2.6　平面问题中一点的应变状态

若已知弹性体中任一点P处的三个应变分量εx、εy、γxy，求一点的应变状态，即求：

（1）经过该点平行于xOy面的任何斜向微小线段PN的正应变。

（2）经过该点平行于xOy面的任何两个斜向微小线段PN与PN′之间的夹角的改变。

平面问题中一点的应变状态如图2-8所示，命P点的坐标为（x，y），N点的坐标为（x+dx，y+dy），PN的长度为dx，PN的方向余弦为cos（PN，x）=l，cos（PN，y）=m。

设P点的位移分量为u、v，则N点的位移分量为

如果线段PN的正应变为εN，则线段PN变形后的长度为dr+drεN，则

将 的二次项略去，则得到

并利用l2+m2=1，最终得到线段PN的正应变为

εN=l2εx+m2εy+lmγxy　　（2-24）

接下去，求线段PN和PN′的夹角改变量，即切应变γxy。根据图2-8，线段P1N1的方向余弦为

利用dx=dr·l，dy=dr·m和 ，并略去二阶小量，得到

同理，可以得到PN′成为P1N′1的方向余弦，即

cosθ1=cos（α1-β1）=cosα1cosβ1+sinα1sinβ1=l′1l1+m′1m1，将式（2-25）、式（2-26）、式（2-27）和式（2-28）代入，利用，并略去高阶小量，得到

cosθ1=（l′l+m′m）（1+εN-εN′）+2（l′lεx+m′mεx）+（lm′+l′m）γxy

PN与PN′变形后的夹角改变为θ1-θ，其中有

cosθ=cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=l′l+m′m

据此，可以得到PN与PN′变形后的夹角改变为θ1-θ。