2.2 地球曲率对测量工作的影响

水准面和参考椭球面都是曲面，要在这样的曲面上进行测量计算，是很不方便的。当测区较小时，可将曲面视为水平面。但是，用平面代替曲面，必然会在测量和制图工作中带来误差，并且范围越大，影响会越大。下面讨论用平面代替曲面对距离和高差的影响，以考虑多大范围方可取用。

图2.14 地球曲率对距离和高差的影响

2.2.1 对距离的影响

如图2.14所示，设D为地面上C、P两点投影在曲面上的距离，D′为投影在切平面上的距离，θ为弧长D所对的圆心角，以弧度（rad）为单位，R为地球曲率半径。

由数学分析

取式 （2.8）右端前两项，代入 （2.7）式，并顾及θ=，得

将式（2.9）两端同除以D，得

以不同的D值代入式 （2.10），算出距离误差ΔD及相对误差列于表2.2。

从表2.2可知，当距离为10km时，以平面代替曲面所产生的距离误差为0.82cm，相对误差约为1/1210000，这样小的误差，在地面上进行精密测距时也是允许的。所以，在半径为10km范围内，以平面代替曲面所产生的距离误差可以忽略不计。对一般工程测量和地形测量来说，在半径为20km范围内，也可以用平面代替曲面。

2.2.2 对高程的影响

如图2.14所示，用切平面代替大地水准面，对高程的影响为Δh，不难看出

R ²+D′²=(R+Δh)²=R²+2ΔhR+Δh²

由此推算出

式（2.11）右端，分子用D代替D′；分母由于Δh相对于2R很小，可以略去不计。所以式（2.11）可写成

以不同的数值代入式（2.12），算出高程误差Δh列于表2.3中。

从表2.3可知，用水平面代替水准面，200m距离对高程的影响就超过了3mm，可见地球曲率对高差（或高程）的影响很大，因此在高程测量中，即便距离较短，也应顾及地球曲率的影响。