2.3　几何方程

现在，来导出应变分量与位移分量之间的关系式，即平面问题的几何方程。经过弹性体内的任意一点P，沿x轴和y轴的正方向取两个微段PA和PB，平面问题的微段如图2-6所示。假定弹性体受力以后，P、A、B三点分别移动到P′、A′、B′。

首先，来求出线段PA和PB的正应变。P点在x方向的位移分量是u（x，y）。A点相较于P点，在x方向的增量为dx，即PA=dx。因此，A点在x方向的位移分量，可用泰勒级数表示为

略去高阶微量，简化为 。

线段PA的正应变近似为

最终，得出

同理，可以得出PB的正应变：

求切应变γxy，即求线段PA与PB之间直角的改变量。由图2-6可见，这个切应变是由α和β两部分组成的。设P点在y方向的位移为v（x，y），则A点在y方向的位移分量为

则转角α近似为

化简后得出 。

同理，。

因此，切应变为

式（2-4）、式（2-5）和式（2-6）即为平面问题的几何方程。