4.1 自由振动

振动即结构在平衡位置附近的往复运动，而自由振动指的是运动过程中不受外力作用，这种运动通常是由某些因素，如冲击激励，导致结构在初始时刻即已偏离平衡位置，而后遵循基本的动力学方程发生运动。

自由振动响应通常是一条随时间逐步衰减的曲线，对应的是OptiStruct中的瞬态响应分析类型，包括直接法瞬态分析DTRAN、模态法瞬态分析MTRAN。

4.1.1 无阻尼系统

弹簧振子模型是一个典型的无阻尼单自由度振动系统，如图4-1所示，质量为m，弹簧刚度为k，无阻尼作用。质量块m在平衡位置附近发生微小偏移u（t）时，运动方程为

当自由振动不受外激励作用时，f（t）=0，此时方程的解为

式中，u₀与为系统初始时刻的位移和速度；，称为系统的固有 （圆）频率或自然频率，下标n表示“nature”，单位为rad/s；振动位移u（t）为两个右端项的线性组合，分别为初始速度引起的自由响应项和初始位移u₀引起的自由响应项u₀cos（ω_nt）。

无阻尼自由振动如图4-2所示，它是一条无衰减的往复运动曲线，最显著的特征是振动的频率ω_n不随时间发生变化，是系统的固有特性，取决于结构的刚度k和质量m。单自由度系统的固有频率只有一个ω_n，而多自由度振动系统的固有频率则为{ω₁,ω₂,ω₃,…}，有若干个与自由度数相等的固有频率。

4.1.2 有阻尼系统

实际结构的自由振动都是衰减的，这种衰减源于各种能量耗散，如材料弹性形变的耗散、接触面的摩擦、流体介质的阻力等。在结构动力学中，将导致能量损耗的因素统称为阻尼。

阻尼的表现形式非常复杂，在结构动力学计算中需要将其进行简化，其中一种简化的表达形式为黏性阻尼。黏性阻尼假定能量耗散由结构内部的“阻尼力”引起，阻尼力仅与结构振动速度成比例，且方向相反，即f（t）=-cu（t），c为黏性阻尼系数。这样，有阻尼单自由度振动系统的动力学方程为

对应解的形式为

式中，系数C₁、C₂由初始条件u₀与决定；，称为振动系统的 （黏性）阻尼比。

阻尼比是结构振动的关键因素，不同的阻尼比ζ数值对应不同的位移解曲线形式。一般区分为图4-3所示的几类。

1）欠阻尼，0<ζ<1。此时位移表达式为或，是随时间逐步衰减的振动形式。

2）临界阻尼，ζ=1。此时位移表达式为，为非振动的衰减曲线。

3）过阻尼，ζ>1。此时结构运动也为非振动的衰减曲线。

4）负阻尼，ζ<0。此时结构振动的幅值随时间逐步放大，称为振动“发散”。

工程应用中的绝大多数结构振动为欠阻尼形式，且ζ≪1。阻尼比ξ越高，则振动衰减越快。当ζ≥1时，响应为非振动形式，运动在达到某一峰值后呈指数形式衰减。负阻尼ζ<0只在一些特定的应用中出现，例如： 转子动力学或刹车啸叫等问题中，结构的某些固有频率可能对应负阻尼，它是外界能量输入振动结构的表现。

在OptiStruct动力学分析中，支持多种形式的阻尼设置，包括黏性阻尼单元，整体结构阻尼PARAM,G，单元结构阻尼GE，SDAMPING阻尼，瑞利阻尼PARAM,ALPHA1及PARAM, ALPHA2等。有限元中的阻尼是人为给定的，是实际结构能量耗散的近似描述，一般需要根据试验进行标定。