第五节　皮尔逊-Ⅲ型分布参数估计方法

水文频率分布线型选定后，剩下来的工作就是确定参数了。由上节知道皮尔逊-Ⅲ型和对数皮尔逊-Ⅲ型曲线中都包含有均值、变差系数Cv和偏态系数Cs等3个独立的参数，一旦这3个参数确定，其分布就完全确定。由于水文变量的总体我们不可能知道，这就需要用有限的样本观测资料去估计总体分布线型中的参数，故称为参数估计。如何合理地估计参数，将直接影响到工程的设计标准、投资数量和经济效益，因此，参数估计在水文频率分析计算中至关重要。目前参数估计的方法很多，各有其优缺点，本节只介绍3种方法，即矩法、三点法和权函数法。由于皮尔逊-Ⅲ型曲线用得最多，加之上节所介绍的对数皮尔逊-Ⅲ型的参数估计可归结为皮尔逊-Ⅲ型的参数估计（只需研究取对数后的水文系列即可），所以本节的参数估计方法只针对皮尔逊-Ⅲ型分布。

一、矩法

随机变量X对原点离差的k次幂的数学期望E（Xk），称为随机变量X的k阶原点矩，而随机变量X对分布中心E（X）离差的k次幂的数学期望E｛［k-E（x）］k｝，则称为X的k阶中心矩。水文分析计算中，通常称均值、变差系数、偏态系数的计算式（3-5）、式（3-8）及式（3-9）为矩法公式。这是因为均值的计算式就是样本的一阶原点矩。均方差的计算式（3-7）为二阶中心矩开方，偏态系数计算式（3-9）中的分子则为三阶中心矩。

式（3-5）、式（3-8）及式（3-9）只是样本统计参数的计算式，它们与相应的总体同名参数不一定相等。但是我们希望由样本系列计算出来的统计参数与总体更接近些，因此需将上述公式加以修正，这就是所谓的无偏估值公式或渐近无偏估值公式。

若为未知参数θ的估计量。且E ＝θ［这里E 为的数学期望］。则称为θ的无偏估计量。

若为未知参数θ的估计量与样本容量有关），且

则称θ＾为θ的渐近无偏估计量。

按上述定义，我们可将式（3-5）、式（3-8）和式（3-9）作如下表示和修正。

水文计算人员习惯称上述三式为无偏估值公式。但实际上后两个公式估计出的Cv和Cs仍然是有偏的（渐近无偏）。必须指出，并不是说用上述无偏估值公式算出来的参数就代表总体参数，而是说有很多个同容量的样本资料，用上述三式计算出来的统计参数的均值。可望等于总体的同名参数。在现行水文频率计算中，当用矩法估计参数时，一般习惯都是用上述三式估算总体的参数，以作为适线法的参考数值（下面第六节讲述适线法），尽管后两个公式并不是精确的无偏估值公式。

二、三点法

当资料系列较长时，按无偏估值公式计算、Cv的工作量较大，而三点法则比较简便。因为皮尔逊-Ⅲ型曲线的方程中包含有、Cv、Cs3个参数，如果待求的皮尔逊-Ⅲ型曲线已经画出，就可以从这个曲线上任取3个点，其坐标为（xp1，P1）、（xp2，P2）及（xp3，P3），把这3个点的纵坐标值代入原方程中，便得到3个方程，联解便可求得3个参数值，这就是三点法的基本思路。但是，现在的问题是皮尔逊-Ⅲ型曲线待求，只有知道了3个参数后能画出，怎么办呢？

实际的做法是，先按经验频率点子绘出经验频率曲线，在此曲线上读取3点，并假定这3个点就在待求的皮尔逊-Ⅲ型曲线上，这样，可由式（3-20）建立如下的联立方程：

解上述方程组，消去均方差σ，得

并定名S为偏度系数，当P1、P2、P3已取定时，则有

的函数关系。有关S与Cs的关系已制成表格，见附表3。由式（3-32）求得S后，查表即可得到Cs值。三点法中的P2一般都取50%，P1和P3则取对称值，即P3＝1－P1。如P＝5%－50%－95%，P＝3%－50%－97%。

再由式（3-30）可得

其中Φ（P1，Cs）－Φ（P3，Cs）及Φ50%只与Cs有关，其关系也已制成表，见附表4。这样由前面确定的Cs即可确定Φ（P1，Cs）－Φ（P3，Cs）及Φ50%之值，进而可确定σ、。

最后，由σ和便可计算Cv值。

三点法方法非常简单，但致命弱点是难以得到三个点的精确位置。一般在目估的经验频率曲线上选取，结果因人而异，有一定的任意性。与矩法一样，三点法在实用中很少单独使用，一般都是与适线法相结合，作为适线法初选参数的一种手段。

三、权函数法

用矩法和三点法估计皮尔逊-Ⅲ型分布的3个参数时，由于方法本身的缺陷而产生一定的计算误差，其中尤以Cs的计算误差较大，致使结果严重失真。为提高参数Cs的计算精度，近年来水文学者作过很多努力，提出了不少估计方法，如极大似然法、各种单参数正法等。但比较有效的方法还应首推权函数法。该法由我国学者马秀峰于1984年正式提出，其实质在于用一阶、二阶权函数矩来推求Cs。实践证明，该法有较好的精度。下面我们将对权函数法作简单介绍。

对皮尔逊-Ⅲ型密度函数式（3-16）两端取对数得

将上式两边求导，并利用式（3-17）推出的关系式化简可得

上式两边乘以权函数φ（x），再积分，则有

将左边分部积分，并利用皮尔逊-Ⅲ型曲线的性质

则上面含有积分的方程可化为下列形式：

利用式（3-17），则可由式（3-36）解出Cs，即

下面的问题是：如何选取一个权函数φ（x），使得“有限和”取代式（3-37）中的“无限积分”时Cs具有最高的计算精度。

权函数的选取应满足下列两个条件：

（1）φ（x）非负且连续可微。

（2）。

我们知道，用式（3-37）计算Cs要保持一定的计算精度，一个必要条件是该公式分母的积分运算，不因正负相消而失去有效数字。为此所选的权函数必须使函数（x－）×φ′（x）在区间（a0，∞）上不改变符号。为满足这一条件，可取

求解上述微分方程得

其中λ＞0，是为控制计算精度而设置的待定常数。经大量的计算表明，取λ＝1具有较好的效果。

由λ＝1和可求出积分常数

由上式可知，所选取的权函数为正态分布的密度函数。

将式（3-40）代入式（3-37），并经整理可导出Cs的计算公式

式（3-41）～式（3-43）便是用权函数法计算皮尔逊-Ⅲ型频率曲线参数Cs的具体形式，其中式（3-42）和式（3-43）可分别理解为一阶与二阶加权中心矩。

四、抽样误差

由于水文系列的总体往往无限，目前的实测资料仅是一个样本，显然，由有限的样本资料来估计总体的相应统计参数值，总带有一定的误差，这种误差与计算误差不同，它是由随机抽样引起的，称为抽样误差。为叙述方便，下面仅以矩法的样本均值为例，说明抽样误差的概念和估算方法。

假设从某随机变量的总体中随意抽取k个容量相同的样本，分别算出各个样本的均值，这些均值对其总体均值的抽样误差为（i＝1，2，…，k）。抽样误差有大有小，各种数值出现的机会不同，即每一数值都有一定的概率，也就是说它也是随机变量，因而样本均值也是一随机变量，因为它们相差一常数。既然是随机变量，也就有其分布。我们称之为抽样误差分布。由误差分布理论知，抽样误差可近似服从正态分布。因此，

的抽样分布与的分布相同，也近似服从正态分布（因为它们相差一常数）。

可以证明，当样本个数k很多时，均值抽样分布的数学期望正好是总体的均值。因此，可以用抽样分布中的均方差（标准差）作为度量抽样误差的指标，σx大表示抽样误差大，小表示抽样误差小。为区别起见，把这个均方差称为样本均值的均方误。

由正态分布的性质知：

也就是说，如果我们随机抽样取一个样本，以此样本的均值作为总体均值的估计值，则有68.3%的可能性误差不超过，有99.7%的可能性误差不超过。

以上对样本均值抽样误差的讨论，同样也适用于其他样本参数。σ、Cv和Cs的抽样误差也分别用σσ、σCv、σCs来度量，它们分别表示σ、Cv和Cs的抽样均方误。根据统计理论可导出各参数的均方误公式，它们与总体分布有关。

当总体为皮尔逊-Ⅲ型分布且用矩法式（3-27）～式（3-29）估算参数时，样本参数的均方误公式如下：

上述误差公式，只是许多容量相同的样本误差的平均情况，至于某个实际样本的误差可能要小于这些误差，也可能大于这些误差，不是公式所能估算的。样本实际误差的大小要看样本对总体的代表性高低而定。

表3-2列出了皮尔逊-Ⅲ型分布Cs＝2Cv时各特征数的抽样误差。从表中可以看出，样本均值和变差系数Cv的均方误相对较小，而偏态系数Cs的均方误则很大。例如，当n＝100时，Cs的相对误差在40%～126%之间。如n＝10时，则Cs的相对误差更大，在126%以上，就是说，超出了Cs本身的数值。水文资料系列一般都少于100年，由资料直接根据矩法公式计算Cs的相对误差太大，难以满足实际要求。因此，水文计算中，一般不直接使用矩法估算参数，而是广泛采用适线法、矩法、三点法以及权函数法，均可作为适线法初选参数的一种手段，且在使用矩法初选参数时，一般不计算Cs，而是假定Cs为Cv的某一倍数，这就是下一节所要介绍的内容。