6．万有引力
引力是一种颇为神秘的作用力，它存在于任何具有质量的两个物体之间。人类应该很早就认识到地球对他们自身以及他们周围一切物体的吸引作用，但是能够发现“任何”两个物体之间，都具有万有引力就不是那么容易了。这是因为引力比较起其他我们常见的作用力来说，是非常微弱的。虽然我们早就意识到地球上有重力，那是因为地球是一个质量非常巨大的天体的缘故。如果谈到任何两个物体，包括两个人之间，都存在着的万有引力，就不是那么明显了。自然界中，我们常见的电荷之间的作用力，可以用简单的实验感知它的存在，比如我们司空见惯的摩擦生电现象：一个绝缘玻璃棒被稍微摩擦几下，就能够吸引一些轻小的物品；还有磁铁对铁质物质的吸引和排斥作用，都是很容易观察到的现象。而根据万有引力定律，任意两个物体之间存在的相互吸引力的大小与它们的质量乘积成正比，与它们距离的平方成反比，其间的比例系数被称之为引力常数G。这个常数是个很小的数值，大约为6.67×10-11N·m2/kg2。从这个数值可以估计出两个50kg成人之间距离1m时的万有引力大小只有十万分之一克！这就是为什么我们感觉不到人与人互相之间具有万有引力的原因。
不过，巨大质量的星体产生的引力会影响它们的运动状态，因而能够通过天文观测数据被测量和计算。到目前为止，难以测量到的是引力波。人类对引力本质的了解仍然知之甚少，电磁场有电磁波来传递信息，常见的光也是一种电磁波，它们已经算是某种抓得住、看得见、用得上的东西。可是人类却至今仍未直接探测到任何引力波。
约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler，1571—1630）是德国天文学家。牛顿是在开普勒发现的行星三定律之基础上总结推广成万有引力定律的。开普勒幼年患猩红热导致视力不好，曾经在一家神学院担任数学教师，后来有幸结识天文学家第谷·布拉赫，并成了第谷的助手，从此将全部精力投入到天文学、物理学的理论研究中。
第谷进行了几十年严谨的天文观测，积累了关于太阳及其行星的大量宝贵资料。第谷去世后，把他一生的天文观测资料留给了开普勒。开普勒用了20年时间仔细整理、研究这些资料，加上自己的理论计算，总结出了有关行星运动的三大定律：
1．行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于椭圆的焦点上；
2．行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积；
3．行星轨道半长轴的三次方，与绕太阳转动周期的二次方的比值对所有行星一样。
开普勒去世后若干年，上帝派来了牛顿。关于牛顿有不少有趣的传说，据说他大学期间在乡下躲避瘟疫时发明了微积分；大概也是差不多的年代，家中院子里的苹果掉下来打到脑门上而发现了万有引力定律。这些传言是否属实并不重要，有时候，某些偶然事件的确能启发科学家的灵感，使他们为作出重大贡献迈出关键的一步。但是，这些伟大的发现绝不是偶然想到一蹴而就的，这背后往往有着漫长的、坚韧不拔的辛勤劳动和努力。
1726年，牛顿在去世的前一年，与他的朋友、考古学家威廉·斯蒂克利谈过这段有关苹果的故事。后来，斯蒂克利在皇家学会的手稿中写下了一段话：
“那天我们共进晚餐，天气和暖，我们俩来到花园，在一棵苹果树荫下喝茶。他告诉我，很早前，当万有引力的想法进入他脑海的时候，他就处于同样的情境中。为什么苹果总是垂直落到地上呢，他陷入了沉思。它为什么不落向其他方向呢，或是向上呢？而总是落向地心呢？”
可见“苹果下落”的简单事实，的确给了牛顿启发，激发他开始了对引力的思考。苹果往下掉，不是往上掉！这一定是因为地球在吸引它，地球不仅仅吸引苹果，也吸引地面上的其他物体往下掉。但是，地球也应该会吸引月亮。那么，月亮又为什么不往下掉呢？这些问题困扰着年轻的牛顿。引导他去研究琢磨开普勒的三定律。
图1-6-1 牛顿发现万有引力定律
万有引力定律是牛顿在1687年于《自然哲学的数学原理》上发表的。如果按照传闻所说的时间，牛顿在23岁时看到苹果下落就开始思考引力的话，其间也已经过了20余年。这些年中，大师是如何追寻解决这“引力之谜”的呢？
确立引力与距离之间的平方反比率，是探索万有引力的关键一步。
追溯万有引力的平方反比定律的发现历史，便扯出了牛顿与胡克间的著名公案。其实胡克对万有引力的发现及物理学的其他方面都做出了不朽的贡献，但现在一般人除了有可能还记得中学物理中曾经学过一个“胡克定律”之外，恐怕就说不清楚这胡克是谁了。这都无可奈何，成者为王败者寇，学术界也基本如此，免不了世俗间的纠纷[14]。
英国物理学家罗伯特·胡克（Robert Hooke，1635—1703）比牛顿大8岁，可以算是牛顿的前辈了。两人的争论起源于光学。牛顿于1672年用他的“微粒说”来解释光的色散现象，而胡克是坚持波动说的。他在皇家学会讨论会上的尖锐言辞使得牛顿大怒，从此对胡克充满敌意。胡克去世后，牛顿发表了他的宣扬微粒说的《光学》一书，这个光微粒的概念统治物理界一百多年，直到后来由于菲涅尔的工作，才重新发现胡克的波动说。
胡克对物理学有杰出的贡献。但在当时更有势力、更有显赫地位的牛顿的打压下，一生都无出头之日。晚年更是愤世嫉俗、郁闷而死。死后墓地不详，连照片也没留下一张。据说牛顿还利用权势，企图毁掉与胡克有关的许多资料，诸如手稿和文章等，但最后被皇家学会阻止。
据说胡克和牛顿曾经以通信方式讨论过万有引力，胡克在信中提到他的许多想法，包括他从1660年就有的平方反比定律思想，但后来牛顿在其著作中删去了所有对胡克工作的引用。
也就是在与胡克讨论万有引力的信件中，出现了那句牛顿的名言：“如果我看得远一些，那是因为我站在了巨人的肩膀上”。据说胡克身材矮小外加驼背，因而有研究者怀疑牛顿此话是在故意借胡克的身体缺陷来挖苦讽刺他。这些事情年代久远，后人难以琢磨牛顿当年写这句话时的真实心态，但无论如何，牛顿这句话字面上的意思是没错的。
任何科学家的重大发现都是基于前人工作的基础上，众多科学家们的默默奉献，造就了“巨人的肩膀”。在牛顿时代，科学界已经有了万物之间都有引力作用的猜想。万有引力概念及平方反比率的想法均由胡克最先（至少是独立于牛顿）提出，但牛顿创建了强大的数学工具微积分，对开普勒定律进行计算验证，最终用这个理论解释了行星的椭圆轨道问题，建立了万有引力定律。
当初也有几个数学家怀疑过万有引力遵循的平方反比律，其中包括大数学家欧拉。其实现在看起来，平方反比律也可算是大自然造物的秘诀之一。大自然似乎总是以一种高明而又简略的方式来设置自然规律。符合平方反比律的自然规律有不少：静电力和引力相仿，也遵循平方反比律；还有其他一些现象，诸如光线、辐射、声音的传播等，也由平方反比规律决定。为什么会是这样？为什么刚好是平方反比、是2而非其他呢？人们逐渐认识到，这个平方反比律不是随便任意选定的，它和我们生活在其中的空间维数“三”有关。
在各向同性的三维空间中的任何一种点信号源，其传播都将服从平方反比定律。这是由空间的几何性质决定的。设想在我们生活的三维欧几里得空间中，有某种球对称的（或者是点）辐射源。如图1-6-2所示，其辐射可以用从点光源发出的射线表示。一个点源在一定的时间间隔内所发射出的能量是一定的。这份能量向各个方向传播，不同时间到达不同大小的球面。当距离呈线性增加时，球面面积4πr2 却是以平方规律增长。因此，同样一份能量，所需要分配到的面积越来越大。比如说，假设距离为1时，场强为1；当距离变成2的时候，同样的能量需要覆盖原来4倍的面积，因而使强度变成了1/4，下降到原来的1/4。这个结论也就是场强的平方反比定律。
图1-6-2 点信号源的传播服从平方反比律
从现代的矢量分析及场论的观点来看，在n维欧氏空间中，场强的变化应该与rn-1成反比，当n=3，便化简成了平方反比定律。
得出了引力应该和距离平方成反比的结论之后，牛顿又继续思考月亮为什么不往地心掉落的问题。如果月亮也和苹果一样，受到的是地心的吸引力的话，苹果下落，为何月亮不下落？又为何地球也不会掉落到太阳上呢？据牛顿自己回忆，在这个问题上惠更斯关于离心力的思想给了他启发。他也看到孩子们经常用绳子系着小球转圈玩，如果转得太快了的话，绳子会被拉断而使小球径直向前抛出。这个现象是否与月球地球的运动有相似之处呢？地球的吸引力和月亮转动的离心力相互平衡而维持了月亮稳定地绕地球作圆周运动。因此，重力既是使苹果下落的力，也是维持行星和恒星之间运动的作用力。于是，牛顿又作进一步地计算。他发现，如果离心力刚好与距离成反比的话，行星必然要环绕力的中心沿椭圆轨道旋转，并且从这中心与行星作出的连线所经过的面积与时间成正比。牛顿的三大运动定律中的第三定律是关于作用力和反作用力的，将它用到引力问题上的话，便显然得出结论：地球吸引月亮的同时，月亮也以同样大小、方向相反的力作用到地球上。对苹果来说也是如此，地球吸引苹果，苹果也应该吸引地球，但是这个力对地球来说影响很小，那是因为地球质量太大的缘故。牛顿用他的运动第二定律，轻而易举地想通了这个问题，由此牛顿确定了引力“作用在世间万物”的思想。
那么，两个物体之间的万有引力除了与距离平方成反比之外，还与哪些物理量有关呢？牛顿很容易地想到了应该与两个物体的质量成正比。这个想法，从地球上，质量越大的物体越重这一点便可以看出来，从天体运动的规律也可以验证。因此，牛顿万有引力定律最后写成：
其中的比例系数G称为万有引力常数。G是多大，当时的牛顿也回答不出来，直到1798年英国物理学家卡文迪什利用著名的卡文迪什扭秤（即卡文迪什实验），才较精确地测出了这个数值。
牛顿引力理论揭开了部分引力之谜，统治物理界两百多年，直到爱因斯坦的广义相对论问世。广义相对论别开生面，将引力与时间空间的弯曲性质联系起来。我们所熟悉的欧几里得空间是平直而不是弯曲的。因此，在介绍广义相对论之前，在第2章中将首先介绍这个理论的数学基础：描述弯曲空间的黎曼几何。