1.2　单变量非线性模型

本部分我们介绍一些简单的单变量非线性模型。在随后的章节考虑多变量拓展模型时还会详细讨论这些模型的性质。

一个重要且简单的模型是一阶非线性自回归模型。序列yt的产生过程如下：

yt=f（yt-1）+εt　（1-1）

其中，εt是均值为零的独立同分布序列，记作yt～NLAR（1）。

Markov过程具有以下性质：对于所有的yt-j，j≥0，yt+1的条件分布与条件为yt的yt+1的条件分布相同。因此，这一序列的未来信息都包括在当期信息里。显然，NLAR（1）过程是Markov过程。另一种NLAR（1）的形式是：

yt=g（yt-1）·yt-1+εt　（1-2）

通常这个模型更为有用。该模型的确定性部分是：

y=0是一个均衡点，并且如果，那么对于所有的t>s，=0。广义p阶滞后模型NLAR（p）为：

yt=f（yt-j，j=1，…，p）+εt　（1-3）

如果p>1，那么则不是Markov过程。

各种特定形式的单变量NIAR模型已经引起了关注（具体可见Tong（1990））。其中一个例子是阈值自回归模型（TAR），这一模型具有以下形式：

其中，a1≠a2。

因而，由于转换规则的存在，一个线性模型的参数会随着时间变化，其取值依赖于序列之前的数值。这一模型显然有很多的拓展形式，比如设定多区间转换、多阶滞后，转换规则也可以依赖于其他变量。在这样的设定中，参数的取值变化会更剧烈，这种变化在某些情形中可能会被认为是不切实际的。另一种简单的平滑转换模型是：

yt=a·g（yt-2）·yt-1+εt　（1-5）

其中，g（y）是平滑的非递减函数，其中，，对于所有的y，α1<g（y）<α2。g（y）类似一个累积密度函数或logistic函数。这样的模型称之为平滑TAR模型或平滑转换自回归模型（STAR）。显然，其他的拓展形式也是可能的。

另一种受到关注的NLAR模型是指数AR模型：

yt=a1yt-1+a2yt-2+εt

其中，　j=1，2，可参见Ozaki（1985）。

如果的值为负或者大于1，那么该过程就包含有限循环，从而该序列包含一个大小为t的周期因素。

非线性移动平均模型可以采用许多形式，例如：

yt=εt+h1（εt-1）+h2（εt-2）　（1-6）

一个简单的形式是：

我们将之记作NLMA（1）。

处于NLAR和NLMA之间的模型是双线性模型，例如：

yt=εt+bεt-1yt-2　（1-7）

或

yt=ayt-1+εt+bεt-2yt-2

这些模型，比如（1-7）具有白噪声性质，Granger和Andersen（1978）论述过这类问题。他们也提供了一个不能用于线性预测，但可以进行非线性预测的模型。

迄今为止考虑的模型都有固定参数，但是当个人偏好、技术水平和政策规则发生变化时，模型显然具有时变参数。如果变化的原因是不可观察的，就可以考虑如下形式的模型：

yt=βtxt-1+εt

βt=m+αβt-1+ηt

我们称之为时变参数自回归模型（VPAR（1））。βt是不可观察的，但是可以通过卡尔曼滤波的反复迭代方法估计，Granger和Newbold（1986）、Harvey（1981）等文献解释过这一问题。但是，由于通过数据估计得出βt，实际模型同样可以被认定是非线性模型，而不是时变参数模型。显然，要区分这两类模型是困难的。在α=0的情形下，模型就成为“随机系数”模型，Nicholls和Quinn（1982）详细讨论过这一模型。

如果参数变化的原因是一些可观测的变量，记为zt，我们就得到一个“双随机”模型，Tjøstheim（1986）讨论过这类模型。一个例子是，

yt=βxt-1zt+εt

其中，xt和zt都是可观测序列。这类模型很重要，并且不是严格的单变量模型，我们将在2.1节更全面地讨论这类模型。