将第5公设改来改去只是数学家做的数学演绎游戏，人们不认为由此而建立的非欧几何有任何实用价值。何况，得到的几何完全不符合我们所生活的空间中看到的几何。但没想到几十年之后，非欧几何出人意料地在物理上找到了它的用途：爱因斯坦的广义相对论需要它们。