2.6 作用于平面上的静水总压力

水工建筑物常常与水体直接接触，所以计算某一受压面的静水压力是经常遇到的实际问题。

2.6.1 作用于矩形平面上的静水压力

1.静水压力的计算

平面上静水压力的大小，应等于分布在平面上各点静水压强的总和。因而，作用在单位宽度上的静水总压力，应等于静水压强分布图的面积；整个矩形平面上的静水总压力，则等于平面宽度乘以压强分布图的面积，即单位宽度上的静水总压力为，整个矩形平面上的静水总压力。

图2.19

对于任意倾斜放置的矩形平面ABEF，如图2.19所示。如果平面长为L，宽为b，压强分布图形的面积为Ω，则作用于该矩形平面上的静水总压力为

因为压强分布图形为梯形，故，代入上式得

2.压力的作用点

矩形平面有纵向对称轴，压力P的作用点D（又称压力中心）必位于纵向对称轴O—O上，总压力P的作用点还应通过压力分布图形的形心点Q。

对于矩形断面，当压强为三角形分布时，压力中心D离底部的距离为

当压强为梯形分布时，压力中心D离底部的距离为

2.6.2 作用于任意平面上的静水总压力

当受压面为任意形状，即为无对称轴的不规则平面时，静水总压力的计算比较复杂。

如图2.20所示为一任意形状平面EF倾斜置放于水中，与水平面的夹角为α，平面面积为A，平面形心点为C。下面研究作用于该平面上的静水总压力的大小和压力中心的位置。为了分析方便，以平面EF的延长面与水面的交线ob，以及与ob相垂直的oL为一组参考坐标系进行研究。

1.总压力的大小

图2.20

在面积A上任取一点m，围绕点m取一微小面积dA，设m点在水下的淹没深度为h，故m点的静水压强为p=γh，微分面积dA上各点压强可视为与m点相同，则作用于dA上的静水压力为

dP=pdA=γhdA

设m点在boL坐标系上的坐标为（b，L），由图知

h=Lsinα

于是有dP=γLsinαdA

由于各微小面积dA上的静水压力dP的方向是相同的，故作用于面积A上的静水压力等于各微小面积dA上静水压力dP之和，即

上式中表示平面EF对ob轴的面积矩，并且有

L_C表示平面EF形心点C距ob轴的距离，故

式中：h_C为平面EF形心点C在液面下的淹没深度，h_C=L_Csinα。而γh_C为形心点C的静水压强，故式（2.33）又可写成

式（2.34）说明，作用于任意形状平面上的静水压力P等于该平面形心点的压强p_C与平面面积的乘积。

2.静水总压力的方向

静水总压力的方向垂直指向受压面。

3.静水总压力的作用点（压力中心）

设总压力的作用点的位置在点D，它在坐标系中的坐标值为（b_D，L_D）。由理论力学的力矩定理可知，合力对任一轴的力矩等于各分力对该轴力矩的代数和。为了确定L_D，可对ob轴求矩，任一分力对ob轴的力矩为

dPL=γsinαL²dA

各微小面积上的静水压力对ob轴的力矩的总和为

式中：，表示平面EF对ob轴的面积惯性矩。面积A上的静水总压力P对ob轴的力矩为

根据惯性矩平行移轴定理，如果面积A对通过它的形心C并与ob轴平行的轴的惯性矩为I_b，则，式中I_C表示平面EF对通过其形心C并与ob轴平行的轴的面积惯性矩，故式 （2.35）可写成

由上式可以看出，L_D＞L_C，即总压力作用点D在平面形心点C之下。

同理，将静水压力对oL轴取矩，有

令，I_bL称为EF平面对ob轴及oL轴的惯性积，由此得

由以上公式可以看出，只要根据式（2.37）和式（2.38）求出L_D及b_D，则压力中心D的位置即可确定。很显然，若平面EF有纵向对称轴，则不必计算b_D值，因为D点必落在纵向对称轴上。为了使用方便，表2.1中列出了几种常见图形的面积A、形心坐标y_C以及惯性矩I_C的计算式。

例题2.17图

【例题2.17】 某干渠进口为一底孔引水洞，引水洞进口处设矩形闸门，其长度a=2.5m，宽度b=2m，闸门前水深h=7m，闸门倾斜角为60°，如图所示。求作用于闸门上的静水总压力的大小和压力作用点。

解：

（1）解析法：

h ₁=7-2.5sin60°=4.8349(m)

对于矩形平板门，形心为闸门垂直高度的1/2，即

h_C=(7+4.8349)/2=5.9175(m)

静水总压力为 P=γh_CA=9.8×5.9175×（2.5×2）=289.96（kN）

静水总压力的作用点为

（2）图解法：

P=bΩ

P=bΩ=2×144.979=289.96(kN)

压力中心距闸底的距离为

压力中心距水面的距离为

h_D=h-esin60°=7-1.1738sin60°=5.9835(m)

【例题2.18】 某泄洪隧洞，在进口设置一矩形平板闸门，闸门进口倾角α=60°，门宽b=4m，门长L=6m，门顶在水面下的淹没深度h₁=10m。若不计闸门自重时，问沿斜面拖动闸门所需的拉力为多少（已知闸门与门槽之间摩擦系数f=0.25）？门上静水总压力的作用点在哪里？

例题2.18图

解：

h ₂=h₁+Lsin60°=10+6sin60°=15.196(m)

h_C=(h₁+h₂)/2=(10+15.196)/2=12.598(m)

总压力为

P=γh_CA=9.8×12.598×4×6=2963.05(kN)

I_C=bL³/12=4×6³/12=72(m⁴)

L_C=h_C/sin60°=12.598/sin60°=14.547(m)

总压力作用点距水面的距离为

h_D=L_Dsin60°=14.753×sin60°=12.777(m)

沿斜面拖动闸门的拉力为

T=Pf=2963.05×0.25=740.762(kN)

【例题2.19】 一垂直放置的圆形平板闸门，如图所示。已知闸门半径R=1m，形心在水面的淹没深度为h_C=8m，求作用于闸门上的静水总压力的大小及作用点的位置。

解：

P=γh_CA=γh_CπR²=9.8×8×π×1²=246.3(kN)

例题2.19图

I_C=πR⁴/4=π×1⁴/4=0.7854(m⁴)

【例题2.20】 如图所示，5个容器的底面积均为A，水深均为h，放在桌面上，试问各容器底面上受的静水总压力为多少？

例题2.20图

解：

(a)P=(p₀+γh)A(b)P=(p₀+γh)A(c)P=(p₀+γh)A

(d)P=(p₀+γh+γh₀)A (e)p=p₀+γh=p_a,P=p_aA

由以上计算可以看出，静水总压力并不等于水重，这种现象称为静水奇象。

【例题2.21】 如图所示为一利用静水压力自动开启的矩形翻板闸门，当上游水位超过工作水位H时，闸门即自动绕转轴向顺时针方向倾斜，如不计闸门重和摩擦力的影响，试求转轴的位置。

例题2.21图

解：

在不计闸门重量和摩擦力的影响下，外力对闸门转轴的力矩只有静水总压力P产生的力矩。设转轴的位置距闸底的高度为a，静水总压力的位置离闸底的高度为h_e，则：

当P的作用点小于门轴高度时，即h_e<a，因为对门轴的力矩为逆时针方向，为关闭力矩，此时闸门直立关闭。

当P的作用点等于门轴高度时，即h_e=a，因为力矩等于零，此时闸门仍直立关闭，但已属临界状态。

当P的作用点大于门轴高度时，即h_e>a，因为对门轴的力矩为顺时针方向，为开门力矩，此时闸门便绕转轴自动翻开。

对于如图所示的闸门，静水总压力的位置离闸门底的距离为1/3H，所以只要1/3H>a时，闸门即开启。

【例题2.22】 某引水闸采用矩形平板闸门挡水，如图所示。闸门宽度b=4m，上游水深H=2m，水压力经过闸门面板传到两根横梁上，要求每根横梁所受荷载相等，试确定两根横梁的位置。

解：

取闸门的单位宽度来分析，先作出压强分布图，其面积代表闸门单位宽度上所受的静水总压力，即

例题2.22图

依题意

如果用水平线把压强分布图两等分，设上面的水深为h₁，下面的水深为h₂，则

两根横梁分别承受静水总压力P₁和P₂，它们应该放在P₁和P₂的作用点上。由图可得，P₁为h₁所示的三角形分布图的压力中心，P₂为三角形底部和闸底部压强所组成的梯形分布图所形成的压力中心。

对于三角形分布图，P₁作用在上面的横梁上，其压力中心距水面的距离为y₁，则

对于梯形分布图，P₂作用在下面的横梁上，其压力中心距水面的距离为y₂，P₂的压力中心为

y ₂=H-e=2-0.276=1.724(m)