Chapter 1
第1章 概述
1.1 转动机械转子动力学的发展现状
转子动力学伴随工业大型化兴起并逐渐发展至今，随着技术的不断进步，各应用领域对离心泵机组的水力性能要求越来越高，机组也逐渐向高转速、大功率密度方向发展，在机组振动性能与运行稳定性方面的问题日益突出。设计过程中，对机组水力性能及振动性能预测精度的要求不断提高，对机组的水力优化设计、转动部件结构设计、转子系统优化设计的要求也不断提高。因此，高转速离心泵机组与大跨距多级离心泵机组的转子动力学特性研究、多种载荷作用下的动力学行为研究及转子系统优化设计逐渐成为新的研究热点。
19世纪20年代，英国著名的动力学家H. H. Jeffcott简化了一种挠性转子模型，即Jeffcott转子，并首先解释了这一模型的转子动力学特性，指出在超临界运行时，该转子会产生自动定心现象。这是有关转子动力学观念的第一次变革，这一结论使得旋转机械的功率和使用范围极大地提高，工作转速高于临界转速的涡轮机、压缩机和泵机组被设计和制造出来[1-3]。1965年，Lund首次提出了将滑动轴承和转子结合在一起研究系统稳定性的方法，油膜的动态效应在线性范围内用8个刚度系数和阻尼系数来表征[4]。Tondle在实验台上成功地演示了由于油膜力激励，系统失稳的全过程[5]。70年代初，相关研究分析了略去柯氏力影响下，两端刚性铰支的无阻尼均匀轴在其初始位置受扰后的平衡条件[6]，随后Black和Barrett等针对轴承对转子系统的阻尼作用进行了专门的研究[7-9]。随着工业大型化的不断发展，转子系统在超临界转速区运行时，达到某一转速时会出现强烈的自激振动并造成失稳。80年代，A. Muszynska等通过一系列实验提出了一个简化的轴承动力特性模型，找到了表征油膜运动整体的特征量[10-12]；Smith考察了具有各向异性刚度的弹性轴承对转子稳定性的影响[13]，“转子-轴承系统动力学”相关理论迅速发展。
在转子动力学研究中，数值计算分析占有很重要的地位。无论是讨论转子的动力学特性，分析转子的各种动力学现象，还是进行转子系统的设计，解决旋转机械的有关工程问题等，甚至一些无法用理论分析方法解决的复杂问题，也可以用数值计算的方法得到结果，或通过计算机仿真，揭示某些难以用理论分析方法或实验观察获得的新现象。目前，较完善的计算分析方法主要包括传递矩阵法、有限元法、模态综合法。传递矩阵法最早起源于Holzer用来解决多叶轮转子扭振问题的初参数法，之后由梅克斯泰德和蒲尔将Holzer方程推广用于求解转子的弯曲振动问题。主要特点是矩阵的结束不随系统自由度数的增大而增加，故程序简单，计算方便，特别适用于同轴多叶轮转子的链式结构。与机械阻尼、直接积分法等方法相结合，还可以求解复杂转子系统问题。Riaccti传递矩阵法，保留了传递矩阵法的全部优点，而且在数值上比较稳定，计算精度较高，易于处理具有球铰和刚性支承转子、双转子、畸形转子等复杂转子系统的问题，是一种比较理想的计算方法。国内也有人提出了子结构传递矩阵法，还有一些研究者把传递矩阵法与模态综合法、直接积分法、有限元法及阻抗匹配法相结合，成功地应用于复杂转子系统的动力特性分析中。经过这些改进后无论在计算精度或数值稳定等问题上都获得了满意的效果[14,15]。采用有限元法（Finite Element Method，FEM）分析转子动力学问题始于1970年，起初考虑转子只有移动惯性情况下的弯曲振动问题。其建立在把一个整体连续结构离散成有限个单元的基础上，即用一个等价的计算模型去代替真实的物理模型，这个模型由表示成矩阵形式的已知弹性和惯性的离散单元所组成。依照弹性理论所给定的规则将单元组合在一起，可给出真实结构的静力和动力特性[16]。1976年，H. D. Nelson和J. M. Mcvangh计入了转轴的陀螺效应和转动惯量，导出了Rayleigh梁-轴模型下的有限元刚度矩阵和质量矩阵。H. D. Nelson又推导出了Timoshenko梁-轴模型下的有限元公式[17-20]。对转子系统用有限元模型，使得对大型复杂转子结构系统列写运动方程成为可能，而计算机的发展又使得对大型运动方程求解问题进行数值计算成为可能。随着有限元法的日益完善，出现了很多通用和专用的商业有限元计算分析软件，著名的大型通用软件有几十个，如ANSYS®、NASTRAN®、MARC®、ABAQUS®等，功能强大，设计分析灵活，在国际上都十分流行。由于现代转子动力学分析中，转子动力学问题的复杂性和特殊性，要考虑陀螺效应与支承各向异性，致使阻尼矩阵、刚度矩阵为非对称矩阵，并与转轴的转速有关，因此这些软件都不能直接用来解决转子动力学问题，需经过二次开发后才能用于转子的振动分析计算。比利时SAMTECH公司的SAMCEF POTOR®软件，是专业转子动力学分析有限元软件。其数据库几乎包括了所有旋转机械零部件的理论模型和现有的所有转子动力学计算结果表示方法，并具有瞬态响应分析功能、随机响应分析功能、结构敏感性分析、高速旋转机械转子动力特性分析与转子系统结构修改功能、转子系统非线性特性分析功能、各向异性复合材料的转子动力特性分析功能，可计算包括曲轴、旋翼、齿轮在内的类型广泛的旋转机械。此外CFX-Tascflow®、Numeca-FineTM系列也在不断发展，由于计算机CPU技术的飞速发展和内存空间的大幅提高，加之快速收敛技术、非结构化网格技术、多重网格、隐式残差光滑方法的使用，使得转动和非转动部分联合计算成为可能。
目前模态综合技术已趋于成熟，并在许多领域得到了广泛的应用。其基本思想是把完整的结构肢解成若干子结构，首先对自由度较少的各子结构进行模态分析，分别提取各子结构若干低阶模态，根据各子结构对接面位移协调条件或力平衡条件把各子结构模态形状装配成整体运动方程，导出减缩自由度的综合特征值问题。大型复杂结构动力模型的自由度数极大缩减，同时又能使缩减后的动力模型在工程精度要求范围内替代实际结构系统。在模态综合法中，当子结构采用有限元分析时，它既能保持有限元精度高这一优点，又能十分有效地减少机时和内存占用[21,22]。目前，模态综合技术与有限元以及实验测试技术紧密结合，已成为结构动态设计、分析的重要方法。
随着计算机的计算和存储能力的增强，针对转子系统的耦合方法也在不断发展和完善中。Rao针对负刚度系数支撑的耦合转子稳定性进行了研究，发现在2倍转速的一个狭窄区域系统将变得愈发不稳定[23]。随后，Rao和Sharan又采用影响系数法研究了两个不同滑动轴承支承的多叶轮转子系统动态响应，并分析了轴承阻尼对转子系统动特性的影响[24]。Lie和Bhat则首先用外域法（out-domain method）求解了固定瓦块推力轴承的动特性系数，再将其与滑动轴承支承的转子系统进行耦合，发现推力轴承对耦合转子系统的振动和稳定性具有重要影响[25]。Lin联立连续性方程与Stokes的本构方程得到了改进后的广义雷诺方程，并利用窄轴承逼近得到了其封闭解，进而求解了转子-轴承耦合系统下油膜的耦合应力，并研究了其对油膜静特性和转子系统动特性的影响[26]。截至目前国内外学者针对转子-轴承耦合系统的动态响应和稳定性等动力学特性已经做了大量研究[27-30]。除转子-轴承耦合系统外，转子-密封耦合系统、转子-密封-轴承等其余耦合系统的研究也在开展之中。Kirk和Miller以多质量（multi-mass）柔性转子为对象，研究了高压密封口环对其稳定性的影响，发现高速高压情况下，口环密封会产生一个不稳定的涡动区域[31]。Rajakumar和Sisto通过实验测量了不同涡动偏心下迷宫密封腔内的压力分布情况，并对转子表面周向压力积分得到了密封激励力，发现该密封激励力是转子涡动偏心函数[32]。Huang和Li以无阻尼的Jeffcott转子-迷宫气封为研究对象，采用非稳态三维Navier-Stokes（N-S）求解程序求解了迷宫密封的气体激励力，最后利用四阶显式亚当斯格式求解了转子的动力学响应[33]。Akmetkhanov等人研究了考虑库仑摩擦力高速不平衡转子-浮动密封环耦合振动系统的动力学响应[34]。Jiang等人针对光滑环形密封作用下的多级转子的动力学特性进行了研究，通过矩阵变换将密封动特性系数耦合到转子运动方程中，建立了多级转子-密封系统的耦合运动方程，发现口环密封对转子的临界转速等动特性具有十分重要的作用。但是由于在计算过程中未考虑轴承动特性系数随转速的影响，因此计算结果与实验结果有一定误差[35]。黄浩钦等人分别采用单向弱耦合和双向强耦合两种耦合方法，研究了不同流-固耦合作用下船用离心泵转子应力应变及模态的变化情况[36]。
近些年，与轴承和光滑环形密封的动力学特性求解一样，将CFD软件运用到转子系统的流-固耦合研究中也逐渐流行起来。Li等人将Fluent的动网格技术运用到转子-滑动轴承系统的耦合动力学研究中，利用自编的网格运动程序，求解得到了轴径在光滑和倾斜条件下的瞬态运动轨迹和滑动轴承内部流场特性[37,38]。Liu等人基于N-S方程和流-固耦合技术，运用CFD软件求解了等温条件下转子-轴承系统弹流润滑油膜与转子轴颈动力学间的瞬时相互作用，并采用简化的相变边界条件对润滑油膜内部的空化现象进行了研究[39]。Ye等人采用新的刚体流-固耦合法解决了传统ANSYS软件中流-固耦合网格变形大、网格重生成较困难的情况，研究了轴径在周期不平衡外载荷下涡动中心轨迹和幅值的变化规律[40]。沈海平将Matlab软件计算的滑动轴承动特性系数与CFD软件计算的口环结果和轴系模型相结合，分析了能量回收液力透平转子-轴承-口环密封的动力学特性，但由于口环动特性系数取值为常数，计算模型不能完整反映实际模型[41]。
20世纪80年代起，旋转机械逐渐走向大型化、高速化，转动机械的非线性转子动力学行为逐渐凸显，相关非线性动力学特性研究也逐渐兴起。Saito采用谐波平衡法针对带径向间隙的球轴承Jeffcott转子的非线性不平衡响应进行了研究，计算结果表明转子系统存在四种不同的不平衡响应形式[42]。Brancati等人采用短轴承理论求解了非线性滑动轴承油膜力，研究了恒定垂直载荷下不对称及不平衡刚性转子-滑动轴承系统的非线性运动，并对相应稳定周期解的存在区域进行了划定[43]。Garaner等用多尺度法分析了长轴承和短轴承近似下转子系统线性失稳后的弱非线性运动，研究了平衡点失稳后的次临界和超临界分岔，研究了湍流对同频涡动稳定性的影响。Adams和Abu-Mahfouz用数值积分方法结合FFT变换、轴心轨迹分析和映射，研究了圆柱轴承和可倾瓦轴承支承的转子系统丰富的非线性动力学行为，着力于揭示进入和离开混沌的路径。Adiletta等人采用π-油膜（π-oil）和短轴承理论求解了五自由度条件假设下的刚性不平衡转子-轴承系统的非线性振动特性，并利用实验对理论计算结果进行了验证，发现在低转速情况下两者吻合较好，但是在高转速时由于未考虑油膜的黏温效应及数学模型尚不完善导致两者相差较大[44,45]。Kicinski等人考虑了油膜的黏弹性和传热的影响，采用改进的摄动法求解了滑动轴承的非线性刚度系数和阻尼系数，并提出了相应的转子-轴承非线性振动模型[46]。Harsha等人则利用Hertz弹性接触变形理论得到了考虑滚动轴承内、外滚道表面波度的滚珠与滚道的接触刚度，并采用Newmark-β法和Newton-Raphson法迭代求解了转子-滚动轴承非线性微分方程，得到了不同波瓣数下涡动频率的离散谱信息[47]。Muszynska和Bently两人在大量实验结果的基础上提出了一种可计算大扰动情况下的流体激励力模型，该模型后来也被广泛地运用于密封非线性力的求解中，大大地促进了转子-密封系统的发展[48,49]。Ding等人采用Muszynska的密封力非线性模型研究了对称转子-密封系统的霍普夫分岔行为，并证明了霍普夫分岔是导致完美平衡转子系统临界平衡位置不稳定的原因[50]。Hua等人则将精细积分法用于转子-密封系统的非线性微分运动方程的求解中，发现了转子-密封系统中存在丰富的多周期运动，并得到了转子质量、密封间隙等参数对失稳转速的影响规律[51]。Banakh和Nikiforov针对二质量（two-mass）模型的高速转子-浮环密封系统的碰撞振动响应及系统稳定性进行了研究，认为系统碰撞振动激发的超谐波振荡可能是引起系统次谐波共振和不稳定的原因[52]。Wang等人研究了超临界和亚临界转速下两组典型汽轮机组蒸汽的热力参数对Jeffcott转子系统的非线性动力学响应的影响，并采用李亚普诺夫第一方法分析了系统的稳定性[53]。Zhou等人基于有限元法和拉格朗日方程，研究了包含Muszynska非线性密封流体力和叶轮重力作用下的双叶轮转子-密封系统的非线性运动，并指出较小的不平衡质量和较大的密封长度均有利于双叶轮转子-密封系统的稳定性[54]。陈予恕和李松涛运用Muszynska模型分析了非线性转子-轴承系统的稳定性及失稳后的非线性动力学行为。袁小阳和朱均基于打靶法提出了转子系统周期振动求解及其稳定性分析的数值方法，讨论了不平衡量对圆柱轴承刚性转子系统稳定性的影响。