§3-3 平面的投影
一、平面的表示方法
如图3-14所示，平面表示方法如下：
（1）不在同一直线上的三点可以表示一个平面。
（2）直线和直线外一点可以表示一个平面。
（3）两相交直线可以表示一个平面。
（4）两平行直线可以表示一个平面。
（5）任一几何图形可以表示一个平面。
图3-14 平面的表示方法
二、各种位置平面的投影
在三面投影体系中，根据平面相对于投影面的位置可分为三类：投影面的平行面、投影面的垂直面、一般位置的平面。
1.投影面的平行面
投影面的平行面是平行于一个投影面，而与另外两个投影面垂直的平面。投影面的平行面划分如下：
（1）正平面：平行于V面，垂直于H、W面。
（2）水平面：平行于H面，垂直于V、W面。
（3）侧平面：平行于W面，垂直于H、V面。
各种投影面的平行面的直观图、三面投影图及投影特征见表3-3。
表3-3 各种投影面的平行面的直观图、三面投影图及投影特征
投影面的平行面的投影特征可归纳为：在与平面所平行的投影面上的投影反映实形，其余两面均积聚为一直线，且平行于相应两投影轴。
2.投影面的垂直面
投影面的垂直面是垂直于一个投影面，而与另外两个投影面倾斜的平面。投影面的垂直面分为：
（1）正垂面：垂直于V面，倾斜于H、W面。
（2）铅垂面：垂直于H面，倾斜于V、W面。
（3）侧垂面：垂直于W面，倾斜于H、V面。
投影面的垂直面的投影特征可归纳为：在与平面所垂直的投影面上的投影积聚为一斜线，该斜线与相应投影轴的夹角反映平面对其他两投影面的夹角，其余两面均为类似形。
各种投影面的垂直面的直观图、三面投影图及投影特征见表3-4。
3.一般位置的平面
一般位置的平面在三个投影面上的投影均为类似形，且不反映该平面与投影面的倾角，如图3-15所示。
表3-4 各种投影面的垂直面的直观图、三面投影图及投影特征
图3-15 一般位置平面的投影
三、平面上的点和直线
平面上点存在的几何条件：如果点在平面上，则点必定位于平面内的一条直线上。
平面上直线存在的条件：
（1）过平面上两点的直线一定在该平面上。
（2）过平面上一个已知点，作平面上一条已知直线的平行线，则该直线必在平面上。
【例3-4】 如图3-16所示，已知K点的水平投影和L点的两面投影，且K点属于△ABC平面，试求点K的正面投影，并判断点L是否属于△ABC所确定的平面。
分析：依据点和直线属于平面的几何条件，先作辅助线，再判定。
图3-16 平面上点的投影求作方法
作图：如图3-16（b）所示。
（1）分别连接a和k、a和l，并延长,分别与bc相交于d、e。
（2）利用“长对正”求出正面投影d′、e′，连接a′d′、a′e′，在a′d′上求出k′点。
（3）由于l′不在a′e′上，判定L不属于△ABC所确定的平面。
【例3-5】 如图3-17所示，已知△ABC平面，试在平面上过A点作正平线，过C点作水平线。
图3-17 在平面上作水平线和正平线
分析：根据水平线和正平线的投影特征，水平线的正面投影平行于X轴，正平线的水平投影平行于X轴。
作图：
(1)分别过a和c′作X轴的平行线ad和c′e′。
(2)根据投影关系分别求出a′d′和ce，a′d′即为平面上正平线AD的正面投影，ce即为平面上水平线CE的水平投影。
四、直线、平面相对位置的分析、判定
在工程制图中规定平面为无限大，所以直线与平面、平面与平面的相对位置不是平行就是相交。
1.直线与平面平行
由几何定理可知：若一直线与平面上任一直线平行，则此直线与该平面平行；反之，若一直线与某平面平行，则在此平面上必能作出与该直线平行的直线。
【例3-6】 如图3-18所示，已知平面ABC和点M的两面投影，求作一条过已知点M并平行于△ABC平面的正平线。
作图：
（1）作平面内的正平线。过c点作平行X轴的直线与ab交于d点，由d求出d′，连接c′d′。
图3-18 直线与平面平行
(2)过点作平行于平面的直线。即作m′n′∥c′d′、mn∥cd,则MN即为所求。
2.两平面平行
由几何定理可知：一平面上两相交直线对应地平行于另一平面上两相交直线，则这两个平面互相平行。
【例3-7】 已知平面四边形ABCD和三角形ABC的两面投影，如图3-19所示，试判断两平面是否平行。
图3-19 判断两平面平行
分析：判断两平面是否平行，可以采用判断两平面内两相交直线是否平行。
作图：
（1）在平面四边形ABCD的水平投影abcd上作直线ac和a1使它和三角形ABC的水平投影abc上的ac、ab平行。
（2）在平面四边形ABCD的正面投影a′b′c′d′上作直线a′c′和a′1′。并判断其是否和三角形ABC的正面投影a′b′c′上的a′c′、a′b′是否平行。
（3）从图3-19上看，它们是互相平行的，所以可以判定平面四边形ABCD和三角形ABC是两平行平面。
3.直线与平面相交
（1）特殊位置线和一般位置面相交。直线与平面相交只有一个交点，这个交点称为贯穿点，它是直线与平面的共有点。作图时，应首先求出交点的投影，然后判定重影部分直线的可见性，交点是可见与不可见的分界点。
如图3-20所示，铅垂线EF与一般位置面ABCD相交，由于铅垂线EF具有积聚性，交点K是EF上一点，所以点K的水平投影k与e(f)重影，可直接求出。又因交点K在平面ABCD内，则可利用平面取点作辅助线的方法，求出交点K的正面投影k′。
图3-20 投影面垂直线与一般位置面相交
（2）一般位置线和特殊位置面相交。如图3-21所示，平面P为铅垂面，它的水平投影积聚为一直线，其积聚投影包含了平面P上所有点，交点K位于平面内，它的水平投影也必在P平面的积聚投影上，交点K又是直线AB上的点，所以两者的水平投影的交点就是K的水平投影k，根据投影规律可求出k′。其正面投影需判断直线的可见性。由水平投影可直接看出，以交点K为界，直线AB上的KB段在平面P之后，AK段在平面P之前，因此，在正投影上KB段被平面P挡住的部分应画成虚线。
图3-21 一般位置线与特殊位置面相交
4.两平面相交
如图3-22所示，平面P为铅垂面与一般位置面△ABC相交，两平面相交的交线为直线，只要求出直线两个共有点便可得出交线。由于平面P的水平投影具有积聚性，在水平投影上可先求出直线与平面△ABC的交点Ⅰ和Ⅱ的水平投影1、2，再求出正面投影1′、2′，连接Ⅰ和Ⅱ两点的正面投影，即为所求交线的投影。其水平投影的可见性不需判断，正面投影的可见性判断仍可用重影点的方法，也可通过观察来判别。
图3-22 特殊位置面与一般位置面相交
注意：一般位置线与一般位置面相交：由于一般位置线与一般位置面的投影都没有积聚性，因此交点不能直接求出，需要用辅助平面法。