47.两个小球

【题目】（1）图39展示了两个小球，点A距离地面高度为h。现在从A点同时释放两个小球，一个沿着AC下滑，另一个自由落体。那么，哪个小球获得的平移速度更大？

（2）如图40，现在有两个一模一样的球，一个沿着坡面滚动，另一个沿着两篇平行木板滚动，两个斜面的倾角一致，垂直高度也一致。那么，哪个小球会率先到达底端？

【题解】（1）由于垂直自由落体的小球只做平移运动，另一个却做平移和旋转两种运动，这个不同点会影响两只小球的速度。那么现在就来计算一下：

设小球重力p，自由落体时其在顶端时的势能全部转化为重力势能，则：

则此小球最终的速度为：

现在研究另一个沿斜ω面下滑的小球。其下滑时势能ph将转化为速度为v1的平移运动动能及角速度ω的旋转运动动能。于是，等式变为：

根据力学知识，质量m、半径r的均质小球惯性力矩K对于通过中心的中轴线来说等于，那么即可推算出平移速度为v1的此球角速度为。那么小球旋转运动的能量为：

用mgh替换ph，则此时旋转小球的能量守恒式变更为：

简化后得：

那么平移速度就可以求得为：

比较后得出，

v1比v小了。也就是说，不管在过程的哪一点，也不管小球的半径和质量，滚落的小球和从同高度自由落体的小球相比，速度都要小后者16%，而沿着坡面滚动的小球和沿着坡面下滑的小球相比，速度同样小后者16%。

如果清楚地知道物理的发展史，人们便都知道是伽利略提出物体的落体定律。如图41，他将一只小球放到约6m长，0.5m到1m高的坡槽之中，完成了这个定律的确立。有人可能会说他的路径选择可能有些问题，但是，由于这个小球在移动时加速度不会变，于是不论在这条坡槽的什么地方，它的速度都将是自由落体小球速度的0.84倍，路程和时间之间的关系除了因数不变，其他都是一致的。所以伽利略才能够用这种方法得出正确的结论。

书中这样说道：“我曾发现，如果把槽的长度替换，减小为原来的四分之一，那么小球滚到底所用的时间将缩短为二分之一。试验很多次之后，我发现经过的路程比值恒是时间比的平方。”

（2）对于第二个问题，首先，两个小球一开始的势能是一样的：质量相等，高度相等。然而，由于木板间的球滚动的有效半径要比平面滚动的球有效半径小些，导致r1＞r2。于是：

平面滚动球的势能：

木板滚动球的势能：

计算得出

于是：

由于在此之前得到过r1＞r2。这个结论，于是可以推算出v1＞v2。所以，平面滚动的球要先到达坡底。