2.3　卫星轨道基础

2.3.1　轨道力学

如2.1节所述，GNSS用户需要准确的GNSS卫星位置信息来确定自己的位置。因此，了解GNSS轨道的特征十分重要。下面首先介绍作用到卫星上的力，其中最明显的力是地球引力。如果地球是完美的球形并且密度均匀，那么地球引力将表现得地球好像是一个质点。设有一个质量为m的物体位于ECI坐标系中的位置矢量r处。若G是万有引力常数，M是地球的质量，且地球引力集中于一个质点，那么根据牛顿定律，作用到物体上的力F可以表示为

式中，a是物体的加速度，r=|r|。式(2.3)右边的负号表示物体受到的引力指向地心。由于加速度是位置的二阶导数，因此式(2.3)可改写为

式中，μ是万有引力常数与地球质量的乘积。式(2.4)是二体或开普勒卫星运动的表达式，其中唯一作用在卫星上的力来自质点地球。由于地球不是球形的，且质量分布不均，因此式(2.4)不能模拟地球引力导致的真实加速度。如果函数V能够度量地球在空间中任意点的真实引力势，那么式(2.4)改写为

式中，∇为梯度算子，其定义如下：

注意，对于二体运动，V=μ/r：

因此，对于二体运动，当V=µ/r时，式(2.5)等效于式(2.4)。对于真实卫星运动的情形，地球引力势是用球谐级数建模的。在这种表达式中，点P的引力势由该点的球坐标(r, φ', α)定义，其中r=|r|，φ'是点P的地心纬度（即r和xy平面之间的夹角），α是点P的赤经（即在xy平面上测量的x轴和P到xy平面的投影之间的夹角）。球面坐标的几何结构如图2.12所示。注意，这里的地心纬度不同于2.2.5.1节中的大地纬度。

作为位置矢量r=(r, φ', α)的球坐标的函数，地球引力势的球谐级数表示如下：

式中，r是原点到点P的距离，φ'是点P的地心纬度，α是点P的赤经，a是地球的平均赤道半径，Plm是缔合勒让德函数，Clm是l阶m次球谐余弦系数，Slm是l阶m次球谐正弦系数。

注意，式(2.6)的第一项是二体势函数。作用到卫星上的其他力还包括来自太阳和月球的第三体引力。要对第三体引力建模，就要了解太阳和月球在ECI坐标系中的位置随时间的变化。通常用时间多项式函数来提供太阳和月球轨道元素随时间的变化。各种坐标系下的这类多项式，有着许多可供选择的来源和公式；例如，可以参阅文献[17]。作用到卫星上的另一个力是太阳辐射压力（太阳光压），它由太阳光子向卫星传递的动量产生。太阳光压是太阳位置、卫星在垂直于太阳视线方向的平面上的投影面积、卫星的质量和反射率的函数。作用到卫星上的力还包括排气（即卫星结构中残留气体的缓慢释放）、地球潮汐变化和轨道机动。要非常精确地对卫星轨道建模，就要对地球引力场的所有这些扰动建模。在本书中，我们将所有这些扰动加速度合并到ad项中，因此运动方程可以写为

表示卫星轨道参数的方法有多种。一种显而易见的表示是定义某个参考时刻t0的位置矢量r0=r(t0)和速度矢量v0=v(t0)。给出这些初始条件后，就可以解运动方程(2.7)，求出任何其他时刻t的位置矢量r(t)和速度矢量v(t)。只有二体运动方程(2.4)有解析解，并且即使是在这种简化的情况下，也不能得到完全闭合的解。要从全摄动运动方程(2.7)计算轨道参数，需要进行数值积分。

尽管包括GNSS在内的许多应用都要求全扰动运动方程提供的精度，但轨道参数通常是根据二体问题的解定义的。可以证明，二体运动方程(2.4)有6个积分常数。只要给出6个运动积分常数和一个初始时刻，便可由初始条件求得卫星在二体轨道上任何时刻的位置矢量和速度矢量。

表示和求解二体问题最常用（也最古老）的方法之一是，使用一组6个积分或运动常数——开普勒轨道元素。这些开普勒轨道元素取决于如下事实：对时刻t0的任何初始条件r0和v0，式(2.4)的解（即轨道）是平面圆锥曲线。如图2.13所示，前3个开普勒轨道元素定义轨道的形状。图2.13中显示了一个椭圆轨道，其半长轴为a，偏心率为e（双曲线和抛物线轨迹也是可能的，但与GNSS这样的地球轨道卫星不相关）。对于椭圆轨道，偏心率e与半长轴a和半短轴b的关系为

在图2.13中，椭圆轨道的一个焦点F对应于地球的质心（也是ECI或ECEF坐标系的原点）。卫星位于轨道上的某个基准点A处的时刻t0称为历元。卫星与地心最近的点P称为近地点，卫星过近地点时刻τ是另一个开普勒轨道参数。总之，定义椭圆轨道形状和相对于近地点的时刻的3个开普勒轨道元素如下：椭圆的半长轴a，椭圆的偏心率e，过近地点时刻τ。

虽然二体运动开普勒积分使用过近地点时刻作为运动常数之一，但GNSS应用中使用的是一个等效参数——历元的平近点角。平近点角是相对于历元真近点角而言的一个角，真近点角在图2.13中显示为角v。精确定义真近点角后，就可给出其到平近点角的变换，并说明它等效于过近地点时刻。

真近点角是在轨道面上从近地点方向逆时针到卫星方向测量的角度。在图2.13中，历元的真近点角是v=∠PFA。由二体运动的开普勒定律可知，对非圆轨道来说，真近点角不随时间线性变化。由于我们希望定义一个随时间线性变化的参数，所以通过两个定义将真近点角变换为随时间线性变化的平近点角。第一个变换产生偏近点角，如图2.14所示，图中还显示了真近点角。几何上，偏近点角由真近点角构建：首先，围绕椭圆轨道画一个外切圆；接着，从轨道上的点A向轨道的长轴画一条垂线，并将这条垂线向上延伸，直到它与外接圆相交于点B；偏近点角是在圆心O位置从近地点方向逆时针到线段OB测量的角度。换句话说，E=∠POB。偏近点角和真近点角之间的有用解析关系为[17]

算出偏近点角后，平近点角就可由开普勒方程给出如下：

如前所述，从真近点角变换为平近点角之所以重要，是因为平近点角随时间线性变化。这一线性关系是

式中，M0是历元t0的平近点角，M是时刻t的平近点角。由图2.13和图2.14及式(2.8)和式(2.9)可知，在过近地点时刻，M=E=v=0。因此，令t=τ并将其代入式(2.10)，就可得到平近点角与过近地点时刻之间的转换关系：

根据式(2.11)，便可使用历元t0的平近点角M0而非过近地点时刻τ来表征二体轨道。

GNSS系统常用的另一个轨道参数是平均角速度，它定义为平近点角的时间导数，记为n。由于二体轨道的平近点角被构建成随时间线性变化，所以平均角速度是一个常量。由式(2.10)可得平均角速度为

根据这一定义，式(2.10)可改写为M-M0=n(t-t0)。

在二体运动中，也可使用平均角速度来表示卫星的轨道周期P。由于平均角速度是平近点角的变化率（常数），因此轨道周期是在一个轨道周期内平近点角张开的角度与平均角速度之比。可以证明，一个轨道周期内平近点角经过的角度是2π弧度，因此轨道周期计算为

图2.15中显示了另外3个开普勒轨道元素，它们定义了椭圆轨道的方向。图2.15中的坐标系既可以称为ECI坐标系，又称ECEF坐标系，其中xy平面是地球的赤道面。下面3个开普勒轨道元素定义轨道在ECEF坐标系中的方向：轨道倾角i，升交点经度Ω，近地点幅角ω。

倾角是地球赤道面与卫星轨道面之间的二面角。图2.15中的其他两个开普勒轨道元素是相对于升交点定义的。升交点是卫星轨道以+z方向的速度分量（即从南半球到北半球）穿越赤道面的点。定义+x轴与升交点方向之间的夹角的轨道元素称为升交点赤经，缩写为RAAN。在ECEF坐标系中，由于+x轴方向固定为本初子午线方向（0°经度），若使用ECEF坐标系，则升交点赤经实际上就是升交点的地理经度Ω。最后一个轨道元素是近地点幅角ω，即从升交点到轨道近地点方向的角度。注意，Ω是在赤道面内测量的，而ω是在轨道面内测量的。

对于全扰动运动方程(2.7)，仍然可以使用二体运动的6个积分参数来表征轨道，但这6个参数不再为常数。我们使用一个与二体轨道参数关联的参考时间来表征扰动作用下的卫星运动轨道。在准确的参考时刻，参考轨道参数将描述卫星的真实位置和速度矢量，但在超过（或落后）参考时刻时，卫星的真实位置和速度将逐渐偏离由这6个二体积分参数描述的位置和速度。

2.3.2　星座设计

卫星星座（即完成总体任务的一组卫星）由星座中各颗卫星的轨道参数集表征。所用的轨道参数通常是2.3.1节中定义的开普勒轨道元素。卫星星座的设计是指选择使得星座目标函数最优的轨道参数（通常以最小的成本即最少的卫星数量来最大化某组性能参数）。卫星星座的设计一直是诸多研究和出版物的主题，下面对某些内容进行总结，目的是给出卫星星座设计的一般概述，总结卫星导航星座设计的主要考虑因素，为全球（即核心）星座（BeiDou、Galileo、GLONASS和GPS）的选择提供一些建议。

2.3.2.1　星座设计概述

考虑到星座中卫星轨道参数的无数组合，对轨道进行分类是有帮助的。轨道的第一种分类方式是按照偏心率分类：

• 圆轨道的偏心率是零（或接近于零）。

• 高椭圆轨道（HEO）的偏心率较大（通常e>0.6）。

这里只讨论圆轨道。

轨道的第二种分类方式是按照高度分类：

• 地球同步轨道（GEO）的周期等于恒星日的持续时间[将P=23h56min4.1s代入式(2.12)可得GEO轨道的半长轴a=42164.17km，或者轨道高度为35786km]。

• 低地球轨道（LEO）是一类高度通常小于1500km的轨道。

• 中地球轨道（MEO）是一类高度低于GEO和高于LEO的轨道，大多数实例在10000～25000km的高度范围内。

• 超同步轨道是指高度高于GEO（即大于35786km）的轨道。

注意，GEO定义的轨道高度可使轨道周期等于地球在惯性空间中的自转周期（恒星日）。对地静止轨道是指具有零倾角和零偏心率的GEO轨道。在这种特殊情形下，对地静止轨道卫星相对于地球上的观测者来说没有明显的运动，因为（在ECEF坐标系中）从观测者到卫星的相对位置矢量不随时间变化。实际上，由于轨道扰动，卫星从不会待在对地静止轨道上；因此，对地静止轨道卫星相对地球上的用户甚至有一些微小的残余运动。对地静止GEO卫星最常用于卫星通信。然而，有时也可以倾斜GEO轨道来覆盖地球的两极，但代价是卫星相对地球的残余运动更大。如后所述，中国的北斗星座和日本QZSS专门使用了这种倾斜的GEO卫星。

轨道的第三种分类方式是按照倾角分类：

• 赤道轨道，其倾角为零；因此，赤道轨道中的卫星在地球的赤道面上运行。

• 极轨道，其倾角为90°；因此，极轨道中的卫星经过（或靠近）地球的自转轴。

• 顺行轨道，其倾角非零，升交点赤经小于180°（地面轨迹一般是自西南向东北）。

• 逆行轨道，其倾角非零，升交点赤经大于180°（地面轨迹一般是自西北向东南）。

顺行轨道和逆行轨道统称倾斜轨道。

此外，还有专门的轨道类型，它们以特定方式组合轨道参数来实现独特的轨道特性。例子之一是太阳同步轨道，这种轨道用于许多光学地球观测卫星任务。太阳同步轨道是近极轨道，卫星过赤道面的当地时间（即地球上的星下点）在每次轨道通过时都相同。这样，卫星运动相对于太阳就是同步的，这是选择特定的倾角作为所需轨道高度的函数实现的。

为特定应用选择某类轨道是根据应用需求进行的。例如，在许多宽带卫星通信应用（如直接广播视频或高速率数据中继）中，希望有一个几乎对地静止的轨道，以便保持从用户到卫星的固定视线，避免用户配备昂贵的可控或相控阵天线。然而，对需要较低数据延迟的较低带宽移动卫星业务应用，要优先使用LEO或MEO卫星来缩短从用户到卫星的距离。对卫星导航应用，在全球范围内通常要求有多颗（至少4颗）卫星可见。

除了轨道几何结构，配置卫星星座时还有几个需要考虑的重要因素。一是要将轨道参数维持在某个指定的范围内。这种轨道维持称为轨位保持，目的是在卫星寿命期间让需要的机动频度和幅度降至最低。由于卫星上燃料的使用寿命有限，因此所有应用都要进行轨位保持，卫星导航应用尤其如此，因为轨位保持机动后，卫星对用户不是即时可用的，需要等待轨道和时钟参数稳定下来且更新星历电文后，才可使用卫星。因此，频繁的“轨位保持”机动既会缩短卫星的使用寿命，又会降低星座对用户的总体可用性。有些轨道具有谐振效应，由于式(2.6)的谐波效应，卫星轨道的扰动增加。这样的轨道不可取，因为需要更多的“轨位保持”机动来维持标称轨道。

星座设计的另一个考虑因素是由范·艾伦辐射带引起的辐射环境，在这种环境下，带电粒子会被地球磁场俘获。由俘获的质子和电子通量来度量的辐射环境，是地表上方的高度及相对于赤道的平面外角度的函数。1000km以下高度的LEO卫星在相对温和的辐射环境中运行，15000～25000km高度的MEO卫星每次穿越赤道面时都会通过辐射环境。高辐射环境以多种方式驱动卫星设计，如电子元件需求、安装冗余设备及从组件到航天器级别的全程屏蔽。这些设计影响因素会使得卫星的质量和成本增加。

2.3.2.2　倾斜圆轨道

卫星星座的理论研究通常关注轨道类型的某些具体子集。例如，Walker广泛研究了倾斜圆轨道[18]，Rider深入研究了包含全球覆盖和区域覆盖的倾斜圆轨道[19]，Adams和Rider研究了圆极轨道[20]。这些研究都侧重于确定需要最少卫星数量（即从地球上某个区域观测到的高于某个最小仰角的卫星数量）来提供特定覆盖范围的轨道集合。这些研究为给定轨道确定最优的轨道参数，使得实现期望覆盖范围所需的卫星数量最少。星座中的卫星被划分到各个轨道面上，其中的轨道面定义为具有相同升交点赤经的一组轨道（卫星因此在ECI坐标系下的同一平面中运行）。在最通用的方法中，Walker所研究星座中的每颗卫星都位于不同的轨道面上，或者每个轨道面上有多颗卫星。Rider的工作假定每个轨道面上都有多颗卫星。在每种情况下，研究的重点都是找到轨道参数的特定组合（有多少颗卫星、在多少个轨道面上、采用何种确切的几何配置和相位），尽量减少获得特定覆盖范围所需的卫星数量。通常，这可由每个轨道面上有一颗卫星的Walker星座实现。然而，除了尽量减少星座中的卫星数量，还有其他考虑因素。例如，由于一个星座通常需要在轨冗余备用卫星，并且改变轨道面的机动会消耗大量的燃料，所以我们通常希望选择每个轨道面上有多颗卫星的星座来进行次优化，但这需要额外增加几颗卫星来实现给定的覆盖范围。

文献[18-20]中的一个重要研究成果是，实现预期覆盖范围所需的卫星数量会随着所选轨道高度的降低而大大增加。这一成果如图2.16所示，实现单次全球覆盖（0°仰角以上）所需的卫星数量是轨道高度的函数，详见Rider[19]。一般来说，轨道高度每降低50%，所需的卫星数量就会增加75%。如下所述，这一点对星座设计中卫星复杂度与轨道高度的折中很重要。

文献[18-20]中的理论成果的实际应用包括：铱LEO卫星移动通信星座，其最初计划是一个Adams/Rider 77颗卫星极轨道星座，最终成为一个66颗卫星极轨道星座；全球星（Globalstar）LEO卫星移动通信星座，其最初计划是一个由8个轨道面组成的Walker 48颗卫星倾斜圆轨道星座；OneWeb星座，它通过648颗极轨道卫星提供互联网服务。此外，全球导航系统（GPS、GLONASS、Galileo、BeiDou）的星座都采用了文献[18, 19]中给出的原理。

1. Rider星座

作为使用这些星座设计研究成果的一个例子，下面考虑Rider关于倾斜圆轨道的研究成果[19]。Rider研究了一类等高度和等倾角的圆轨道。Rider将星座分为P个轨道面，每个轨道面上有S颗卫星，并且假设轨道面之间是等相位的（即轨道面1中的卫星1与轨道面2中的卫星1在同一时刻通过其升交点）。图2.17中显示了有2个轨道面、每个轨道面上有3颗等间距卫星（P=2, S=3）时，轨道面之间的等相位和不等相位。轨道面围绕赤道面等间隔分布，以便轨道面之间的升交点赤经相差360°/P，并且每个轨道面中的卫星是等间隔的。

Rider[19]给出了如下定义：α是仰角；Re是地球的球半径（这些研究都假设地球是一个球体）；h是所研究星座的轨道高度。

于是，如图2.18所示，地心角θ与这些参数的关系是

根据式(2.13)，若已知轨道高度h和最小仰角α，则可算得对应的地心角θ。然后，Rider定义了一个半街宽参数c，它与地心角θ和每个轨道面的卫星数量S有关，如下所示：

最后，对各种所需的地球覆盖区域（全球、中纬度、赤道、极地）和各种覆盖范围（最少可见卫星数量），Rider给出了轨道倾角i、半街宽c和轨道面数P的最佳组合的许多表格。

2. Walker星座

事实上，与Rider星座相比，更通用的Walker星座[18]可用更少的卫星提供相同的覆盖范围[19]。类似于Rider星座，Walker星座也使用等高度、等倾角的倾斜圆轨道，轨道面围绕赤道面等间隔分布，轨道面内的各颗卫星也是等间隔的。然而，Walker星座允许每个轨道面内的卫星数量与各轨道面之间的相位之间存在更一般的关系。为此，Walker引入了T/P/F符号系统，其中T是星座中的卫星总数，P是轨道面数，F是确定相邻轨道面之间相位关系的相位偏移因子（轨道面之间相位概念的说明见图2.17）。设每个平面内的卫星数量为S，显然有T=SP。F是一个整数，满足0≤F≤P-1，每个相邻轨道面中第一颗卫星的平近点角偏移是360°F/P。也就是说，当轨道面2中的第一颗卫星到达升交点时，轨道面1中的第一颗卫星已在轨道面中运行了(360°F/P)的轨道距离。

在每个轨道面1颗卫星的条件下，可以找到一个F值，使得对已知的覆盖范围，Walker星座所需的卫星数量比Rider星座所需的卫星数量少。然而，这种每个轨道面内只有1颗卫星的Walker星座的抗故障能力不如每个轨道面内有多颗卫星的星座，因为每个轨道面1颗卫星不可能做到在轨备份。这样的备份场景要求将卫星从备用轨道面调整到故障卫星的轨道面，并且执行这种轨道机动的燃料成本极高。例如，单次更改轨道面所需的燃料约为目前Galileo卫星寿命期内机动所需燃料的30倍。因为卫星只能在一个轨道面内重新定位，所以与每个轨道面只有1颗卫星的Walker星座相比，每个轨道面有多颗卫星的Rider星座或Walker星座的应用范围更广。

作为使用Walker和Rider的研究成果（文献[18]和[19]）来设计星座的特例，下面考虑一个MEO卫星星座，它在最小5°仰角以上提供4重（4颗卫星）全球连续覆盖。在这个例子中，目的是尽量减少在Rider轨道内提供这种覆盖范围的卫星数量。具体来说，考虑h=20182km（对应约12小时的轨道周期）的情况。已知α=5°，由式(2.13)计算得到地心角θ为71.2°。

文献[19]中的表4的结论表明，对于6个轨道面，最优倾角为55°，c=44.92°。现在，我们有足够的信息来求解方程(2.14)中的S。解为S=2.9，由于卫星数量只能是整数，因此要把每个轨道面的卫星数量向上取整为3。因此，Rider的工作表明，使用6个轨道面，每个轨道面内有3颗卫星（共18颗卫星），可在最低5°仰角之上提供最少4颗卫星的连续全球覆盖。若使用高度相同的5个轨道面，且覆盖范围相同，则Rider的结论是c=55.08°，S=3.2，每个轨道面内的卫星数量向上取整为4。在这种情况下，共需20颗卫星来提供相同的覆盖范围。同样，使用7个轨道面时，每个轨道面内需要3颗卫星，共需21颗卫星。因此，提供5°仰角以上全球4星覆盖的最优Rider星座配置为6×3星座（P=6, S=3），共需18颗卫星。事实上，20世纪80年代早期，美国空军寻找过更小的GPS星座替代方案，包括共18颗卫星的不同配置[21]。注意，对导航应用而言，考虑的因素不止可见卫星总数，因此修改Walker或Rider星座更为可取，例如在每个轨道面上不等间隔地排列卫星。下一节中将详细探讨这些额外的考虑因素。

2.3.2.3　卫星导航星座设计考虑因素

卫星导航与卫星通信系统相比，对星座有不同的几何限制，其中最明显的限制是需要多重覆盖（即导航应用需要更多的卫星同时可见）。如2.5.2节所述，GNSS导航解算最少需要4颗可见卫星，才能提供确定用户三维位置和时间所需的最少4个观测量。因此，GNSS星座的一个主要限制是它必须一直提供至少4重覆盖。为了可靠地保证这种覆盖范围，标称GNSS星座被设计为提供4重以上的覆盖，以便即使有一颗卫星出现故障，也能维持至少4颗卫星可见。此外，多于4重覆盖可以帮助用户设备自行判断是否有GNSS卫星发生信号或定时异常，从而在导航解算中排除这类卫星（这一过程称为完好性监测），详见11.4节。因此，对GNSS星座覆盖的实际限制条件是在5°仰角之上至少提供6重覆盖。

卫星导航星座设计主要有如下限制条件和考虑因素。

1. 覆盖范围应是全球的。

2. 任何时候任何用户位置至少需要6颗卫星可见。

3. 要提供最好的导航精度，星座需要有良好的几何特性，这就要求从地球上任何地方的用户来看，卫星在方位角和仰角上是分散的（几何特性对导航精度的影响见11.2节）。

4. 星座应对单颗卫星故障具有鲁棒性。

5. 星座必须可维护，即在星座内重新部署一颗卫星的代价必须相对较低。

6. 轨位保持需求应该是易于管理的。换言之，要尽量减少将卫星维持在所需轨道参数范围内的机动频度和幅度。

7. 必须选择轨道高度，在有效载荷大小和复杂性与达到最小6重覆盖所需星座规模之间折中。轨道高度越高，实现6重覆盖所需的卫星数量越少，但是有效载荷和卫星越大、越复杂。例如，要让地面用户达到一定的最小接收信号强度，需要增大发射机功率和天线尺寸，而这会在较高轨道上增大有效载荷的复杂性。