3.6　物体系统的平衡

所谓物体系统，是指由若干个构件按一定方式组合而成的结构。这里构成物体系统的构件主要是刚体。因此也称为刚体系统。

若物体系统中的每个物体和物体系统整体都处于平衡状态，则称该物体系统处于平衡状态，研究物体系统平衡问题的主要目的是：

（1）求外界对物体系整体的约束反力。

（2）求物体系内各物体之间相互作用的内力。

既然物体系统平衡，那么其中任何一构件也处于平衡，因此求解这类问题时，应当根据题目的具体要求（不外乎上述两种目的），适当地选取研究对象，逐步进行求解。求解物体系统平衡问题的关键，在于正确分析、适当选取研究对象，最好在解题之前，先建立一个清晰的解题思路，再按思路依次选取研究对象进行求解。

另外还必须指出，在给定一个力系之后，按照平衡条件所能写出的独立平衡方程的数目是一定的。如一个平面力系，最多有3个独立的平衡方程式，因此从中最多可以求出3个未知量。对于物体系统平衡问题也是这样，设物体系统由n个物体组成，每个物体上都作用着一个平面力系，则最多可能有3n个独立的平衡方程式。若其中某些物体上作用的力系是汇交力系，平行力系等，则独立的平衡方程式数目还要随之减少。相应地，最多可以由这些方程中求得3n个未知量。这就是说，若物体系统所能列出的独立的平衡方程个数与物体系统中所包含的未知量个数相同，则这样的问题仅用静力学条件就能求解；若所能列出的独立的平衡方程个数少于未知量总数，则仅用静力学条件不能求出全部未知量。据此分析，可以把物体系统的平衡问题分成两大类：

（1）静定问题，即所研究的问题中包括的独立平衡方程的个数与未知量（主要是约束反力）个数相等，这样可以仅依靠静力平衡条件求解全部未知量。静定问题是静力学（严格地说是刚体静力学）研究的主要问题。静定问题对应的物体系统就是静定结构。

（2）静不定问题，即问题中包含的独立平衡方程的个数少于未知量个数。这类问题仅用静力学条件不能求出所有的未知量，这时就要考虑物体的变形，从而列出补充方程，使方程数与未知量数相等，以求出全部未知量。静不定问题对应的物体系统就是超静定结构。

静不定问题也称为超静定问题，其未知量总数与独立的平衡方程总数之差，称为该问题的静不定次数或超静定次数。

总之，求解物体系统平衡问题时，应先判断其是否静定，只有静定的才能用刚体静力学的方法求解。本章主要是静定问题，静不定问题的求解在第10章中讲解。

【例3-7】　图3-15所示的组合梁由AC和CD在C处铰接而成。梁的A端插入墙内，B处为滚动支座。已知F＝20kN，均布荷载q＝10kN/m，M＝20kN·m，l＝1m。试求插入端A及滚动支座B的约束反力。

解：先以整体为研究对象，组合梁在主动力M、F、q和约束反力FAx、FAy、MA及FB作用下平衡，受力如图3-15（a）所示。其中均布荷载的合力通过点C，大小为2ql。列平衡方程有

以上3个方程中包含有4个未知量，必须再补充方程才能求解。为此可取梁CD为研究对象，受力如图3-15（b），列出对点C的力矩方程，即

由式（d）可得：

代入式（a）~式（c）求得：

如需求解铰链C处的约束反力，可以梁CD为研究对象，由平衡方程∑Fx＝0和∑Fy＝0求得。

此题也可以先取梁CD为研究对象，求得FB后，再以整体为研究对象，求出FAx、FAy、MA。

【例3-8】　图3-16（a）所示的平面构架，由杆AB、DE及DB铰接而成，A为滚动支座，E为固定铰链。钢绳一端拴在K处，另一端绕过定滑轮和动滑轮后拴在销钉B上。已知重力为P，DC＝CE＝AC＝CB＝2l；定滑轮半径为R，动滑轮半径为r，且R＝2r＝l，θ＝45°。试求A、E支座的约束反力及BD杆所受的力。

解：应依据已知与待求量，选取适当的系统为研究对象，并列适当的平衡方程，尽量能使一个方程解出一个未知量。

先取整体为研究对象，其受力如图3-16（a）所示。列平衡方程

由式（a）解得

代入式（b）和式（c）得

为了求BD杆所受的力，应取包含此力的物体或系统为研究对象。取杆DCE为研究对象最为方便，杆DCE的受力图如图3-16（b）所示。

列平衡方程

式中FK由动滑轮、定滑轮和绳索的受力分析可得，FK＝P/2（请读者自行分析）。

所以得