平整床面上泥沙的起动

范宝山1，2，刘宇航1，2

(1.中水东北勘测设计研究有限责任公司，吉林　长春　130061；2.水利部寒区工程技术研究中心，吉林　长春　130061)

【摘　要】　对于平整床面上的泥沙颗粒，本文首先阐述了沙粒处于水力光滑区和完全粗糙区的水流条件差异，然后分别推导了沙粒完全隐蔽在黏性底层内(处于水力光滑区)和完全暴露于紊流中(完全粗糙区)的起动摩阻流速与无因次起动剪力；基于河床上的水流运动服从紊流的壁面律的认识，给出了各区统一(适用于水力光滑区、过渡区和完全粗糙区)的对数形式起动流速公式，最后给出了散粒体泥沙起动流速的简化形式，所有研究成果均与实际资料吻合。

【关键词】　泥沙起动；水力光滑区；完全粗糙区；紊流壁面律

基金项目：水利部公益性行业科研专项经费项目(201401015)。

作者简介：范宝山(1962—　)，山东诸城人，教授级高级工程师，硕士，主要从事泥沙运动学及河床演变学研究。

E-mail:fanbaoshan@126.com

1　引言

床面上的泥沙颗粒由静止状态变为运动状态的临界水流条件称为泥沙的起动条件。可用水流的剪力和平均流速来表示，分别称为起动剪力和起动流速。

对于动床，河流床面上的泥沙颗粒完全隐蔽在黏性底层内，河床上的水流运动服从紊流的水力光滑区壁面律；河流床面上的泥沙颗粒完全暴露于紊流中，河床上的水流运动服从紊流的完全粗糙区壁面律。

动床床面上的泥沙颗粒由静止进入运动的初始运动状态时，有滚动、滑动、起跳三种运动形式。静止的沙粒以何种方式进入运动，与两个方面有关，其一是与水流作用于沙粒上的流态有关，其二是与动床床面上沙粒之间的相互位置有关。

水流对床面上泥沙的作用有“推”和“挖”两种方式。当动床床面上的水流处于紊流的水力光滑区，床面上的沙粒位于黏性底层内，水流对床面上泥沙的作用为“推”，泥沙颗粒只有滚动和滑动两种运动起动形式；当动床床面上的水流处于完全粗糙区，床面上的沙粒完全暴露于紊流中，紊流涡团的运动决定了床面上泥沙颗粒的起动，水流对床面上泥沙的作用是“推”“挖”并用，将沙粒“挖”起再“推”符合能耗最小原理，其结果是“挖”控制了泥沙是否起动，此时泥沙颗粒的滚动、滑动、起跳三种运动形式均存在。在紊流涡团体的上升、猝发、崩解、高速带的扫荡等紊流的猝发拟序结构作用下，水流对床面上沙粒“挖”的上举力系数等于CL=0.4。

水流对床面上沙粒的拖曳力系数是变化的，沙粒静止时为CD=1.2、运动时为CD=0.82，即在同一床面上，水流对静止沙粒的拖曳力大于对运动沙粒的拖曳力。当床面上的水流条件达到沙粒的起动条件时，沙粒一旦起动进入运动状态，沙粒的拖曳力系数迅速由CD=1.2降低到CD=0.82，水流对沙粒的拖曳力也随之降低，沙粒停止运动；随之，沙粒的拖曳力系数迅速由CD=0.82升高到CD=1.2，水流对沙粒的拖曳力又升高到沙粒起动的条件，沙粒再一次起动进入运动状态。所以，当床面上的水流条件达到沙粒起动的初始运动条件时，床面上沙粒的运动具有间歇性。

泥沙的起动是泥沙运动学的基本问题之一，国内外每年都有研究，积累了大量的文献。但对于水力光滑床面和完全粗糙床面泥沙起动的差别，仍缺乏系统的论述，尤其是沙粒起动时，颗粒滚动、滑动和跳跃三种运动起动形式与水力光滑床面和完全粗糙床面的关系，研究得更为不足。本文作者依据对泥沙运动多年的观察，对泥沙起动理论进行了一些研究。

2　床面水流与沙粒受力分析

河流床面上的水流运动，遵循紊流的壁面律式。河流床面上的泥沙颗粒，会处于紊流的水力光滑区、过渡区或完全粗糙区三种情况的一种。

2.1　床面水流

当床面处于水力光滑区时，流速分布分段表示如下[1，2]：

(1)

式中：ks为粗糙度；ν为运动学黏性系数；u为流速；u*为摩阻流速；y为某点至河底的距离。

当床面处于完全粗糙区时，流速分布为

(2)

为了方便计算，爱因斯坦(H.A.Einsten)引入了一个流速校正系数χ，将式(1)和式(2)统一成一个公式，其形式为[3]

(3)

式中：χ为流速系数，可按下列拟合方程计算[8]：

(4)

式中：为黏性底层的厚度。

对于动床边界(泥沙颗粒不是被固定在边界上)，糙度可取泥沙粒径的2倍，即ks=2d。

当床面的泥沙均处于静止状态，水流条件小于泥沙起动条件，动床与定床完全一样，过渡区范围为当水流条件处于床面沙粒的起动条件，床面上个别泥沙处于运动状态，由于沙纹的出现，使床面的粗糙程度略有增加，水力光滑区的界线值略小于5，初步分析为在床面上出现沙纹后，作为完全粗糙区的分界线，动床比定床更适宜。即对于动床来说，当水流达到起动条件后，过渡区的床面会形成沙纹，床面粗糙程度会增加，完全粗糙区会提前到来，因此将作为动床完全粗糙区的分界线，与定床相比更符合事物的物理本质，所以动床过渡区范围为当水流条件超过床面沙粒的起动条件时，床面沙粒处于普遍运动状态，由于沙垄的出现，产生了较大的动床形体阻力，改变了河床阻力的构成，此时，沙粒阻力即水流对沙粒的有效作用力仍然服从紊流的动床壁面流动式(3)。

2.2　沙粒受力分析

对于图1的泥沙颗粒，水流对其作用力，可分为沿水流方向的推移力FD和垂直水流方向的上举力FL两个部分。这个沙粒如果是球体，粒径为d，其迎流面积为则推移力FD和上举力FL为

(5)

(6)

式中：CD和CL分别为推移力和上举力系数；ρ为流体的密度。

作用于沙粒的重力是铅直向下的，对于位于水平河床的泥沙来说，它会帮助泥沙颗粒抗拒起动。沙粒在水中的有效重力即沙粒的净重W为

(7)

式中：γs为泥沙颗粒的容重；γ为水的容重。

帮助泥沙颗粒抗拒起动的力，还有泥沙颗粒间的黏结力Fc，黏结力的表达式为[7]

(8)

式中：d0为泥沙颗粒是否发生絮凝的临界粒径。d0是一个有重要用途的物理量，当泥沙颗粒大于d0时，泥沙颗粒之间不发生结团絮凝；当泥沙颗粒小于d0时，泥沙颗粒发生结团絮凝；当泥沙颗粒等于d0时，泥沙颗粒恰好处于发生絮凝与不发生絮凝的临界状态，这意味着泥沙颗粒间的黏结力与水流对泥沙颗粒表面的作用应力处于某种平衡状态。d0也可以认为是非黏性泥沙和黏性泥沙的分界黏径，对于无污染的河水、自来水等中的天然河沙d0=0.025mm；对于清水中的湖泊淤泥、海相淤泥、入海口淤泥，d0=0.025～0.052mm；对于城市下游河水和有一定污染的河水中的天然沙，d0=0.05～0.15mm。

3　水力光滑区泥沙的起动

对于紊流的水力光滑区壁面律情况，当河流床面上的沙粒处于黏性底层内时，一般会有滚动和滑动两种运动起动形式。

如果采取滚动的形式起动，则力FD、FL将构成沙粒的起动力矩，而W和Fc则构成了沙粒抗拒起动的力矩。若以图1中的O点为转动中心，则表达沙粒起动临界条件的动力平衡方程式应为

k1dFD+k2dFL=k3dW+k4dFc

(9)

式中：k1d、k2d、k3d和k4d为FD、FL、W和Fc的相应力臂。

将式(5)～式(8)代入式(9)，近似取k3d=k4d，经整理后得

(10)

近似地取k1=k2=2/3、k3=1/2，上式变为

(11)

如果采取滑动的形式起动，则沙粒起动临界状态下力的平衡方程式应为

FD=(W+Fc-FL)Cf

(12)

式中：Cf为综合摩擦系数。

将式(5)～式(8)代入式(12)，有

(13)

综合摩擦系数Cf=0.5，代入式(13)有

(14)

当河流床面上的沙粒处于起动状态时，ub=ubc，ubc为泥沙起动底流速，综合综合式(11)和式(14)，有

(15)

由试验测得，水力光滑区黏性底层中η=0.72。静止拖曳力系数CD=1.2；则对于以滚动形式起动的沙粒，需要的上举力系数为CL=0.72；对于以滑动形式起动的沙粒，需要的上举力系数为CL=0.16。

当河流床面上的水流处于水力光滑区时，床面上沙粒的起动方式基本为滚动和滑动两种运动形式，某个沙粒究竟以这两种方式的何种方式起动，由上举力系数的大小而定，沙粒间的相对位置是决定上举力系数大小的主要影响因素。对于上举力系数大于0.72的沙粒，只能以滚动的方式起动；对于上举力系数在0.16≤CL<0.72的沙粒，以滚动或滑动的方式起动均有可能；对于上举力系数小于0.16的沙粒，保持静止不动的概率较大，只有受到其他颗粒撞击等突发条件的变化才会起动。

对于动床壁面，由于沙纹的出现，水力光滑区的界线值为3.16，即当时，为水力光滑床面，此时泥沙颗粒处于黏性底层内，依据黏性底层的流速分布

(16)

可知水力光滑床面泥沙颗粒的起动摩阻流速为(取y=2d)

(17)

将式(15)代入式(17)，对于水力光滑床面η=0.72，得到

(18)

由式(18)得到起动摩阻雷诺数为

(19)

考虑到摩阻流速u*与无因次剪力θ的关系，则

(20)

可将式(19)写成泥沙颗粒的无因次起动剪力θc的形式，即

(21)

4　完全粗糙区泥沙的起动

当河流床面上的水流处于完全粗糙区时，床面上的沙粒完全暴露于紊流中，床面上的泥沙颗粒直接受到紊流涡团体的上升、猝发、崩解、高速带的扫荡等紊流的猝发拟序结构作用，涡团作用于沙粒上的上举力远大于拖曳力，床面上紊流水体的涡团运动决定了床面上泥沙颗粒的起动。无论起动后的沙粒采用滚动、滑动、起跳三种运动方式的何种方式，决定床面上被起动的泥沙颗粒由静止进入运动初始瞬间的作用力为上举力FL；上举力FL使沙粒脱离原位置，而沙粒的净重W和沙粒间的黏结力Fc使沙粒保持在原位置。所以，处于紊流完全粗糙区的泥沙颗粒，沙粒起动临界条件的动力平衡方程式为

FL=W+Fc

(22)

将式(6)～式(8)代入上式，得到

(23)

在紊流的完全粗糙区壁面律情况下，依据前人试验得到

(24)

这相当于河流床面沙粒的上举力系数CL=0.4。

当时，为完全粗糙床面，流速分布公式为

(25)

取y=2d，ks=2d，可得到完全粗糙床面的起动底流速ubc与起动摩阻流速u*c的关系为

u*c=ubc/8.5

(26)

将式(23)代入式(26)，对于完全粗糙床面η=1.8，由此得到起动摩阻流速为

(27)

根据式(20)可得到完全粗糙床面的无因次起动剪力为

(28)

5　过渡区

式(19)和式(21)、式(27)和式(28)就是计算水力光滑区(沙纹出现后界线值由5变为3.16)、粗糙区时的起动摩阻流速和无因次起动剪力的计算公式。通过计算可知，当时，可使d=0.14mm的天然沙处于起动状态；当时，可使d=1.18mm的天然沙处于起动状态，见表1，其中，为黏性底层的厚度。

下面，讨论过渡区泥沙颗粒起动摩阻流速和无因次起动剪力的计算方法。

首先，求解无因次起动剪力水力光滑区公式与完全粗糙区公式的交点，即令式(21)与式(28)相等，得到

所以，这里定义一个参数PI，称为起动参数，其表达式为

(29)

可以推断，PI=8一定处于过渡区，表1从定量上表明了这个推断的正确性。运用此参数PI，可将式(21)和式(28)统一写成

(30)

也可将式(18)和式(27)统一写成

(31)

其中，kc和m均为的函数，当时，kc=0.36，m=1；当时，kc=0.045，m=2，即

(32)

可以设想，在过渡区，kc=0.36～0.045，m=1～2。

式(30)和式(32)表明，对于研究泥沙的起动问题，起动参数PI是一个非常重要的参数。表1数值计算表明，当PI≤7时，与水力光滑区相对应；当PI≥164时，与完全粗糙区时相对应。所以，对于式(32)，就可以这样来描述：当PI≤7时，为水力光滑区，kc=0.36，m=1；当PI≥164时，为完全粗糙区，kc=0.045，m=2。用自变量PI来描述问题，比用因变量来描述问题要方便得多。PI=8对于泥沙起动的重要程度，与对于紊流对数壁面律的重要程度相同。

处于过渡区的球形泥沙颗粒上部受紊流作用，下部受层流作用，见图2。可见，处于过渡区的泥沙颗粒所受到的水流作用力是层流部分的水流作用力和紊流部分共同作用的结果。所以，处于过渡区的泥沙颗粒无因次剪力等于自身处于水力光滑区部分所受到的无因次剪力与自身处于完全粗糙区部分所受到的无因次剪力之和。设Pt为紊流部分即式(28)所占的权重，Pl为层流部分式(21)所占的权重，因此可写出无因次起动剪力计算式如下：

(33)

也可以将式(33)写成

(34)

根据图2，Pl应等于泥沙颗粒的层流迎流面积与总迎流面积之比，即

(35)

下面，来讨论式(35)中角度θ的计算方法。

参照窦国仁的研究，可假定

(36)

式中：为系数。此式的物理含义是表示泥沙颗粒层流部分大小的参数θ随雷诺数(表示床面流速大小的参数)的变化率与雷诺数成反比。

式(36)积分后可得

θ=AlnReb+B

(37)

将式(31)代入式(37)有

θ=αlnPI+β

(38)

式中，α和β均需由边界条件来确定的系数。

由边界条件PI=7，Pl=1(水力光滑区)，即θ=π；PI=164，Pl=0(完全粗糙区)，即θ=0，可得

(39)

6　泥沙的起动流速

综上所述，泥沙的起动摩阻流速计算式为

(40)

式中：PI，Pl，Pt和θ分别由式(29)、式(35)和式(39)计算。

计算无因次起动剪力的公式为

(41)

用式(40)和式(41)计算泥沙的摩阻流速和无因次起动剪力时，与常用的希尔兹(Shields曲线)方法相比，由于参数PI不含u*c，所以过渡区的计算不需要试算过程，计算较方便。

综合式(15)和式(17)，可以将河床上泥沙起动的底流速ubc表达为

(42)

式中：水力光滑区，η=0.72；完全粗糙区，η=1.8。

当时，黏结力的影响可以忽略，则式(42)变为

(43)

此式就是教科书中给出的散粒体(无黏性)泥沙的起动底流速公式。可见，在考虑泥沙的黏结力的情况下，仅使散粒体的起动底流速公式中增加了d0/2项，即相当于散粒体的直径增加了一个数值d0/2。

由式(40)算得了u*c后，可由爱因斯坦给出的适用于水力光滑区、过渡区和完全粗糙区的各区统一对数流速分布公式沿垂线取平均，求得起动流速。

将式(2)沿垂线求平均，得平均流速U的计算式为

(44)

当u*=u*c时，U=Uc，代入式(44)，可得到泥沙的起动流速Uc计算公式为

(45)

式中：h为平均水深；ks=2d；χ按式(4)计算。

式(45)与武汉大学早期[5]整理的实测资料吻合情况见图3，可见，吻合的很好。这表明，虽然上述在研究泥沙的起动过程中，引入了相关假定，但由此所得到的结果，是与实际的物理本质相符合的。

这里需要说明一点，许多文献中都有类似图3绘出泥沙起动流速与泥沙颗粒的关系，依据图3的曲线形状，阐述过渡区的位置和范围。这样做是不准确的，因为在流速图上判断过渡区的位置和范围不易找准位置，理论依据也不充足；而剪力图却能够直接明了地展示出过渡区的位置和范围。

7　散粒体泥沙起动流速的简化形式

引入参数水流综合强度Fb：

(46)

无因有效剪力可以表示为[9]

(47)

式中：Rb为河床水力半径；ω为泥沙的沉速，可依据张瑞瑾公式计算。

指数n为

(48)

函数的形式为

(49)

对于散粒体泥沙(d≥0.14mm)，无因次起动剪力为常数，其值约为0.045，即θ′b=θc≈0.045，由式(47)可以得到起动流速的简化形式

(50)

对于宽浅的天然河道河流，Rb=h，则散粒体泥沙的起动流速公式为

(51)

此式与沙莫夫半经验公式很接近。

本文应用式(50)计算了一些枢纽截留工程的抛投料块径，与试验结果非常吻合，说明式(50)不仅结构简单，而且普适性较好。

8　结论

(1)在动床床面上，沙粒之间的相互位置关系决定了水流作用在沙粒上的上举力大小，而上举力系数的大小又决定了沙粒以滚动、滑动、起跳三种运动形式的何种方式起动。当床面上的水流处于水力光滑区时，床面上沙粒的起动方式基本为滚动和滑动两种运动形式，某个沙粒究竟以这两种方式的何种方式起动，由上举力系数的大小而定，对于上举力系数大于0.72的沙粒，以滚动方式起动；对于上举力系数在0.16≤CL<0.72的沙粒，以滚动或滑动方式起动均有可能；对于上举力系数小于0.16的沙粒，在受到其他颗粒撞击后，以滑动方式起动。

(2)起动参数的使用，非常便于起动条件各项水力参数的计算，对于过渡区更是如此。由于沙纹的出现，动床的光滑区与过渡区的分界值较定床偏小，泥沙起动的过渡区范围为式中ks=2d)，即7<PI<164。对于天然沙过渡区的粒径范围0.14～1.18mm，无因次起动剪力θc范围0.024～0.045，ks/δ的范围0.27～6.06。

(3)对于宽浅的天然河道河流，散粒体泥沙的起动流速与水深的1/5次方成正比，同沙玉清的研究成果一致，即散粒体泥沙的起动流速公式为

参考文献：

[1]　赵学瑞，廖其英.黏性流体力学[M].北京：机械工业出版社，1983.

[2]　余志豪，王严昌.流体力学[M].北京：气象出版社，1982.

[3]　Einstein H A.明渠水流的挟沙能力[M].北京：水利出版社，1956.

[4]　沙玉清.泥沙运动的基本规律[J].泥沙研究，1956,1(2):1-55.

[5]　武汉水利电力学院河流泥沙工程学教研室.河流泥沙工程学(上册)[M].北京：水利出版社，1980.

[6]　钱宁，万兆惠.泥沙运动力学[M].北京：科学出版社，1983.

[7]　范宝山.泥沙结团沉降的研探[C]∥1994年全国水动力学研讨会文集.北京：海洋出版社,1994.

[8]　范宝山.泥沙输移理论的研探[J].泥沙研究1995，(3)：72-78.

[9]　范宝山.论动床阻力的叠加与计算[C].北京：全国泥沙基本理论研究学术交流会，1999.

[10]　张红武，卜海磊.试论泥沙的起动流速公式[C]∥第八届全国泥沙基本理论研究学术讨论会论文集.南京：河海大学出版社,2011：400-407.

Sediment Incipient Motion on Flat Bed

FAN Baoshan1,2,LIU Yuhang1,2

(1.China Water Northeastern Investigation,Design &Research Co.,Ltd.,Changchun Jilin Province　130061;2.Engineering Techniques Research Center on Cold Region,Ministry of Water Resources,Changchun Jilin Province　130061)

Abstract:For the sediment particles on the flat bed,this paper expounds the difference of the flow conditions of the sand in the hydraulic smooth zone and the completely rough zone firstly,and then deduces the incipient shear velocity and dimensionless incipient shear stress where the sediment particles are completely concealed in the viscous bottom layer(on hydraulic smooth bed)or completely exposed In the turbulent flow(on complete rough bed).Based on the knowledge of the turbulence wall law,the paper gives a logarithmic law flow velocity of sediment incipient motion for all zones(hydraulic smooth zone,transition zone and complete rough zone).Finally,a simplified form of the exponential function incipient velocity for the non viscous sediment is given.All the research results are in agreement with the investigated data.

Key words:Sediment Incipient Motion;Hydraulic Smooth Zone;Complete Rough Zone;Wall Law of Turbulent Flow