窄深型明渠挟沙水流垂向流速分布特性研究

丰青，李小平，张超凡

(黄河水利科学研究院　泥沙研究所,河南　郑州　450003)

【摘　要】　针对窄深型矩形明渠而言，简单的对数流速分布公式或指数流速分布无法准确描述主流区及水表附近的流速分布情况。考虑泥沙的存在对水流紊动扩散的影响，本文在对比窄深型矩形断面明渠清水与挟沙水流流速分布差异的基础上，从N-S方程出发，通过修正动量传递系数的表达式建立符合实际流速分布特点的窄深型明渠流速分布律，利用Coleman的水槽试验进行相关参数率定，并对各参数的意义进行相应讨论，表明该公式结构合理，精度较高，能够更加准确的描述窄深型明渠挟沙水流流速分布，可满足工程实际要求。

【关键词】　挟沙水流;流速分布;窄深明渠;紊流

基金项目：黄河水利科学研究院科研专项(HKY-JBYW-2016-24)；黄河水利科学研究院科技发展基金(HKF201702)。

作者简介：丰青(1986—　)，男，河南郑州人，博士，主要从事泥沙运动力学、河流及海岸泥沙运动研究。

E-mail:Jamesfq@126.com

1　引言

明渠紊流流速分布规律一直是水力学研究的基本问题，直接影响着水流输沙、河床冲淤及污染物扩散等重要工程问题，也是感潮河段及河口水流运动及泥沙输运等问题研究的基础。泥沙与水流的相互作用影响到水流结构及紊动特性，流速垂向分布会发生相应变化。对于紊流流速垂向分布的研究，有基于Prandtle掺混长度假设的对数流速分布[1]和根据大量明渠和管道试验资料总结出的指数流速分布[2]。明渠断面水流形态与渠道的宽深比有一定关系，当明渠宽深比B/h>5时，边壁影响可以忽略，流速在自由水面处为最大；而对于窄深型矩形渠道而言，水流流态受侧壁影响较大，紊动较强，尤其是靠近水体表面区域的流速分布并不是如一般流速分布所制约的最大值，反而有所减小。针对此现象，Coles[3]和Coleman[4,5]提出通过添加尾流函数来修正外区水流在对数流速律上的偏离；胡春宏[6]及国内其他一些学者[7,8]基于大量试验研究和理论推求也提出按流速分布特点将渠道断面划分为内区、外区和表面区，不同区域采用不同的流速分布表达，但都存在公式较为烦琐，系数不易确定及精度不高等问题。Bazin[9]和胡云进[10]等都提出可用抛物线形式表示流速分布，然而有的尚未考虑侧壁对水流结构的影响，有的则是靠近渠底附近流速值误差很大，难以对流速分布进行精确的衡量。

泥沙的存在改变了水流紊动结构，使得挟沙水流与清水的流速分布有所不同，诸多实测资料也证明了这一点。挟沙水流流速分布可分为以下三种模式：一是变κ模式。Vanoni和Nomicos[11]、Einstein和钱宁等人的试验均表明，水流在挟沙后流速分布在主流区仍符合对数分布，但κ值要随含沙浓度的增大而减小，并且近底区的流速分布可能偏离对数律；二是对数-尾流函数模式，Coleman将尾流函数应用于挟沙水流，通过实验得出了尾流强度系数Π在清水和挟沙水流中的取值范围，但认为κ值在清水和含沙水流中并无差异；三是同时考虑κ值和尾流项对流速分布进行合理化修正，这类研究一般具有一定针对性，在不同的研究条件下得出的改进方法有所不同。由此可以看出，简单一项初等函数并不能精确表示明渠紊动水流尤其是挟沙水流的流速分布，其应为两个或以上初等函数的组合。本文在对比窄深型矩形断面明渠清水与挟沙水流流速分布差异的基础上，从N-S方程出发，考虑泥沙的存在对水流紊动扩散的影响，通过修正动量传递系数ε的表达式建立符合实际流速分布特点的窄深型明渠流速分布律，利用Coleman[12]水槽试验进行相关参数率定，通过分析泥沙与水流相互作用对流速分布的影响对各参数的意义进行相应讨论，进一步探究挟沙水流的紊动特性，为实际工程中表达流速垂线分布提供准确简便的理论计算依据。

2　挟沙水流流速分布

2.1　挟沙水流流速分布特征

Coles根据流体运动相似性，参照气体运动状态的描述提出了对数-尾流律，得到清水下考虑尾流区流速增大作用的流速垂向分布

(1)

式中：u为距床面y处的流速；u*为摩阻流速；κ为卡门常数；νm为水体运动黏度；δ为垂向最大流速位置距水底的距离；Π为尾流强度系数；B为参数，Π和B的值需要通过实验率定。在此基础上，Coleman根据窄深型水槽饱和输沙条件下的试验结果，考虑泥沙的存在将导致水流底部遵循对数-尾流律的范围变小，修正式(1)后提出如下挟沙水流流速分布律

(2)

式中：νδ为与水体含沙量有关的运动黏度，Π为考虑泥沙颗粒对水流影响的尾流强度系数，取值与Richardson数有关；ω(y/δ)为尾流函数；κ取值与清水中相同。

该式前两项为考虑泥沙影响下的边界层对数分布，第三项作为主流区及水表流速分布的修正。一般认为，水流中悬沙的存在将导致水流紊动强度的重新分配以及水流密度的变化，同时增大了水体黏性，紊动切应力也相应发生改变。流速梯度大小的改变，能从一定程度上反应水流紊动切应力的变化。为进一步认识泥沙对水流流速分布的影响，采用Wang和Qian[13]的水槽试验结果进行比较说明。Wang和Qian的试验为光滑明槽矩形断面窄深水流，宽深比为3.0～3.3，平均水深为0.09m。采用模型沙特征粒径dm=0.266mm，d50=0.96mm。其中一组次清水和对应饱和输沙条件下的流速剖面见图1，图中清水对数律曲线κ=0.406，浑水对数律曲线κ=0.308，对数-尾流律中的参数κ和Π均通过数据拟合得出。

水流挟带泥沙后，流速分布发生变化。靠近水流底部流速有所减小，而在水体表面流速则大于清水中流速，含沙水流流速分布较清水中更不均匀。流速由底到表呈现出先增大后减小的趋势，最大流速并不在水表，而是出现在靠近水表的区域。Guo[14]、Wang[13]和Coleman[4]的研究均表明，泥沙的存在减小了水体的紊动强度和频率，改变了水体的黏性，黏性层的厚度随含沙量的增加而增大。观察三条流速分布曲线可以看出，清水和κ值减小的对数曲线可以较为准确的刻画清水和挟沙水流底部的流速分布，但与外区(主流区及水表附近)流速先增大后减小的趋势相差较远；对数-尾流公式可以反映出最大流速出现在水表以下区域的现象，但底部与实测数据拟合程度较差，且对数-尾流流速分布中相关系数较多，参数确定复杂，尤其是尾流强度参数Π的确定，对数-尾流函数在应用时也存在不便，最大流速所在位置在实际中难以测量，遇到积分时往往因原函数无法确定，使其应用范围受限。

2.2　垂向流速分布公式

非对于二维明渠流动，其X方向的N-S方程为

(3)

式中：t为时间，s；v为垂向流速，m/s；h为水深，m；ρ为水体密度，m3/s；p为压力，Pa；ε为动量传递系数。

对于明渠恒定均匀流动，流速随时间变化不大，与u的垂向变化相比，u和p的x方向变化很小，垂向流速也相对较小，可以忽略。水深沿x方向的变化即为坡降I。因此式(3)就简化为

(4)

将式(4)化为用相对水深η表示，即展开后得

(5)

Nezu[15]和Graf[16]的试验研究均表明，描述水流紊动扩散的系数ε应为类抛物形式，但在水面处与实测资料不符，需要修正。Coles提出含有尾流强度Π的ε表达式为

(6)

考虑到窄深型渠道侧壁对流速主流区及水表流速分布的影响，采用与式(5)相似处理方法，将ε表达为类抛物形和修正函数相加的形式，即

ε=ε1+ε2

(7)

式中：ε1=Aηt(η-1)；ε2=B(η-1)csc(ζη+θ)，A、B、ζ、θ为系数，与水体含沙量和泥沙粒径等泥沙紊动特征参数有关。将式(7)代入式(5)，分别求解两方程

(8)

i=1时，α1=α，将ε1代入后得

(9)

进一步得到

(10)

取式(9)一特解为

(11)

式中：和C1为积分常数。

i=2时，α2=1-α，得到

(12)

进一步得到

(13)

取式(13)特解为

(14)

式中：和C2为积分常数。

将式(9)与式(10)相加并统一系数，得到式(5)的解

(15)

令m=1-t，考虑到渠底流速为零，对式(11)取极限，η→0时，u→0，故C3=0，于是可得

u(η)=d1ηm+d2sin(ζη+θ)

(16)

将(16)式无量纲化并统一系数，可得

(17)

式中：m为指数；D1、D2、ζ及θ为系数，将在下文中进行相应讨论。

式(16)或式(17)即为新得到的窄深型明渠流速垂线分布公式。

3　参数率定

采用Coleman的试验结果对式(16)及式(17)中参数进行率定并验证公式合理性。Coleman的试验为明槽光滑底面窄深水流，宽深比略大于2，试验选用了三种粒径的颗粒来模拟含沙水流，分别为d=0.105mm(run2～run20)、d=0.21mm(run21～run31)和d=0.42mm(run33～run40)。水深约为0.171m，且40组试验的最大流速均出现在水面以下，流速垂线分布与图1所示类似。将全部试验数据利用式(7)进行率定，得到每组流速垂线分布及对应参数值，每种粒径选取其中部分结果进行说明，见图2。根据试验资料和计算结果分析，运用式(16)表达流速垂线分布精度较高，所有组次拟合相关系数均在0.99以上。式(16)不仅能够准确刻画挟沙水流边界层流速分布，靠近水表流速较水体中部有所减小的特征也有所体现。由于该试验中每次投放的泥沙较少，含沙量随组次增量较小，流速变化不明显，但仍可以看出水流挟带泥沙后紊动规律有所改变，非线性作用进一步加强。

4　参数讨论

由上文分析及拟合可知，式(16)所表达含沙水流流速分布能更为准确的描述垂线流速分布特点，曲线与实测数据拟合程度很高。与式(1)形式相似，式(16)也由流速基本分布加修正项的结构组成。式(1)中，近底区的流速分布由经典的对数分布表示，而对于近底区以上的外部水体采用二次正弦函数进行修正；式(16)中，采用指数分布律计算边界层中含沙水流沿垂线分布，一次正弦函数用来描述主流区流速分布特征，特别是水流挟带泥沙后靠近水面附近的分布情况，次数降低但精度有所提高。参照对数-尾流分布中的对应项对式(16)中的各个参数进行讨论。

Prandtl[9]和Afzal[17]运用因此分析手段并结合大量试验，给出指数形式流速公式

(18)

式中：m为不定参数，一般取1/5～1/10。

指数律认为主流区的流速梯度与水分子的黏性呈渐进指数关系，而对数律则无从体现，因而能更准确的表现挟沙水流主流区及以上流速分布。鉴于Coleman试验中最大流速在三种粒径下的变化不大，将40组试验测得的最大流速um与式(12)拟合得到的d1相比，如图3所示。可以看出的值在各试验组次下均约等于1，说明式(12)或式(13)中，d1与指数分布律中的um相当。

各组次下拟合得到的m值范围如图4所示，取值均在1/5～1/10之间，与一般指数律中m的取值相符，再一次确认了式(16)中指数项的通用性与合理性。虽然不同粒径试验组次不同，但仍可以看出m取值随粒径的增大而减小，随含沙量增大而增大，水流接近饱和状态时m值逐渐趋于稳定。采用不同函数表达式对参数m与垂线平均含沙量进行拟合，相关系数见表1。

由表可知，采用指数形式计算m值精度较高，泥沙粒径越大，水体饱和含沙量越小。三种粒径下m值均可通过式(19)进行计算，且计算值与数据所得m值吻合程度较高(图5)。由um和m共同得到式(16)或式(17)流速分布中的指数项部分。

(19)

式(16)正弦项部分实为对流速垂向分布在外侧(主流区和水表附近)的修正，其大小与泥沙颗粒在水体中的紊动特性密切相关。利用脉动流速表示雷诺应力时，有泥沙颗粒对水流的影响不仅仅体现在流速垂向分布上，水质点之间的动量传递、交换方式和紊流猝发机制可能发生变化。由Guo[14]的分析及本文中对ε的假设可以看出，泥沙扩散会导致垂向上动量交换的减小，减弱紊动交换；作为平衡，流速梯度将有所增大。图6为三种粒径泥沙在饱和输沙时式(12)正弦项的垂向分布值。对于较粗颗粒泥沙而言，泥沙粒径对水流在主流区及水表附近的影响较大，泥沙粒径越大，含沙量越小，水表偏离对数分布越明显。

修正项中相位θ在所有组次试验中的拟合值如图7所示。d=0.105mm时，θ值基本为一恒定值；d=0.21mm时，θ值有所波动但幅度不大；当d=0.42mm时，其值产生较大范围波动。由此可以看出，泥沙颗粒粒径对θ值有一定影响，这种影响随着泥沙颗粒粒径的增大而逐渐增强。其原因可能是由于粒径越大，含沙水流紊动结构受泥沙颗粒的影响越明显。从两相流理论出发[18]，粒径越大，水体中固相与液相的差距越大，导致水流中相关参数的波动范围越大，规律性有所减弱。而同样是饱和输沙条件，较粗颗粒泥沙比较细颗粒泥沙含沙量低，说明随着含沙量的增大，水流紊动强度有所减弱。结合该试验结果，本文认为取θ=6.5代入进行垂向流速分布计算结果已满足精度要求。

基于上文对各个参数进行的讨论，将式(16)改写为如下形式

(20)

式中：um为垂向最大流速；和ζ由水体和泥沙颗粒的紊动特性决定，与渠道类型、底部糙率及泥沙粒径有关，需根据实测数据进行率定。

该公式结构合理，不涉及分段，对垂线流速分布的修正可应用于整个水深范围，易于求导和积分，便于代入其他方程进行运算，充分反映出了挟沙水流中近底紊动及泥沙颗粒导致紊动机制的改变对水体主流区及水表造成的影响。公式阶数低、计算简便，但精度很高，可满足工程实际需要。

5　结语

泥沙与水流的相互作用导致水流结构发生变化，流速垂向分布是这种变化的主要体现之一。对于窄深型矩形渠道而言，挟沙水流流速垂向分布比清水更不均匀，侧壁对流速分布有所影响，含有尾流函数修正的流速公式比经典对数公式更能准确描述该种流速分布；理论推导得出的窄深型明渠矩形断面挟沙水流流速垂向分布公式，采用指数分布加修正项的形式，其结构合理，计算精度很高，可用于整个水深，满足工程需要；公式中各参数意义表明，挟沙水流的流速分布与水体含沙量密切相关，主流区及以上流速较清水中有所增大，本文提出的修正项能较好地反映这种变化趋势。

文中推导得到的公式是针对窄深型矩形明渠在光滑壁面下的流速分布，流速测点位于断面中垂线上。当渠道宽深比较大以及壁面有一定糙率时，挟沙水流流速分布特性将有所不同，采用参数率定试验中模型沙的中值粒径较粗，未能针对在长江黄河等河流中以小于0.1mm为主的泥沙粒径挟沙水流进行检验，公式的适用性及参数取值有待于进一步研究。

参考文献：

[1]　VAN RJIN L C.Principle of sediment transport in rivers,estuaries and coastal seas[M].Amsterdam:Aqua Publications,1993.

[2]　SOULSBY R.Dynamics of marine sands:a manual for practical application[M].Oxford:Thomas Press,1997.

[3]　DONALD C.The Law of the Wake in the Turbulent Boundary Layer[J].Journal of Fluid Mechanics,1956,1(2):191-226.

[4]　COLEMAN N L.Velocity Profiles with suspended sediment[J].Journal of Hydraulic Research,1981,3(19):211-229.

[5]　COLEMAN N L.Flume studied of the sediment transfer coefficient[J].Water Resources Research,1970,6(3):801-809.

[6]　胡春宏,惠遇甲.明渠挟沙水流运动的力学和统计规律[M].北京:科学出版社，1995.

[7]　朱长军,张金良,等.明渠含沙水流的流速分布特性研究[J].长江科学院院报,2007,24(5):1-3.

[8]　谭显文,王正中,等.窄深式矩形明渠紊流流速分布规律研究[J].四川大学学报(工程科学版),2013,45(6):67-73.

[9]　章梓雄,董曾南.黏性流体力学[M].2版.北京:清华大学出版社,2011.

[10]　胡运进，万五一，等.窄深矩形断面明渠流速分布的研究[J].浙江大学学报(工学版),2008,48:183-187.

[11]　VANONI V A,NOMICOS G N.Resistance properties of sediment-laden streams[J].Transactions of the American Society of Civil Engineers,1960,125(1):1140-1167.

[12]　COLEMAN N L.Effects of Suspended Sediment on the Open-Channel Velocity Distribution[J].Water Resources Research,1986,22(10):1377-1384.

[13]　Wang X,Qian N.Turbulence characteristics of sediment-laden flow[J].J.Hydraul.Eng,1989,115:781-800.

[14]　GUO J,JULIEN P Y.Turbulent velocity profiles in sediment-laden flows[J].Journal of Hydraulic Research,2001,39:11-23.

[15]　Neze I,Rodi W.Open-channel flow measurements with a laser Doppler anemometer[J].Journal of Hydraulic Engineering,1986.112:335-355.

[16]　Graf W H,Cellino M.Suspension flows in open channels;experimental study[J].Journal of Hydraulic Research,40,4:435-447.

[17]　Afzal N.Power law velocity profile in turbulent boundary layers on transitional rough wall[J].Journal of Fluids Engineering,2007,129(8):1083-1100.

[18]　陈鑫,余锡平.水沙两相流中泥沙相的紊动扩散特征[J].水动力研究与进展,2012,27(2):141-146.

Velocity Profile Characteristics of Sediment-laden Flow in Narrow and Deep Open Channels

FENG Qing,LI Xiaoping,ZHAO Chaofan

(Department of Sediment Research,Huanghe River Institute of Hydraulic Research,Zhengzhou Henan Province　450003)

Abstract:For narrow and deep rectangular open channels,the logarithmic and exponential velocity profile formula would inaccurately describe the vertical distribution of flow velocity in the mid water flow or near the water surface.According to the influence of sediment particles on flow turbulence and diffusion processing,the velocity profile differences between clear water and sediment-laden flow in narrow and deep rectangular open channels were investigated and compared.From the N-S equation,the modified velocity profile equation was established with method of correcting the momentum transfer coefficient expression,which could be in line with the actual velocity profile characteristics of narrow and deep open channels.The related parameters were calibrated with the flume experiments conducted by Coleman,and the corresponding discussion about these parameters was implemented.The conclusion showed that the mathematical structure of proposed formula was reasonable and owned higher precision,which could satisfy with the requirements of practical engineering calculation.

Key words:Sediment-laden Flow;Velocity Profile;Narrow and Deep Open Channels;Turbulence