大尺度流体流动的统计力学方程

钟德钰1,2,张宇2,王光谦1,2

(1.青海大学三江源与高原农牧业国家重点实验室，青海　西宁　810001;2.清华大学水沙科学与水利水电工程国家重点实验室，北京　100084)

【摘　要】　地球表面上的江河湖海中的流体，乃至围绕地球表面的大气均属于地球物理流体的范畴，均受到尺度不同的随机因素干扰而使其流动存在随机性的一面。我们基于统计力学系综统计的概念，建立了大尺度流体流动的统计力学描述的理论框架，推导了大尺度流体流动的概率密度函数所遵循的基本方程。不同于一般随机因素驱动导致的流体流动的随机性，我们所研究的大尺度流体流动中的随机性扰动不再遵循一般的白噪声假设，其记忆效应十分显著，由此引入了质点在状态空间轨道上的状态变化函数，进而解决了记忆效应如何表达的难题，提出了考虑初始状态、轨道的随机过程的统计描述方法，进而更全面地反映了大尺度流动的根本特征。

【关键词】　地球物理流体；大尺度流动；统计力学；概率密度函数；动理学方程

基金项目：国家自然科学基金(91547204)。

作者简介：钟德钰(1970—　)，男，甘肃金昌人，教授，博士，主要从事泥沙基本理论研究。

E-mail:zhongdy@tsinghua.edu.cn

1　研究背景

地球表面上江河湖海中的流体，乃至围绕地球表面的大气均属于地球物理流体的范畴，而关于它们的运动规律的研究则称为地球物理流体动力学。Cushman-Roisin等在其专著中给出了地球物理流体动力学的准确定义：“地球物理流体动力学是对地球和其他行星上自然发生的大规模流动的研究”[1]。地球物理流体具有两个根本特征。一是受到地球的旋转的显著影响；二是因温度垂线的不均匀而导致的分层现象。对于地球物理流体流动的典型之一，大气流动还受到汽(水汽)、液(云滴、雨滴)、固(冰晶)之间相变的影响，其流动更为复杂。

对于大尺度的地球物理流体流动的数学描述，在经典流体力学中无一例外，都是基于连续介质力学建立了流体流动的宏观守恒方程，包括质量、动量、能量守恒等。从理论意义来讲，一旦给定上述方程的初始条件和边界条件，确定性的方程便可给出确定性结果，即流体流动在时空上的演化过程。然而，上述方程的非线性、初边值边界条件无法精确给定，以及某些关键本构关系无法反映所描述物理过程的全部细节，导致了准确描述流动存在实际上的困难，更为重要的是，伴随着所研究问题空间尺度的增大，准确预报流动细节的难度也相应增高。因此，寻找新的描述流体大尺度流动的方法就显得极为重要。

河流、湖泊、海洋(岸)中泥沙与水流构成的水沙两相流也属于典型的地球物理流体的范畴。长期以来，如何描述其运动规律是一个挑战。本文作者之一，王光谦教授在20世纪80年代末提出了水沙两相流的动理学理论，此后经多年发展最终形成了较为完整的理论体系，并形成了专著[2]。近期，我们认为，也可以采用统计动力学的思路，对大尺度流体流动进行研究，具体原因如下。

首先，诸如河流、海洋，乃至大气流动基本遵循连续介质力学的守恒方程。虽然基于连续介质力学的基本方程是基于物理过程的确定性建立的，但如果我们把所研究问题的尺度放大，其中的基本运动单元(例如湍流中的涡等)的运动受到外力的强迫和非线性等诸多复杂原因的影响，仍会表现出非常典型的随机性来[3-6]。因此，本质上看，随机性仍然是大尺度流动基本特征之一。

其次，统计力学中建立的系综或系综平均的概念对于大尺度流动中随机性的问题仍然适用。所谓统计系综，简单地说是所有可能状态构成的集合，定义在这个集合上的统计平均称为统计系综平均[7-9]。对于大尺度流动而言，我们仍然能够定义一个系统状态变量或状态变量的集合，分析其出现的概率及其系综统计平均，进而研究其在状态空间上概率的演化问题。

最后，统计动力学是研究系统状态及其演变的有力工具。我们以往的研究，基于物质运动的宏观控制方程，关注系统变量在过程中的变化，可称为面向物理过程的研究。这要求对物理过程涉及的各个尺度的过程都要有充分的认识和刻画手段，否则基于物理过程或面向物理过程的研究就会变得十分困难。统计动力学在方法论上有一点特别值得重视，那就是将注意力从研究过程转向研究状态和状态出现的几率，这为我们研究复杂系统提供了非常好的工具，在我们对物理过程的细节不够清楚、描述物理过程缺乏可靠性的时候，我们可以研究这个系统的状态和状态转化的概率，进而从另外一个角度理解这个系统的动力学特性。

综上所述，我们认为统计动力学是研究大尺度流动的规律的一个重要手段，值得重视。本文正是在这一思想的指导下开展的一个尝试。

2　基本概念

我们首先引入几个关键的基本概念，包括状态变量、状态空间、统计系综和统计系综平均。

状态变量是指描述一个系统的物理状态所需要的物理参量。例如对于不可压缩的理想流体，我们可以用其空间位置r、速度矢量v来描述流场的状态。对于可压缩流体，则需要补充密度、温度等物理变量描述流场中空间点的状态。

状态空间是由状态变量张成的空间。例如(r,v,t)构成了一个状态空间。这里需要说明的是，一般情况下我们使用的物理空间是由(r,t)构成的，其中不涉及其运动矢量但对于统计动力学中定义的状态空间，速度矢量与时空变量一样，是自变量，是构成状态空间的坐标之一。

统计系综是统计动力学中的核心概念，大体上可以理解为系统所有可能状态构成的集合。如一个流场所有可能流动状态构成的集合及其出现的概率就是一个关于此流动系统的系综。

统计系综平均是定义在统计系综上的数学期望。例如，某变量在状态空间上的概率是F(x)，那么其统计系综平均为其中〈x〉表示状态变量x的统计系综平均。

3　大尺度流动的状态及状态变化方程

这里所谓的大尺度，是相对而言的，例如全球的大气环流、洋流等，是影响全球水循环的重要动力过程，因此我们这里提及的大尺度流动，应该是以全球尺度为基准的。由流体力学的基础知识我们知道，对于流体中的一个质点，其运动状态是由空间位置X、速度V、温度(内能)Θ、所携带物质(如水汽、冰晶、泥沙等)C=(C1,C2,…,CN)共同确定的。这些状态变量，随时间的变化可以由如下方程描述：

(1)

式中：P、P0分别为压强和参考点的压强；k为重力方向的单位向量；cp为等压比热；H为热源加热；κ=R/cp为比热容，其中R为比气体常数；F为外力强迫。

式(1)中变量上的“·”表示物质导数，即X)Y。式(1)是常规的流体动力学中根据守恒原理得到的描述流体中质点运动的基本方程。对于多相混合物的流动，上述变量均定义为质量加权的混合物的动力学和热力学量[2]。

统计力学(Statistical Mechanics)的建立，使得从研究系统的运动过程转向深入研究系统各状态及状态转移的概率问题，以及状态的统计平均参数的时空变化问题变为可能。在统计力学中，研究对象是将简单粒子构成的系统作为一个整体研究的，分析构成这个系统的粒子微观动力学行为是认识集合的统计特征的基础。显然，系统的整体行为并不等于构成这个系统个体粒子的简单叠加，其核心是引入相空间(phase space)或状态空间(state space)，并基于此建立了统计系综平均(statistical ensemble average)的概念，从而使得通过分析构成系统粒子的微观动力学特性进而研究系统的宏观统计规律成为可能。

首先，本文将引入宏观运动的状态空间的概念。在经典力学中，对任意一个系统，其状态是由其位置和动量来确定的。如果我们构造这样一个空间，其坐标是由系统的空间位置和动量确定，则可以方便的描述这个系统的状态及其变化，称这样的空间为相空间。其次，本文将简单介绍经典统计力学中统计系综的概念。对于一个由数量极大的粒子构成的系统而言，粒子可能存在的微观尺度层面的状态的多种可能性，但对于同一边界、初始条件，这个系统的宏观动力学性质并不因微观状态的多样性而发生显著改变。显然，与宏观过程的边界、初始条件相对应的子系统的微观状态出现的机会并不是完全一样的，存在一定的分布，这样，系统中的粒子的所有可能状态及与这些状态对应的出现的概率，构成了这个系统集合的统计系综。如果借助于相空间的概念，粒子构成的系统的状态可以用其在相空间中的坐标或坐标集合来表示，称为“位形(configuration)”，而粒子的微观动力学状态在所有可能位形的平均，则称为统计系综平均。

显然，大气、河流、洋流这样的复杂系统，如果我们并不从分子的角度研究其统计力学规律的话，与经典统计力学存在不小的区别。但对于我们考虑地球物理流体中的一个物质微团，并假定其尺度远远小于所关心宏观流动的几何尺度，但同时假定其足够大，足以保证其具有相对稳定的统计力学性质，如果把地球物理流体在某一时刻、位于相空间某一点的物质微团的物理、化学、动力、热力状态抽象为描述这些状态的状态参量构成的相空间上的一个点，那么，对于地球物理流体的所有可能状态及其概率，则构成了一个统计系综。例如对于大气流动的所有可能状态{用状态参量R(t)=[X(t),V(t),Θ(t),C(t)]T表示}及其出现的概率分布F[R(t),t]在相空间上构成了一个统计系综E={R(t),F[R(t);t]}。

4　大尺度流动的统计动力学方程

4.1　状态空间及其概率密度函数的定义

对于大尺度的地球物理流体，如果令r=(x,v,θ,c)T表示相空间上t时刻的任意一点，在研究大气等地球物理流体的运动状态在时空上的变化时，令R(t|Rs,s)表示自s时刻从相空间上点Rs出发物质微团在状态空间上的轨迹。此处需要注意的是Rs表示s时刻相空间上的状态，R(t|Rs,s)表示s时刻位于相空间上Rs轨道。显然R(s|Rs,s)=Rs。

我们考虑其中在s时刻位于相空间上点Rs处，至t时刻运动至R(t|Rs,s)所经历的变化。由于系统的随机性的影响，物质微团在运动过程中受到各种随机因素的影响。其随机性体现在两个方面(图1)：

(1)流体中的物质点从一个状态转变为另一状态时，受到各种随机因素的影响，称为状态演变(过程)的随机性。

(2)对任意一个状态转移过程而言，其初始状态又有随机性，称为初始状态的随机性。

关于具有随机性的系统的研究中，以往多考虑系统状态转移过程中的随机性，但对状态转移初始状态的随机性关注不够。本文在分析地球物理流体运动的统计力学描述时，将两者的重要性放在同等的地位加以考虑。那么如何考虑过程随机性和状态随机性，是建立大尺度地球物理流体的统计力学描述的核心。

如果我们考虑运动的各种可能性，我们可以引入该物质点在相空间上r处的状态概率密度χ=χ[r;R(t|Rs,s)]，它反映了地球物理流体运动轨迹R(t|Rs,s)在t时刻时出现在状态空间上点r的概率(密度)。如果令F[R(t|Rs,s),t]为状态R(t|Rs,s)在相空间上t时刻的分布函数，满足

(2)

对于给定的s时刻的状态的某个初始分布Rs，那么物质点轨迹R(t|Rs,s)在t时刻恰好通过(或出现于)(r,r+dr)中的概率为f(r,t|Rs,s)dr，而概率密度f(r,t|Rs,s)为

(3)

式(3)在本文研究的环境下，它反映的是给定的初始状态下，不同的运动路径的随机性，见图1。那么对于所有的可能初始分布F(Rs,s)，物质微团在t时刻位于相空间上的点r的概率密度为

(4)

通过这样的方式，我们实现了同时考虑初始状态和过程随机性的影响。这里需要注意的是，式(4)不同于Chapman-Komogorov方程[10]，原因是，式(4)中的f(r,t|Rs,s)并非状态转移概率密度函数，而是由式(3)定义的，在给定初始状态Rs条件下，R(t|Rs,s)出现在r的概率密度函数。

4.2　概率密度函数的时空演化

为研究概率密度函数f(r,t)的时空变化，我们首先对条件概率密度函数f(t,r|Rs,s)略作变换以方便推导。状态概率密度函数χ=χ[r;R(t|Rs,s)]是时间t的函数，同时由于将其与物质微团的运动轨迹R(t|Rs,s)相关联，因此，χ=χ[r;R(t|Rs,s)]又是物质点运动轨迹的函数，分析其时间变化规律是认识系统随机性的核心。下面讨论χ=χ[r;R(t|Rs,s)]在物质微团轨迹R(t|Rs,s)上的变化。如前所述，χ=χ[r;R(t|Rs,s)]定义于物质点上，它也将随物质点的运动而变化。因此，状态概率密度函数χ=χ[r;R(t|Rs,s)]的时间导数为

(5)

当假定χ仅仅与r和R(t|Rs,s)的距离有关，那么χ=χ[|r-R(t|Rs,s)|]。由此容易证明：R(t|Rs,s)χ=-rχ。所以，

(6)

如果令则式(6)可以写为更紧凑的算子形式：

(7)

式(7)有形式解：

χ[r;|R(t|Rs,s)]=U(t|s)χ(r;Rs)

(8)

式中

(9)

式中对于n=1,2,…

(10)

式中：为时序算子[11-12]，使得上式中关于时间的积分按照τn>τn-1>…>τ1的顺序进行。

将式(8)给出的关于χ的方程，代入式(3)，注意到由于χ(r;Rs)不是R(t|Rs,s)函数可以移出积分符号的事实，我们得到

f(r,t|Rs,s)=〈U(t|s)|Rs〉χ(r;Rs)

(11)

式中为U(t|s)的条件系综平均。因此

(12)

显然，式(12)的时间导数为

(13)

可以注意到

(14)

容易证明

(15)

式中算子〈An〉定义为

(16)

容易证明，f(r,t|Rs,s)也满足式(15)，即

(17)

4.3　状态变量的时空变化的统计方程

考虑状态量ψ=ψ[R(t|Rs,s),t]的系综平均值的变化。在这里，这个状态变量是附着在质点之上的，因此它是质点轨道的函数。将式(17)两端乘以ψ=ψ[R(t|Rs,s)]，略加变形得到

(18)

由于ψ[R(t|Rs,s)]是定义在质点的轨道上的，因此，

(19)

对方程(18)系综平均后得到：

(20)

这样，我们就得到了任意守恒状态变量在时空上的变化。

5　结论

本文介绍了大尺度流体流动统计力学描述的基本方程，并建立了相应状态的概率密度分布函数所遵循的统计力学方程。考虑到地球上诸如大气、江河湖库中流动都属于地球物理流体的范畴，观察事实表明，大尺度流体流动过程存在时间上的累积效应，或称为历史记忆效应，必须加以考虑。在我们的研究中，提出了考虑初始状态、轨道的随机过程的统计描述方法，进而更全面地反映了大尺度流动的根本特征。这一考虑反应在算子〈An〉中的时间积分项中。

需要说明的是，本文所介绍内容仅限于以全球尺度为基准的大尺度流体流动统计描述的核心方程，即概率密度函数所满足的基本方程的推导，并未涉及诸如算子〈An〉的具体表达式，而是给出了它的一般定义。对于江河湖泊、大气中的多相流动，其具体表达形式将是我们后续研究的重点。

参考文献：

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Statistical Machanics of Large-scale Geophysical Flow

ZHONG Deyu1,2,ZHANG Yu2,WANG Guangqian1,2

(1.State Key Laboratory of Plateau Ecology and Agriculture,Qinghai University,Xining Qinghai Province　810001；2.State Key Laboratory of Hydroscience and Engineering,Tsinghua University,Beijing　100084)

Abstract:Large-scale flows,such as the earth surface flows and atmospheric circulations,are known to behave as stochastic processes resulting from multi-scale random perturbations.In this paper,a statistical description of large-scale geophysical fluids is firstly established on the basis of statistical ensemble from statistical mechanics.The governing equations for the probability density function(PDF)of large-scale flows were also derived in the present study.Unlike the flows driven by general random forces,the random perturbations of large-scale flows do not comply with the general white noise hypothesis.Instead,its memory effect becomes highly significant and can not be dealt with traditional methods.In this paper,a state function of the particles in state-space is therefore introduced to address the memory effect.

Key words:Geophysical Fluids;Large-scale Flow;Statistical Mechanics;Probability Density Function;Kinetic Equations