第三节 外力、应力、应变和位移

在材料力学中的外力、应力、应变和位移这些物理量已经作过介绍，但在弹性力学不完全相同，因此这里仍需作一些必要的说明。

一、外力

作用于物体上的外力，按其作用方式的不同，可以分为体积力和表面力两类，分别简称为体力和面力。

体力是分布在物体内部的力，例如物体的自重、惯性力等。一般在物体内部各点的体力是不相同的，将任一点P处的单位体积内所作用的体力，沿着直角坐标轴x、y、z三个方向的投影，分别记为f_x、f_y、f_z，这三个量称为物体在该点的体力分量，并规定它们以坐标轴的正方向为正向，体力的量纲是［力］/［长度］³。

面力是作用在物体表面上的力，例如作用在墙梁上的均布荷载、水坝上游表面的静水压力、挡土墙的土压力等。作用在物体表面上的各点力的大小和方向一般也是不相同的。将作用在物体表面上任一点P处单位面积上的面力，沿着直角坐标轴x、y、z三个方向上的投影，分别记为f_x、f_y、f_z，这三个量称为P点的面力分量，它们也以沿坐标轴的正方向为正向，面力的量纲是［力］/［长度］²。

二、应力

物体受外力作用以后，在其内部将要产生应力，是作用在物体切割面上，不同截面之间相互的作用与反作用力。在物体内的同一点上切割不同截面，这些截面上的应力是不相同的。为了研究物体在其某一点P处的应力状态，即各个截面上应力的大小和方向，可以围绕该点取出一个无穷小的正六面体，如图1-1所示。取PA=dx，PB=dy，PC=dz，此六面体称为单元体。将单元体每一个面上的应力分解成为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行，并称为该面的三个应力分量。

正应力用σ表示。作用在垂直于x轴的面上级，并沿着x轴方向的应力记为σ_x。因作用面的外法线方向与应力方面一致，为了简化起见，只需加一个x下标就足够了。

剪应力用τ表示，并加上两个下标：如τ_xy，前一个下标表示作用面的外法线方向，后一个下标表示应力沿着哪一个坐标轴方向。如剪应力τ_xy是作用在外法线平行于x轴的面上，其作用方向与y轴平行。其余类推。

应力的符号是这样规定的：如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个截面就称为正面（例如图1-1中的右方、前方、上方这三个面），正面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向则为负；相反，如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个截面就称为负面（例如图1-1中的左方、后方、下方这三个面），而负面上的应力分量是以沿坐标轴负方向为正向，沿坐标轴正方向为负。图1-1中所表示的应力分量全部是正向的。

上述符号的规定，对于正应力是以拉应力为正，而以压应力为负，这与材料力学中的符号规定是相同的。但是对于剪应力，结果和材料力学中的规定不一致。

在下节里将可以证明六个剪应力之间具有互等关系，即

τ_xy=τ_yx；τ_yz=τ_zy；τ_zx=τ_xz

由此可见，单元体上的九个应力中只有六个是独立的，它们是三个正应力σ_x、σ_y、σ_z和三个剪应力τ_xy、τ_yz、τ_zx。这个六个应力统称为该点的应力分量，它们的量纲是［力］/［长度］²。

三、应变

单元体受力之后，要发生形状的改变，这种改变可以归结为长度的改变和角度的改变。按照定义：任一线段（例如图1-1中的三个棱边PA、PB、PC）每单位长度的伸长或缩短，称为正应变（或称线应变）；任意两个线段之间（例如图1-1中的棱边PA和PB）夹角（直角）的改变，称为剪应变（或称为角应变）。

正应变用字母ε表示，例如ε_x表示x方向的线段PA的正应变，其余类推。正应变以伸长为正，缩短为负，与正应力的正负号规定相对应。

剪应变用字母γ表示，例如γ_yz表示y与z两个方向的线段（即PB与PC）之间的夹角的改变，其余类推。剪应变以使夹角变小时为正，反之为负，与剪应力的正负号规定相对应。

因为正应变和剪应变都是表示相对变形，所以，它们都是无量纲的量。我们将三个正应变ε_x、ε_y、ε_z和三个剪应变γ_xy、γ_yz、γ_zx统称为一点的应变分量。

四、位移

所谓位移就是位置的移动。物体在受力之后或其他原因（如温度改变），其内部各点将发生位移。物体内任一点的位移，在x、y、z三个坐标轴方向的投影，用u、v、w来表示，这种三个量统称为一点的位移分量，它们以沿坐标轴正方向为正，反之为负。位移的量纲是［长度］。

在一般情况下，弹性体内任一点的体力分量、面力分量、应力分量、应变分量以及位移分量，都是随点的位置不同而不同，因而它们都是点的位置坐标的连续函数。