2.7 作用于曲面壁上的静水总压力

在实际工程中常遇到受压面为曲面的情况，如拱坝坝面、弧形闸墩或边墩、弧形闸门等。这些曲面多数为二向曲面 （也称柱面），即具有水平或铅垂主轴的圆柱形曲面。本节重点讨论作用在二向曲面上的静水总压力的计算。如图2.17所示，ab为一承受液体压力的柱面，其面积为A。液面为通大气的自由液面，其相对压强为零。在曲面上任取一微元面积dA，其淹没深度为h，则液体作用在微元面积dA上的压力dP为

dP=ρghdA

由于曲面上不同水深处的压力方向不同，因此，求总压力时不能直接在曲面上积分，需要将dP分解为水平方向和垂直方向的两个分量dPx、dPz，然后分别在整个曲面上积分，得到Px、Pz。

2.7.1 静水总压力的水平分力和铅垂分力

1.水平分力Px的计算

Px=∫AdPx=∫AdPcosα=∫AρghdAcosα=ρg∫AhdAx

式中 Ax——面积A在yOz面上的投影；

∫AhdAx——面积Ax对y轴的静矩，即∫AhdAx=hCAx。

因此，有

式(2.35)说明作用在曲面壁上静水总压力的水平分力Px等于液体作用在曲面的投影面Ax上的总压力。水平分力可用2.6节作用在平面上的总压力计算，其压力中心位置的确定也如前所述。

2.垂直分力Pz的计算

Pz=∫AdPz=∫AdPsinα=∫AρghdAsinα=ρg∫AhdAz

式中 Az——面积A在自由液面xOy或其延伸面上的投影；

∫AhdAz——以曲面ab为底、投影面Az为顶以及曲面周边各点向上投影的所有垂直母线所围成的一个空间体积，称为压力体。用V表示其体积，则

式（2.36）表明，作用在曲面上总压力的垂直分力等于压力体的液重，它的作用线通过压力体的重心。如果压力体与液体位于受压面同侧，称为实压力体，垂直分力向下，如图2.18（a）所示；如果压力体与液体位于受压面异侧，称为虚压力体，垂直分力向上，如图2.18（b）所示。

压力体只是作为计算曲面壁上垂直压力的一个数值当量，它不一定是由实际水体所构成。一般来讲，压力体应由下列周界面所围成：①受压曲面本身；②液面［图2.18（a）］或液面的延长面［图2.18（b）］；③通过曲面的4个边缘向液面或液面的延长面所作的铅锤平面。

2.7.2 静水总压力的大小、方向、作用点

由二力合成定理，曲面所受静水总压力P的大小为

总压力作用线与水平方向的夹角α为

同时总压力P的作用线必通过Px、Pz作用线的交点，但这个交点不一定在曲面上。

【例2.4】 一坝顶圆柱形闸门AB半径为R，门宽b，闸门可绕圆弧圆心O转动。求水面与O点在同一高程H时全关闭闸门所受静水总压力（图2.19）。

解：水作用于圆弧闸门的水平分力为

Px=ρg（H/2）Hb=ρgH2b/2

由于压力体ABC为虚压力体，因而静水作用于闸门表面的垂直分力方向向上，大小应为ABC中假想充满水时水的重量，即

上式中： α=arcsin（H/R）（弧度）

总压力P的大小及它与水平方向的夹角可由式（2.37）和式（2.38）计算。

由于静水作用于圆柱闸门表面每点处的压强都通过圆心O，因而压力作用线也通过O点。

【例2.5】 如图2.20所示圆柱形压力罐，半径R=0.5m，长l=2m，压力表度数pm=23.72kPa。试求：（1）端部平面盖板所受的水压力；（2）上、下半圆筒所受水压力；（3）连接螺栓所受的总拉力T。

解：（1）端盖板所受的力。用静水作用在平面上的总压力公式计算

P=pcA=（pm+ρgR）πR2=（23.72+9.8×0.5）×3.14×0.52=22.47（kN）

（2）上、下半圆筒所受水压力。上、下半圆筒所受水压力只有垂直分力，上半圆筒压力体如图2.18（c）所示。

下半圆筒

（3）连接螺栓所受的总拉力。由上半圆筒计算

T=Pz上=49.54kN