2.3　分析工具

对于线性、平稳过程，确定模型的分析工具得到了很大发展，而且这些分析工具的解释作用也得到了很好的理解。最常用的统计方法是自相关系数与互相关系数：

ρk=corr（yt，yt-k）

和

ck=corr（yt，xt-k）

及其估计方法，偏相关系数：

也非常有用。如果过程不是线性平稳的，以上分析工具的用途就值得怀疑。例如，xt、μt都是高斯白噪声序列。很明显，存在yt=βyt-1xt-1+ut，对于所有k≠0，有ρk=0；对于所有k，有ck=0，从而yt既不能依据自身的历史数据进行线性预测，也不能根据xt和yt的历史数据进行线性预测。然而，通过非线性方法预测后一期yt是可能的，相应的最优预测为：

ft，1=βytxt

此外，Blatt（1987）构造了扩散的上下界约束的确定性振动序列，发现该序列的自相关系数估计值与平稳过程的自相关系数差别不大。同样地，扩散AR（1）过程的自相关系数和平稳AR（1）过程的自相关系数也相差不多。显然，特定状态的专用工具用于其他地方必然产生误导作用，并且很难解释分析结果。

判断是否为非线性模型的简单工具很少，双谱是其中之一，但一般很难解释，也可利用相关程度、李雅普诺夫指数（Lyapunov exponents）、柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov entropy）等描述性统计量分析混沌过程，具体的统计量描述可参见Lorenz（1989）。尽管上述统计量能区别确定性混沌过程和随机过程（参见3.3节的讨论），但不能用于区别两个随机过程。

潜在有用的统计工具应该能测度yt和yt-k或yt与xt-k之间的关系，存在许多衡量关联度的有用方法。对于随机变量y和x，相应的统计工具包括：

（a）最大相关系数，定义为：

mρ=corr（g（y），f（x））

其中，函数f、g是使得mρ达到最大的函数。

（b）最大均值相关：

mm=corr（y，f（x））

其中，函数f是使得mm达到最大的函数。

（c）最大回归系数：

mr=R2回归

y=f（x）+残值

其中，函数f是使mr达到最大的函数。

在时间序列中，对于mρyy（k）而言，y可以是yt+k，x可以是yt；对于mρyx（k）而言，x可以是xt，可以利用Breiman和Friedman（1988）提出的ACE法则估计函数mρ，可以利用ACE的第一步估计函数mm。一般认为，相应函数是三次函数或非参数函数，可以直接运用Tibshirani（1988）提出的法则估计mr。可以通过选择yt或xt的参数函数对yt+k进行回归得到mr的近似值。例如，选择log|x|、x、x2和exp{x}。的数值暗示非线性关系的潜在相关程度。

此外，Pinsker（1964）和McEliece（1977）讨论的相互信息测度（mutual information measure）理论中，存在“影子自相关系数”（shadow autocorrelation）R的有用统计量。令X、Y是一对随机变量，其联合密度分布函数为p（x，y），边际函数为p1（x）和p2（y），相互信息测度I（X，Y）定义为：

并定义

R2（X，Y）=1-exp（-2I（X，Y））

Granger和Lin（1991）指出，R（X，Y）具有以下性质：

（1）当且仅当X、Y独立时，R=0。

（2）当且仅当X=f（Y），其中f()可逆时，R=1。

（3）若分别同期变换X和Y得到g（X）和h（Y），则R不变。

（4）若X和Y（可能各自经过同期变换）的最终变量服从联合高斯分布，其相关系数为ρ，则R=|ρ|。当然，不一定存在该变换。

如果用xt和xt-k代替X和Y，Rk≡R（xt，xt-k）为广义自回归系数，那么，可以利用广义自回归系数估计适合模型的滞后阶数，可以用非参数方法估计相应的分布函数。

Granger和Lin（1991）通过模拟方法研究了的性质。例如，对于独立同分布过程，样本量为n时，核密度估计（kernel density estimator）的带宽（band width）与n-1/5成比例。由于限制估计值为正，即使Rk的期望值为零，的期望值仍为正数。表2-1给出了的偏度。

在其他滞后阶数下，的大小亦相似。例如，样本量为300与原假设为Rk=0时，95%和99%的临界值分别是0.204 5和0.221 2。因此，对应该样本量，大于临界值的的估计值说明xt和xt-k不是相互独立的。成功使用影子自相关系数，将下面每个模型模拟200次，生成一个样本量为300的模型：

（1）　

（2）　yt=0.6et-1yt-2+et（bilinear）

（3）　yt=4yt-1（1-yt-1）（deterministic chaos）

其中，et是服从N（0，1）的独立同分布序列。

表2-2给出的平均估计值，不同模型的显著水平对应于相应的滞后阶数。与随机过程相比，混沌序列的显著水平较低。线性自回归模型和非线性自回归模型的结果也很值得注意。

①表示至少在95%的临界值。

例如，下面的三个模型：

（4）　yt=|yt-1|0.8+et（NLAR（1））

（5）　yt=sign（yt-1）+et（NLAR（1））

（6）　yt=yt-1+et.（随机漫步）

表2-3给出了的平均值。对于非线性AR（1）模型，影子自相关系数指数递减，并且与线性AR（1）模型的自相关系数的表达式相似。同样，与线性自回归模型一样，随机漫步模型的随着k的增加而缓慢减小，只是在较低的滞后阶数下，存在过小偏差。

当k增加时，广义偏相关很难估计，但也可以定义。有用的统计量是Kendall偏（τ），Quade（1976）将其定义为：

考虑随机变量Xt、Yt、Zt，且‖Zt-Zs‖≤L，‖U‖是范数，L是预先确定的许可范围，根据上述条件，定义μ（t，s）=sign［（Xt-Xs）（Yt-Ys）］，Cp=μ（t，s）为正的（t，s）组合个数，Dp=μ（t，s）为负的、0≤t≤T的（t，s）组合个数，Np是μ（t，s）为常数的（t，s）组合个数。最后，定义

τp=（Cp-Dp）/Np

在时间序列下，令X=xt，Y=xt-k，Z=xt-1，…，xt-k+1。基于该统计量及其渐进服从正态N（0，1）分布的检验方法有助于正确选择简单非线性自回归模型的滞后阶数，但不适用于选择非线性移动平均模型的滞后阶数。与线性模型的自相关系数的偏相关系数一样，该统计量及影子自相关系数和Kendall偏（τ）也非常有用。

最后的有用工具是帮助确定模型的组成部分。为了解释该方法，假定只有两个可观测输入xt和wt解释yt，相应模型的形式为：

两个统计量有助于选择p值和q值：

其中，是特定p和q的残差et的估计方差，n是参数α和β的最大似然估计的样本数。AIC与BIC统计量用于估计各种可能的p和q，p0和q0是最小化统计量的响应值。如果p和q的真实值无界，那么问题是对应样本数n，哪个有界的p0和q0最接近于真实的无界模型。此时，可以使用AIC统计量。如果真实模型p和q是有界的，那么，可以使用BIC统计量。对于AIC和BIC统计量，没有显著性检验能验证（p0，q0）的模型显著优于（p0-1，q0-1）的模型。现实的输入一般超过两个，需要选择许多参数p1，…，pm，而不仅仅是p和q。选择多参数的较大模型时，AIC和BIC统计量提供了相应的损失惩罚，可参见Judge等（1985）。此处假定输入已知，但是许多模型的函数形式是输入的线性组合。第7章讨论的神经网络或非参数模型的函数形式可以表示为ϕ（∑cjxt-j）。这些例子通常包括许多参数，例如函数内部参数和与函数相乘的参数。若存在p个这样的函数，并且每个函数都是r个输入的不同线性组合，则参数总数为pr。Rissanen（1989）建议使用pr代替p的BIC准则，并称之为复杂性准则。如前所述，尽管可以选择最小化BIC准则的p值，但是还不存在显著性检验。