2.3.1 螺旋槽流域的稳态求解
图2-5所示为一个螺旋槽转子-光滑定子迷宫密封的结构示意图，将螺旋槽的凹陷与凸起部分分别定义为槽与齿，将螺旋槽螺旋线与轴向中心线的夹角称为螺旋槽螺旋角，螺旋密封轴向长度定义为密封长度L，转子半径定义为密封半径R，螺旋槽齿顶与定子间的间隙定义为密封的半径间隙Cl0。图2-6a给出了螺旋槽部分结构示意图，基于Iwatsubo提出的螺旋槽流域稳态流场分析方法，在Oxyz坐标系基础上，建立Oηyζ坐标系，其中η方向垂直于齿槽走向，η方向与齿槽走向一致。螺旋槽沿ζ方向（即齿槽的法向方向）截面如图2-6b所示，将此法向方向的槽与齿宽定义为螺旋槽槽宽Lg及齿宽Ll，如无特殊说明，下文所述槽宽及齿宽均为此法向的宽度。在ζ方向，流体由齿顶间隙向槽内流动，在齿与槽边界处，由于流道的突然扩大，流体产生局部射流，射流角为γ[26,35,36]。螺旋槽流域稳态流动分析将针对流体在ζ及η两个方向单独进行，每个方向又将针对槽内与齿顶内的流动情况进行独立分析。
图2-5 螺旋槽转子-光滑定子迷宫密封结构
由螺旋槽迷宫密封的泵送效应产生的有效压力[88]为
其中，Llg=Ll/（Ll+Lg），K=T/（T+Cl0）。
因此，考虑作用于螺旋槽密封两端的基于全流场数值计算的压力边界Fp-in（Q，n）、Fp-out（Q，n）与螺旋槽泵送效应引起的泵送压力Δppumping的共同作用。稳态流动状态下，作用于螺旋槽迷宫密封两端的有效压力pout可由式（2-31）求得。η及ζ两个方向内的流动压力损失与此有效压力相等，如式（2-3）、式（2-4）所示。
图2-6 螺旋槽迷宫密封水力模型
η方向齿顶流体流动中压力损失与有效压力的关系：
ζ方向槽内流体流动中压力损失与有效压力的关系：
式（2-32）与式（2-33）中，等号右边第一项为流体进入指定流域的进口压力损失项，进口压力损失系数ξηlin=ξηgin=0.5；第二项为流体流出指定流域时的出口压力损失项，出口压力损失系数ξηlout=ξηgout=[1-Cl0/（Cl0+T）]2；第三项为流体在流动中由于壁面摩擦所引起的压力损失项。
参考矩形槽迷宫密封稳态流场求解方法[88]，对Iwatsubo提出的螺旋槽迷宫密封稳态流场ζ方向压力关系进行修正，则ζ方向齿顶、槽内流体流动中压力损失与有效压力的关系：
其中，等式右边第一项为ζ方向上中间N-1组齿顶与槽内组合的齿顶进口压力损失项、齿顶出口压力损失项、齿顶与槽内壁面摩擦压力损失项的和，后三项为流体流入及流出整个齿顶间隙时的压力损失项，由于分析忽略了槽内流体在ζ方向上的速度，所以上式中螺旋部分的进口与出口边界压力损失项均为齿顶进口压力损失与齿顶出口压力损失项。
以上分析中，将齿顶间隙内的流体流动简化为两圆盘间的流体流动，将槽内的流动简化为圆管内的流体流动，分别采用Hirs-Blasius修正摩擦模型及Moody摩擦模型对式（2-32）、式（2-33）及式（2-34）中的壁面切向力进行描述，式中所列摩擦因数分别如式（2-35）、式（2-36）所示。
Hirs-Blasius模型摩擦因数[77]：
Moody模型摩擦因数[99]：
其中，槽的等效半径
，
为壁面绝对粗糙度，齿顶间隙内流体在η与ζ方向的雷诺数分别为Reηl=2Cl0vηl/υ，Reζl=2Cl0vζl/υ；槽内流体在η与ζ方向的雷诺数分别为Reηg=2Cl0vηg/υ，Reζg=2Cl0vζg/υ。
结合式（2-35）及式（2-36）中摩擦因数的定义，对式（2-30）、式（2-31）及式（2-32）进行求解，可分别求得齿顶间隙流域与槽内流域流体在η及ζ两个方向上的稳态平均流动速度vηlm、vηgm及vζgm，将此三项速度进行坐标转换[88]：
齿顶流域与槽内流域稳态轴向及周向平均速度可求得：
由于齿顶与槽内流体流动状态不同，所以对齿顶流域、槽内射流流域与槽内旋流流域泄漏量分别进行计算，三部分泄漏量相加即为整个螺旋槽密封部分泄漏量。其中，稳态流动状态下齿顶间隙流域泄漏流量：
稳态流动状态下槽内射流流域泄漏流量：
稳态流动状态下槽内旋流流域泄漏流量：
综上，稳态流动状态下螺旋槽部分整体泄漏流量：
