第五节 边界条件

边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。它可以分为应力边界条件，位移边界条件和混合边界条件。

（1）应力边界条件。

在图2-13中，弹性体的边界周线为S，其中自由边界为S₁，其上作用给定的表面为、。另一部分固定边界为S₂，其上位移u和v都为零。

在自由边S₁上仍应满足平衡条件。为了推导自由边界处表面力、与单元体应力之间的平衡方程，我们在自由边界处割取一个单元体。一般来说，这时所取胜的单元体不再是一个正六面体，而是一个微小的三角形或三棱柱体，如图2-13中的ABD阴影部分所示。为了清楚起见，取隔离体受力图（图2-14），它的斜面AB与物体的边界面重合，沿S方向的厚度取为t₀用n代表边界面AB的外法线方向，它的方向余弦为cos（n，x）=l，cos（n，y）=m。

设边界面AB的长度为ds，则截面DB及DA的长度分别为l·ds及m·ds。

由平衡条件∑F_x=0，得略去上式中包含ds平方的微量项，并两边除以tds，得

式（2-21）就是在边界S₁上应力与表面力之间的平衡方程，称为平面问题静力边界条件。

若弹性体处于平衡状态，则在其内部应满足平衡微分方程式（2-1），同时，在自由边界S₁上应满足应力边界条件式（2-21）。

应注意：在应力边界条件式（2-21）中，应力分量和面力分量分别作用于不同的面上，且各有不同的正负号规定。由于微分体是微小的，所以式（2-21）表示在边界点，坐标面上的应力分量与边界面（一般为斜面）上的面力分量之间的关系式。应力边界条件是在边界上建立的，因此，必须把边界s的坐标表达式代入到左边的应力分量中，式（2-21）才成立。

当边界面为坐标面时，应力边界条件可以化为简单的形式。例如，若边界面x=a为正x面（其外法线指向正x方向），l=1，m=0，则在此面上应力边界条件式（2-21）简化为

若边界面x=b为负x面（其外法线指向负x方向），l=-1，m=0，则在此面上应力边界条件式（2-21）简化为

在式（a）和式（b）中，正、负x面上的面力分量一般为随y而变化的函数。由式（a）和式（b）可见，由于应力分量和面力分量的正负号规定的不同，在正坐标面上，应力分量与面力分量同号；在负坐标面上，应力分量与面力分量异号。

从上还可见，应力边界条件可以有两种表达方式：一是在边界点取出一个微分体，考虑其平衡条件，得出应力边界条件。另一种表达方式是，在同一界面上，应力分量的边界值就等于对应的面力分量。由于面力分量是给定的，因此，应力分量的绝对值等于面力分量的绝对值；而面力分量的方向就是应力分量的方向，并可按照应力分量的正负号规定来确定应力分量的正负号。

例如，若边界面y=c，d分别为正、负y坐标面，按照这种表达方式，就同样有

在平面问题中，每边都有表示x向和y向的两个边界条件。并且，在边界面为正、负x面时，应力边界条件中并没有σ_y；在边界面为正、负y面时，应力边界条件中并没有σ_x。这就是说，平行于边界面的正应力，它的边界值与面力分量并不直接相关。

（2）位移边界条件。

若图2-13中在s₂部分边界上给定了约束位移分量u（s）和v（s），则对于此边界上的每一点，位移函数u和v应满足

其中u（s）和v（s）是位移的边界值，u（s）和v（s）是位移在边界上坐标的已知函数，式（2-22）称为平面问题的位移边界条件。对于完全固定边，u=v=0，有

（3）混合边界条件。

在平面问题的混合边界条件中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件，如式（2-22）所示；另一部分边界则具有已知面力，因而具有应力边界条件，如式（2-21）所示。此外，在同一部分边界上还可能出现混合边界条件，即两个边界条件中的一个是位移边界条件，而另一个则是应力边界条件。例如，设某一个x面时连杆支承边，如图2-15（a）所示，则在x方向有位移边界条件（u）_s=u=0，而在y方向有应力边界条件（τ_xy）_s=f_y=0。又例如，设某一个x面是齿槽边，如图2-15（b）所示，则在x方向有应力边界条件（σ_x）_s=f_x=0，而在y方向有位移边界条件（v）_s=v=0。在垂直于y轴的边界上，以及与坐标轴斜交的边界上，都可能有与此相似的混合边界条件。