1.2 模糊多属性决策概述
近年来，与经典的多属性（群）决策相比，模糊多属性（群）决策得到了更多学者的高度关注，并取得了一系列的研究成果。在大量相关文献中，有以下成果：模糊多属性基础理论研究，如模糊集之间的距离测度、贴近度测度、模糊熵等；信息集结算子，如语言信息集结算子、二元语义信息集结算子、直觉模糊信息集结算子等；属性权重确定方法研究，如主观赋权法和客观赋权法等。
1.2.1 距离、贴近度和模糊熵的测度
距离和贴近度测度是模糊集相关理论中十分重要的概念，其广泛地应用于诸多领域，如模糊多属性决策、模式识别、聚类分析和判别分析等。距离和贴近度是一对意义相反的概念，它们表示的是同一事物的两个方面。模糊集之间的贴近度表示两个模糊集之间的相似程度，而距离表示两个模糊集之间的差异程度。一般而言，两者之和等于1，因此，可以在一个已知的条件下得到另一个条件。最常用的模糊距离测度方法有：闵可夫斯基（Minkowski）距离、海明（Hamming）距离、欧几里得（Euclidean）距离、切比雪夫（Chebyshev）距离、考夫曼（Kaufmann）距离等。在模糊多属性决策中，许多学者根据模糊集类型的不同，在上述常用距离的基础上提出了各种距离测度方法。
在有关模糊集之间距离和贴近度测度的文献中，直觉模糊距离得到的关注和取得的成果最多。例如，在海明（Hamming）距离、欧几里得（Eu-clidean）距离的基础上，Atanassov[4]、Szmidt和Kacprzyk[5]，[6]提出一系列直觉模糊距离测度方法。Chen[7]，[8]提出了一系列测度Vague集之间贴近度的方法。Li和Cheng[9]提出了直觉模糊贴近度的定义和几种直觉模糊贴近度的测度方法。随后，Liang和Shi[10]、Mitchell[11]指出了Li和Cheng[9]方法中的不足并提出了改进的测度方法。Wang和Xin[12]提出了直觉模糊距离测度方法并应用于模式识别。Liu[13]分析了Li和Cheng[9]、Chen[7]，[8]测度方法中的不足，并提出了一种直觉模糊集之间贴近度的测度方法。Vlachos和Sergiadis[14]借助熵理论构建了一种衡量两个直觉模糊集之间差异程度的方法，这种差异程度实际上就是距离的测度方法，但该距离并非标准化的距离，即两直觉模糊集之间的距离可能大于1。Hung和Yang[15]提出了两种测量直觉模糊集之间贴近度的方法。Xu和Chen[16]回顾了直觉模糊集之间距离和贴近度的测度方法，并提出了连续空间上的直觉模糊集贴近度的测度方法。在文献[17]中贴近度的基础上，Xu[18]提出了一种改进的直觉模糊集之间贴近度测度方法。Xia和Xu[19]在直觉模糊算子的基础上构建了一系列有关直觉模糊集的贴近度测度方法。以区间模糊熵为基础，Wei等[20]提出了一种贴近度的测度方法。Ye[21]构建了基于余弦函数的直觉模糊集之间贴近度的测度方法。Hwang等[22]在Sugeno积分的基础上构建了一种直觉模糊集之间贴近度测度方法。Li等[23]讨论了直觉模糊熵和贴近度之间的关系，并以此为基础提出了一种贴近度测度方法。
在模糊集基本理论的研究中，模糊熵的测度也引起了许多学者的关注。传统的模糊熵描述了模糊集的模糊程度，文献[24-29]给出了模糊熵的定义、特点或计算方法。自直觉模糊集理论创立以来，许多学者从不同的角度定义了直觉模糊熵。例如，Burillo和Bustince[30]给出了直觉模糊熵的公理化定义并分析了直觉模糊熵具有的若干特征。Szmidt和Kacprzyk[31]从几何角度诠释了直觉模糊集，并在直觉模糊集距离比值的基础上提出了另一种直觉模糊熵。Zeng和Li[32]讨论了区间模糊集之间距离和熵的关系，并证明二者之间可以互相转换。Hung和Yang[33]提出另一种直觉模糊熵定义并介绍了两类熵测量方法。Vlachos和Sergiadis[34]提出了直觉模糊集的cross熵定义，并扩展了DeLuca-Termini非概率熵。Zhang和Jiang[35]以隶属度和非隶属度的交集与并集为基础，提出vague集的非概率熵。Zhang等[36]在距离测度的基础上，提出了另一种区间模糊熵的公理化定义，并分析了区间模糊集的贴近度与熵之间的相互关系。上述许多文献指出，直觉模糊熵与直觉模糊集之间的距离或贴近度关系十分密切，而且一些学者以直觉模糊集之间的距离或贴近度为基础构建了直觉模糊熵，并提出了相应的直觉模糊熵公理化定义，如Hung和Yang[37]、Zhang等[36]。
1.2.2 信息集结算子
考虑信息集成往往是决策过程必不可少的一个环节，许多学者相继提出了众多的信息集结算子。其中直觉模糊信息集结算子、语言信息集结算子和二元语义信息集结算子得到的关注较多。
（1）直觉模糊信息集结算子。Xu[38]提出了直觉模糊加权平均算子、直觉模糊有序加权平均算子和直觉模糊混合集结算子，并讨论了其相关性质。Xu和Yager[39]提出了直觉模糊加权几何平均算子、直觉模糊有序加权几何平均算子和直觉模糊混合几何算子。Zhao等[40]提出了广义直觉模糊加权平均算子、广义直觉模糊有序加权平均算子、广义直觉模糊混合集结算子、广义区间直觉模糊加权平均算子和广义区间直觉模糊混合集结算子。Xu和Wang[41]提出了诱导的广义直觉模糊有序加权平均算子。Xu[42]提出了直觉模糊power加权平均算子、直觉模糊power加权几何算子、直觉模糊power有序加权平均算子和直觉模糊power有序加权几何算子。Wei[43]提出了诱导的直觉模糊有序加权几何算子和诱导的区间直觉模糊有序加权几何算子。Yang和Chen[44]提出了准直觉模糊有序加权平均算子、准直觉模糊Choquet有序加权平均算子和基于Dempster-Shafer belief structure的准直觉模糊有序加权平均算子。Yu等[45]提出了一组基于优先顺序的区间直觉模糊集结算子。Wei和Zhao[46]提出了诱导的直觉模糊关联平均算子和诱导的直觉模糊关联几何算子。Zeng和Su[47]提出了直觉模糊有序加权距离算子。Tan和Chen[48]提出了直觉模糊Choquet积分算子。Xu和Xia[49]提出了诱导的广义直觉模糊Choquet积分算子和诱导的广义直觉模糊Dempster-Shafer算子。
（2）语言信息集结算子。Herrera等[50]提出了语言有序加权平均算子并讨论了其特性。Zhou和Chen[51]提出了语言广义power平均算子、加权语言广义power平均算子和语言广义power有序加权平均算子。Xu等[52]提出了语言power平均算子、语言power有序加权平均算子、不确定语言power平均算子和不确定语言power有序加权平均算子。Xu[53]提出了语言几何平均算子、语言加权几何平均算子、语言有序加权几何平均算子和语言混合几何平均算子。Xu[54]提出了一组诱导的不确定语言有序加权平均算子。Xu[55]提出了不确定语言有序加权平均算子和不确定语言混合集结算子。Xu[56]提出了不确定语言几何平均算子、不确定语言加权几何平均算子、不确定语言有序加权几何平均算子和诱导的不确定语言有序加权几何平均算子。Wu等[57]提出了基于兼容性指数的诱导语言有序加权几何算子和基于重要度的诱导语言有序加权几何算子。
（3）二元语义信息集结算子。Herrera和Martínez[58]提出了二元语义算术平均集结算子、二元语义加权平均集结算子和二元语义有序加权平均集结算子。Wang和Hao[59]构建了比例二元语义加权平均集结算子。基于熵最大化原则，Wang[60]提出了改进的语言有序加权平均集结算子。Wang和Hao[61]提出了Quantifier诱导的二元语义有序加权平均集结算子和基于Anchoring值的二元语义有序加权平均集结算子。Dong等[62]提出了二元语义有序加权平均集结算子和扩展的二元语义有序加权平均集结算子。Wei[63]提出了扩展的二元语义加权几何平均集结算子和扩展的二元语义有序加权几何平均集结算子。Jiang和Fan[64]提出了二元语义加权平均集结算子、二元语义有序加权平均集结算子和二元语义有序加权几何集结算子。Zhang和Fan[65]提出了扩展的二元语义加权平均集结算子。基于Choquet积分，Yang和Chen[66]提出了二元语义关联平均算子、二元语义关联几何算子和广义二元语义关联平均算子。在依赖集结算子[67]的基础上，Wei和Zhao[68]提出了二元语义有序加权平均依赖集结算子和二元语义有序加权几何依赖集结算子。
1.2.3 属性权重确定方法
针对属性权重未知或不完全的情况，许多学者提出了一系列确定属性权重的方法。这些方法可以划分为主观赋权法、客观赋权法和主客观综合赋权法。
（1）主观赋权法主要是运用模糊层次分析法或模糊判断矩阵来确定权重。诸克军等[69]基于各方案的模糊综合程度值和用于比较三角模糊数的可能度概念确定权重向量。为避免计算的复杂性，Buckly等[70]将最大特征根法扩展为模糊形式，并以此确定各方案的模糊权重。Csutora和Buekley[71]提出了将最大特征根法扩展为模糊特征根法的权重确定模型。许若宁[72]提出了一种三角模糊数判断矩阵一致性的修正方法。李永等[73]提出了改良的模糊AHP法，把互反判断矩阵改为模糊一致性判断矩阵，并将行和归一法或方根法与特征向量法结合使用。朱建军等[74]定义了区间数判断矩阵局部一致性和局部满意一致性，并构建了一个确定权重的模型，该模型的目标是在区间数判断矩阵内寻求一致性水平最好的判断矩阵。魏翠萍等[75]以几何一致性指标为基础，提出了区间数判断矩阵满意一致性的判别方法，并针对符合满意一致性的区间数判断矩阵，构建了两个求解排序权重的数学规划模型。冯向前等[76]提出了三角模糊数互反判断矩阵一致性的定义和模糊权重的确定方法。Xu和Chen[77]提出了区间数偏好矩阵加性一致和乘性一致的定义，并建立了一组线性规划模型用于求解权重区间。Wang和Chen[78]提出了可以应用模糊语言偏好关系构建具有模糊互补性和一致性的判断矩阵，从而消除决策者间的分歧。钱钢等[79]研究了区间数互补判断矩阵的一致性，提出了区间数互补判断矩阵的完全一致性、强一致性、一致性以及满意一致性的定义，并讨论了它们之间的关系。江文奇[80]提出了一种基于扰动矩阵的层次分析法。该方法将判断矩阵分解为一致性矩阵与扰动矩阵，基于扰动矩阵调整的理论分析，得到不一致性调整步骤。徐华等[81]提出了一种同步一致性算法和基于矩阵一致性指标的多判断矩阵合成方法，并在构建模糊判断矩阵的过程中，及时将矩阵的一致性信息反馈给决策者。Sun[82]和Vivien等[83]运用基于三角模糊数的模糊AHP法确定属性权重。
（2）客观赋权法主要包括熵权法、离差最大化法和数学规划法等。
熵是信息不确定性的测度，熵值越小说明其蕴含的信息量越大。若某个属性的熵值越小，则表示该属性在决策时起到的作用越大，应赋予其较大的权重。尤天慧和樊治平[84]针对属性值为区间数的决策矩阵，计算区间数中值的熵权值，并利用误差分析求得熵权误差，从而形成区间值熵权。尤天慧等[85]针对属性值为区间数的决策矩阵，建立了熵最小、最大两个优化模型，分别求解两个模型得到区间熵权。朱方霞和陈华友[86]针对属性值为区间数的决策矩阵，通过计算属性指标与理想方案指标之间的距离，将区间数转化为实数，然后利用熵权法计算属性权重。王美等[87]针对属性值为三角模糊数的决策矩阵，首先利用截集将三角模糊数转化为区间数，其次利用乐观系数将区间数转化为实数，最后根据熵权法计算客观权重。Chen和Li[88]回顾了各种直觉模糊熵的测度方法，然后基于这些直觉模糊熵计算属性权重，并对不同方法所得结果进行了比较。Ye[89]针对属性值区间直觉模糊集的模糊多属性决策问题，运用区间模糊熵方法确定了属性权重。
离差最大化法的基本思路是，如果某个属性下的属性值差异越大，则该属性在决策时所起的作用就越大，就应该赋予其较大的权重；反之，则应该赋予其较小的权重。覃林和沈作奎[90]运用灰色关联系数的差异最大化，构建了确定权重的优化模型。周宏安和刘二阳[91]针对属性值为三角模糊数的模糊多属性决策问题，通过计算三角模糊数之间的距离，构建了离差最大化的权重求解模型。Wu和Chen[92]针对属性值为语言变量的模糊多属性决策问题，通过计算语言变量之间的距离，构建了离差最大化的权重求解模型。Wei[93]针对属性值为直觉模糊集的多属性决策，利用离差最大化原则建立非线性规划模型，求解该模型得到属性权重。Wang和Luo[94]构建了一种包含各属性值关联系数和标准差的非线性规划模型，求解该模型得到属性权重。
数学规划法主要通过建立和求解数学规划模型的方法来确定权重。Li[95]在属性值为直觉模糊变量的条件下，构建了一组目标函数为方案绩效的线性规划模型，并运用线性加权法将线性规划模型合并为一个线性规划模型，最终的属性权重就是此模型的最优解。在已知权重信息为区间效用值、区间模糊偏好关系或区间乘性偏好关系的混合条件下，Xu[96]通过求解所构建目标规划模型来确定属性权重。针对属性权重信息不完备的情况，Li[97]提出了一种平均加权离差最小化的方法来确定属性权重。Wang[98]分析了Li[97]方法的不足，并提出用拉格朗日乘子和海塞矩阵进行修正的观点。徐泽水[99]针对方案偏好信息，以直觉判断矩阵形式给出属性权重信息不能确知的情形，基于得分矩阵和直觉判断矩阵，分别利用转换函数建立一些简洁的线性规划模型，通过求解这些模型获得属性的权重。龚艳冰和梁雪春[100]提出了直觉指数加权平均最大化和最小化的组合模型，通过线性规划模型得到了属性的最优权重。鉴于多属性决策中属性间存在的相互关联性，Sugeno[101]首先提出用模糊测度来表示属性及属性集的重要性。武建章和张强[102]从决策方案的等价值曲线角度分析了决策准则间交互性的直观表述和决策意义，提出了一种基于菱形成对比较法确定2-可加模糊测度的方法。章玲和周德群[103]提出一种基于Choquet积分的层次多属性决策方法。该方法首先通过判断矩阵求解决策属性的Shapley值，然后通过Marichal熵理论计算出属性和属性集的重要程度。高岩等[104]利用Choquet模糊积分作为集结算子，构建了基于属性关联的MOD和SOD模型，通过求解模型获得属性的权重。Shieh等[105]基于Choquet模糊积分的模糊多属性决策问题，提出了一种基于复杂性的属性权重确定方法。Kojadinovic[106]提出了一种基于信息理论函数的非监督系统辨识的方法来计算模糊测度。
（3）主客观综合赋权法是综合考虑主观权重和客观权重的一种方法。徐泽水和达庆利[107]基于组合权重与主观、客观权重下的决策结果的总偏差最小化原则建立了优化模型。陈华友[108]提出了一种基于离差最大化原则的组合赋权方法。周宇峰和魏法杰[109]利用相对熵对各赋权结果的贴近度进行度量，提出了一种组合赋权方法。陈伟和夏建华[110]提出了一种基于离差平方和的最优组合赋权方法。梁彦刚等[111]利用投影寻踪模型建立了包含主观权重的综合权重确定方法。Wang和Lee[112]运用模糊熵和专家偏好相结合的赋权方法来确定属性权重。Wang等[113]提出了一种综合模糊AHP和模糊偏好优化的组合赋权方法。Xia和Xu[114]提出了一种基于直觉模糊熵和corss直觉模糊熵的组合赋权方法。