3.2　平面力偶系的合成

3.2.1　力矩的定义

从实践中知道，力对刚体的作用效应除了能使刚体移动外，还能使刚体转动，力对刚体的移动效应是用力矢来度量的，而力对刚体的转动效应则是用力矩来度量的。

人们在长期的生产实践中为了使物体转动或是为了省力，广泛使用了如杠杆、滑轮等简单机械，力矩的概念就是在使用这些简单机械的过程中逐渐建立起来的。

力使物体产生转动效应与哪些因素有关呢？现以扳手拧螺帽为例来说明。如图3.8所示，用扳手拧紧螺帽时，由实践体会到，手施力可使扳手绕螺帽中心转动；施力越大，螺帽越易转动；力的作用线离转动中心越远，螺帽也越易转动；当力的作用线与力的作用点到转动中心O点的连线不垂直时，则螺帽转动的效果就差；当力的作用线通过转动中心O点时，无论力F多大也不能扳动螺帽；只有当力的作用线垂直于转动中心与力的作用点的连线时，螺帽转动的效果为最好；另外，当力的大小和作用线不变而指向相反时，螺帽将向相反的方向转动。

由此例可得规律为：力使物体绕某点转动的效果，不仅与力的大小成正比，而且还与转动中心到该力作用线的垂直距离d成正比。这个垂直距离d称为力臂，转动效果称为力对点之矩（简称力矩），转动中心称为力矩中心（简称矩心）。用力的大小与力臂的乘积来量度力使物体绕某点转动的效果。于是得：

（1）力矩的大小：Fd；也等于力的大小与转动中心构成的三角形OAB的面积的两倍。

（2）力矩的正负号：规定力使物体绕矩心逆时针转时取正，反之取负。力矩是代数量。

（3）力矩的表达式：

（4）力矩的单位：N·m或kN·m。

由力矩的定义可得如下结论：

（1）力对点之矩不但与力的大小和方向有关，还与矩心位置有关。

（2）当力的大小为零或力的作用线通过矩心（即力臂d＝0）时，则力矩恒等于零。

（3）当力沿其作用线滑移时并不改变力对点之矩。

【例3.3】　试计算图3.9中F1、F2对O点的力矩。

【解】　从图3.9中可知力F1和F2对O点的力臂为h和l2。则有

3.2.2　合力矩定理

由前所述的力的平行四边形法则可知，两个共点力F1和F2对刚体的作用效应可用它的合力R来代替。这里所指的作用效应当然也包括刚体绕某点转动的效应，而力使物体绕某点的转动效应由力对该点的矩来度量，因此可得，两个共点力的合力对作用平面内任一点之矩应该等于两个分力对同一点之矩的代数和。

证明：设力F1、F2作用于物体上的A点，其合力为R。任选力系所在平面内一点O为矩心，过O点并垂直于连线OA作为y轴，如图3.10所示。

F1、F2、R对O点之矩分别为

因AB2与B1B平行且相等，所以Ob2＝bb1

这里的证明虽是以两个汇交点力及其合力来求证的，但可以推广到平面n个力汇交的情形。

因此得出：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于力系中各分力对同一点力矩的代数和。此结论称为合力矩定理，用公式表示为

合力矩定理给出了力系的合力与分力对同一点力矩的关系，可用来简化力矩的计算。例如在计算力对某点的力矩时，有时力臂不易求出，可将此力分解为相互垂直的两个分力，若两个分力对该点的力臂已知，即可方便地求出两分力对该点的力矩代数和，从而求得此力对该点之矩。

【例3.4】　试计算图3.11力F对A点的力矩。

【解】　解法1：由力矩的定义计算力F对A点的力矩：

解法2：用合力矩定理计算力F对A点的力矩。

将力F在C点分解为正交的两个分力Fx、Fy。

由合力矩定理得

由此可见，两种解法的结果是相同的，但在解法1中，由几何关系推求力臂较麻烦，而在解法2中，由合力矩定理计算则较为简便。

【例3.5】　已知1m长挡土墙的自重FG＝80kN，承受铅直土压力FV＝100kN和水平土压力FH＝120kN作用，如图3.12所示。试分析挡土墙是否绕A点倾倒。

【解】　挡土墙受自重和土压力作用，其中水平土压力FH对A点的力矩m倾有使挡土墙绕A点倾倒的趋势，而自重FG和铅垂土压力FV对A点的力矩m抗起着抵抗倾倒的作用。若m抗＞m倾，则挡土墙不会绕A点倾倒；若m抗＜m倾，则挡土墙将会绕A点倾倒。

由于｜m抗｜＞｜m倾｜，因此挡土墙不会绕A点倾倒。

3.2.3　力偶及其基本性质

1.力偶的概念

在生产和生活实践中，为了使物体发生转动，常在物体上施加两个大小相等、方向相反、不共线的平行力。例如，汽车司机用双手转动方向盘驾驶汽车；钳工用丝锥攻丝时双手加力于丝锥手柄上如图3.13所示。

当大小相等、方向相反、不共线的两个平行力F和F′作用在同一物体上时，它们的作用效果可使物体产生转动效应。力学上把这种由大小相等、方向相反、不共线的两个平行力组成的力系，称为力偶，用符号（F，F′）表示。力偶的两力之间的距离d称为力偶臂。

力偶不能再简化为更简单的形式，所以力偶同力一样被看成组成力系的基本元素。

2.力偶矩

如何度量力偶对物体的作用效果呢？由实践可知，组成力偶的力越大，或力偶臂越长，则力偶使物体转动的效应越强；反之，就越弱。这说明力偶的转动效应不仅与两个力的大小有关，而且还与力偶臂的长短有关。与力矩类似，因此，用力的大小与力偶臂的乘积来量度力偶使物体转动的效果，这个转动效果称为力偶矩，于是得

（1）力偶矩的大小：Fd。

（2）力偶矩的正负号：规定力偶使物体逆时针转时取正，反之取负。

（3）力偶矩的表达式：

（4）力偶矩的单位：N·m或kN·m。

力偶在其作用面内除了用两个平行反向等值的力表示外，通常也可以用一个带箭头的弧线来表示，箭头表示力偶的转向，m表示力偶矩的大小，如图3.14所示。

3.力偶的基本性质

力和力偶是力学中两个基本要素，力偶与力比较，具有不同的性质，现分述如下。

性质1：力偶在任意轴上的投影等于零。

证明：力偶的这一性质可由力偶的定义和合力投影定理来验证，由于力偶中的两个力大小相等、方向相反、作用线平行，设力与x轴的夹角为α，如图3.15所示。现求它们在任一轴x上的投影，由合力投影定理得

性质2：力偶没有合力，故不能用一个力来代替，也不能用力来平衡，力偶只能与力偶平衡。

证明：图3.15中由式（3.8）同理得∑Y＝0，再由式（3.4）得合力R＝0。

性质3：力偶对其作用面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心位置无关。

由于力偶由两个力组成，它的作用效应是使物体产生转动，因此，力偶对物体的转动效应可用力偶中的两个力对其作用面内某点的矩的代数和来度量。

证明：设一力偶（F，F′），其力偶臂为d，如图3.16所示。在力偶作用面内任取一点O为矩心。则有

由此可见：力偶的作用效应决定于力的大小和力偶臂的长短，而与矩心的位置无关。

性质4：在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则这两个力偶等效。这个性质称为力偶的等效性。

4.推论

从以上性质可以得到：

推论Ⅰ：只要保持力偶矩的大小和转向不变，力偶可在其作用面内任意转动和移动，而不改变它对物体的转动效应。也就是说，力偶对物体的作用效应与它在作用平面的位置无关。

推论Ⅱ：只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以同时改变组成力偶的力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对物体的转动效应。

用这两个推论可将力偶矩m＝100N·m图示为图3.17中的多种情形。

5.力偶的三要素

从以上分析可知，力偶对物体的转动效应完全取决于力偶矩的大小、力偶的转向和力偶的作用面。这就是力偶的三要素。不同的力偶只要它们的这三个要素相同，则对物体的转动效应是相同的。

3.2.4　平面力偶系的合成

由多个力偶构成的力系称为力偶系，由多个力偶构成的平面力系称为平面力偶系。力偶对物体的作用效应是使刚体发生转动，平面力偶系对刚体的作用效应也是使刚体发生转动。如何度量力偶系对刚体作用的总效应呢？这就是平面力偶系的合成问题。对此，可应用力偶的性质及推论来研究这一问题。

（1）如图3.18（a）所示：设作用于刚体同一平面内的三个力偶它们的力偶臂分别为d1、d2、d3。

用m1、m2、m3分别代表这三个力偶的力偶矩，即

m1＝F1d1，m2＝F2d2，m3＝－F3d

（2）如图3.18（b）所示：根据推论Ⅱ，将这三个力偶中的力和力偶臂同时加以改变，并使它们的力偶臂都等于d，得到三个新力偶

它们的力偶矩应分别与原力偶的力偶矩相等，即

m1＝P1d，m2＝P2d，m3＝－P3d

新力偶中各力的大小分别为

（3）如图3.18（c）所示：取一线段AB＝d，又根据推论Ⅰ，把这三个新力偶分别转移，使它们的力偶臂均与AB重合。

（4）如图3.18（d）所示：分别将作用于A、B两点的共线力系合成，得

（5）结论：力R与R′的大小相等，方向相反；作用线平行但不共线，即组成一力偶（R，R′），如图3.18（d）所示。此力偶（R，R′）称为原三个力偶的合力偶，其力偶矩为

若有n个力偶，其力偶矩为m1，m2，m3，…，mn，仍可用上述方法合成，即

于是得出结论：平面力偶系合成的结果是一个合力偶，其合力偶矩等于原力偶系中各分力偶矩的代数和。