2.2.2 正弦交流电的相量表示法

在线性电路中，正弦交流电源激励在电路中引起的响应，是频率相同的正弦电压或正弦电流，所以在分析正弦交流电路时，可不考虑角频率或频率的差别，而只考虑幅值或有效值，以及初相这两个要素的差别。

基于这个考虑，并为了便于分析正弦交流电路，提出了用相量来等价表达正弦量的方法，称为相量表示法，表达的结果称为相量表达式。相量表示法：对正弦量a，其对应的相量为有效值A上加一小圆点，记作；相量是一个复数，采用极坐标式表达，复数的模为正弦量a的有效值A，复数的辐角为正弦量a的初相。即，对正弦量a＝A_msin（ωt+ψ），其对应的相量表达式为

该式也称为正弦量a的有效值相量式。

相量是复数，但不能说复数就是相量，相量是一个与正弦量相对应的复数。为了有所区别，相量符号上会加一个小圆点，而一般的复数则不用加此圆点。

有些地方，正弦量a＝A_msin（ωt+ψ）对应的相量也用幅值相量来表达，即

即正弦量a对应的相量为，该复数极坐标式的模为正弦量a的幅值A_m，辐角为正弦量a的初相。

一般来说，正弦量a的幅值相量用得比较少，而常用的是有效值相量。

于是，对正弦电流i，其瞬时表达式和对应的相量式为

对正弦电压u，其瞬时表达式和对应的相量式为

需要注意的是，正弦量的瞬时表达式和其相量式可以相互表达，即知道其中一个表达式，可以写出另一个表达式，即这两种表达方式是等价的。但正弦量和其相量并不相等，正弦量是随时间变化的实数，而其相量是一个不随时间变化的复数。比如，I_msin（ωt+ψ_i）≠I∠ψ_i。

相量的作用：可用于简化瞬时表达式的计算。见如下例题。

【例题2.1】在如图2.2所示正弦交流电路中，与节点a相连的支路有4条，支路上的电流如图所示。其中3条支路的电流分别为i₁＝5sinωtA，i₂＝8sin（ωt－30°）A，i₃＝10sin（ωt+90°）A。求支路电流i。

解答：对节点a，所有电流的瞬时表达式是满足基尔霍夫电流定律的，即有

直接将正弦电流i₁、i₂和i₃的表达式代入式（2.45），通过三角函数关系，可以计算得到电流i，而且计算得到的电流i肯定还是一个正弦量。但这样计算比较复杂，可以采用对应的相量来计算，然后根据相量表达式，写出电流i的瞬时表达式。

对节点a，如果各正弦电流的瞬时值符合式（2.45）的约束，则各正弦电流的相量也满足同样的方程，即有

于是有

根据相量与对应正弦量的关系，求得正弦电流i为