13.树叶上的几何学

【题目】在一棵大杨树下，由它的根部又冒出来一棵小杨树。扯下小树上的叶子观察，会发现它比大杨树上的叶子大很多。因为小杨树长在大杨树的阴影下，只有增加自己的叶面面积才能吸收到自己生长需要的阳光。虽然这个问题应由植物学领域的人去探究，不过身为几何学家，还是可以探讨一下小杨树叶子面积究竟是大杨树叶子的几倍。

如何求解？

【题解】计算这道题目的方法有两种：第一种，逐个算出每片树叶的面积，再计算它们的比值。测量树叶面积可用带固定大小方格的透明纸来完成。这个方法很简单，但是要细心，优点在于其能够测量形状怪异的叶子面积。

第二种，可以用叶子的相似性求解，这需要两棵树的叶子形态很接近才行。我们知道，树叶的面积比值等于其直线大小的平方比，于是只需要测量其直线大小比值，便能够知道其面积比值。举个例子，如果小杨树上叶长15cm，大杨树上叶长4cm，于是其直线大小之比为15：4，其面积之比为225：16。求整后分析，小杨树叶子的面积大概是大杨树叶子的面积的15倍。

【题目】有一棵在阴面长成的蒲公英叶长31cm，而一棵在阳面成长起来的叶长仅有3.3cm。求阴面蒲公英叶面面积是阳面蒲公英叶面面积的多少倍？

【题解】我们还是按照刚才介绍的方法计算。阴面和阳面叶面面积的比例是：

这意味着，阴面的叶面面积为阳面叶面面积的88倍。

在树林里能看到众多形态各异大小不同的树叶，这些都是研究近似图形面积比的素材。也许有些人一时半会儿还难以理解，两棵树上的叶子的长和宽较为接近，却在面积上有那么大的差异，比如有两片形似的树叶，一棵树上叶子的直线长度为另一棵树上叶子的直线长度的120%（1.2：1），但是这两棵树上的叶子的面积的比值却为：

1.22≈1.4，即1.4：1

若这棵树上的树叶直线长度为另一棵树上树叶直线长度的40%，这样一来，它的树叶面积就是另一棵的近2倍：

1.42≈2

【题目】计算一下图22和图23中的树叶面积。

图22　树叶形状与面积间的关系

图23　树叶面积的比值