2.2 光滑环形密封间隙激励力及其等效动力学特性

2.2.1 小长径比环形密封间隙激励力及其等效动力学特性

目前，长径比小于0.75的光滑型环形密封被广泛应用于叶轮前口环、后口环及级间密封中。此类间隙内流体激励力及其等效动力学特性基于间隙环流线性小扰动模型及Childs发展的有限长求解理论进行求解，即假设该位置动环除自转外，其中心还围绕轴心连线存在一较小涡动。选取间隙内液体环为控制体，根据Bulk-flow模型建立包括轴向动量方程[式（2-2）]、周向动量方程[式（2-3）]及连续性方程[式（2-4）]的无量纲微元控制方程组^[74]。

对该方程组的求解采用摄动法，选取一个无量纲偏心小量ε，将轴向速度、周向速度、压力分布及环形间隙径向厚度用偏心小量ε表示，将各参数的扰动表达式代入原控制方程组，分别得到其一阶及零阶扰动形式。根据环向连续性方程边界条件，将原圆柱坐标系下的运动方程用复数变量进行描述，并分别对轴向、周向方程及连续性方程零阶与一阶方程进行求差运算，可得：

轴向动量方程

周向动量方程

连续性方程

在小扰动模型下，对周向及径向位移、速度以周期性涡动运动方程进行描述，以上控制方程组可整合为一阶微分方程组：

其中，，，。λ、m₀、n₀为Blasius-Hirs摩擦模型中的相关摩擦因数、摩擦因子，具体取值参考文献[74]。

考虑环形间隙进口处由于存在压力损失，其压力关系可定义为

考虑环形间隙出口处存在压力的恢复效应，其压力关系可定义为

对其进行无量纲化处理，，u_z=U_Z/U_Z0可得

因此，u_z0由式（2-13）结合全流场数值计算结果中环形间隙进口、出口压力边界条件[见式（2-11）及式（2-14）]迭代求解；v由式（2-14）结合全流场数值结果中计算环形间隙进口、出口周向速度边界条件[式（2-15）]迭代求解；

采用打靶法对以上控制方程进行求解，介于收敛条件中进口与出口位置压力分布均与轴向速度有关，故在求解中假设轴向速度为基础变量，将进口与出口位置压力值用基础变量表示，并采用压力出口大小为收敛边界条件，设定收敛准则为相邻两时间步内三组未知数求解残差小于10^-8。介于收敛进口与出口位置压力分布均与轴向速度有关，故取u_z10=γ_k，u_θ10=u_θ（Q，n），p₁₀=k·γ_k，。

设，则

原方程组各式，对γ_k求偏导数，可得：

根据文献[74]，将压力分布及轴向速度一阶摄动量代入，将上式代入式（2-11）与式（2-12）中，可得环形间隙进口、出口无量纲压力边界条件：

忽略环形间隙进口处周向速度扰动，即u_θ1（0）=0。

换算后控制方程式（2-16）的边界条件可化为：M₁（0）=1，M₂（0）=0，M₃（0）=k。

设定p₁（L）+（1-ξ_out）u_z1（1）u_z0（1）=F，采用牛顿法对γ_k的初值进行修正以加速收敛，修正方法：。由此，原方程组的求解可化为对初值γ_k的不断改进过程，并验证原边界条件是否满足迭代求解过程。最终迭代结束，将得到环形间隙内流体压力沿Z轴所在位置的分布情况p₁（z）=（f_re（z）+jf_im（z））。根据液体环内压力分布情况，对反作用力进行径向与周向的分解分析，并进行无量纲化处理，如下：

因此，在任意涡动频率下，均可通过所求得的轴向与周向无量纲压力分布函数f_re（z）、f_im（z）沿Z轴的积分求得。在求解过程中，六个动力特性系数组成唯一的一组由两个方程组成的六元一次方程组。对于某一固定工作转速N，可取涡动频率为0、0.5、1.0、1.5、2.0倍的工作转速，组成5组六元一次方程组，每三组方程可求解出一组动特性系数，5组方程排列组合共求解10组动特性系数，求其平均值并输出其计算结果，其求解流程如图2-3所示。该求解方法可实现叶轮口环、级间密封等长径比小于0.75的环形间隙在不同几何尺寸、操作工况下的非定常流体激励力及其动力学特性系数（主刚度系数、附加刚度系数、主阻尼系数、附加阻尼系数及主附加质量系数）的求解，进而完成考虑非定常流体间隙流体激励力的转子系统动力学特性与动力学行为计算。