任务三　轴向拉伸和压缩杆件的内力分析

轴向拉伸或压缩变形是杆件的基本变形之一。当杆件两端受到背离杆件的轴向外力作用时,产生沿轴线方向的伸长变形。这种变形称为轴向拉伸,杆件称为拉杆,所受外力为拉力。反之,当杆件两端受到指向杆件的轴向外力作用时,产生沿轴线方向的缩短变形。这种变形称为轴向压缩,杆件称为压杆,所受外力为压力,如图3-7所示。

用截面法求图3-8(a)中拉杆m-m截面上的内力步骤如下：

(1)截开：假想用截面m-m将杆件分为Ⅰ、Ⅱ两部分,并取Ⅰ为研究对象。

(2)代替：将Ⅱ部分对Ⅰ部分的作用以截面上的分布内力代替。由于杆件平衡,所取Ⅰ部分也应保持平衡,故截面m-m上与轴向外力F平衡的内力的合力也是轴向力,这种内力称为轴力,记为N,如图3-8(b)所示。

(3)平衡：根据共线力系的平衡条件

求得

所得结果为正值,说明轴力N与假设方向一致,为拉力。

若取Ⅱ部分为研究对象,如图3-8(c)所示,同样方法可得N'＝N＝F。显然,N与N'是一对作用力与反作用力,其大小相等,方向相反,均为拉力。

为了截取不同研究对象计算同一截面内力时,所得结果一致,规定轴力符号为：轴力为拉力时,N取正值；反之,轴力为压力时,N取负值,即轴力“拉为正,压为负”。

当杆件上有多个轴向外力作用时,拉(压)杆横截面上的轴力一般不相同。为了直观地表示轴力随截面位置而变化的规律,取与杆轴平行的横坐标x表示各截面位置,取与杆轴垂直的纵坐标N表示各截面轴力的大小,这样画出的图形称为轴力图。画轴力图时,规定正值的轴力画在轴上侧,负值的轴力画在轴下侧,并标明正负符号。

【例3-1】　如图3-9(a)所示阶梯形杆件,自重不计。试绘出其轴力图。

解：(1)求支座反力。取阶梯杆为研究对象画受力图[图3-9(b)]。

(2)分段。以荷载变化处为界,将杆分为AB、BD两段(因内力与截面面积无关,故C截面变化不影响轴力,不作为分界面)。各段杆轴力计算如下：

AB段：取任一截面m-m左侧为研究对象[图3-9(c)],取杆轴为x轴。

若取截面右侧为研究对象,可得同样结果,故悬臂式杆件可从自由端依次取研究对象求各截面内力,而不必求支座反力。

BD段：取任一截面n-n右侧杆段为研究对象[图3-9(d)],取杆轴为x轴。

内力计算结果的正号说明内力实际方向与假设方向一致；反之,则表示内力实际方向与假设方向相反,如果未知轴力方向均按拉力假设,则所得结果的正负号即表示所求轴力的实际符号,而不必再标拉力或压力。

(3)作轴力图。首先取坐标系xON,按一定比例将正值轴力标在轴上侧,负值轴力标在轴下侧,作轴力图[图3-9(e)]。

由图可见：①各段杆轴力均为常量,轴力图为杆轴的平行线；②集中力作用处轴力图有突变,该截面轴力为不定值,因而计算轴力的截面不要取在集中荷载作用处；③BC、CD杆段截面面积不同,但轴力值相同,即轴力只随截面位置变化,而与截面形状、尺寸无关。

本例若将力F从截面D移至截面C[图3-9(f)],则轴力图将改变[图3-9(g)]。说明力的可传性原理不适用于变形体。总结截面法求指定截面轴力的计算结果可知,由外力可直接计算截面上的内力,而不必取研究对象画受力图。根据轴力与外力的平衡关系,以及杆段受力图上轴力与外力的方向,由外力直接计算截面轴力时,任一截面上轴力的大小等于截面一侧杆上所有轴向外力的代数和,即由外力直接判断为：离开截面的外力(拉力)产生正轴力；指向截面的外力(压力)产生负轴力。仍可记为轴力“拉为正,压为负”。

这种计算指定截面轴力的方法称为直接法。

【例3-2】　试作图3-10(a)所示等截面直杆的轴力图。

解：悬臂杆件可不求支座反力,直接从自由端依次取研究对象求各杆段截面轴力。

(1)求各杆段轴力。

(2)作轴力图[图3-10(c)],由图可得