043 1256年 西洋棋盘上的小麦

伊本·海利坎（Abu-l ‘Abbas Ahmad ibn Khallikan， 1211—1282）但丁（Dante Alighieri,1265—1321）

著名的希萨棋盘问题展现了几何级数的特性，这张图画出了一个浓缩版；图中饥饿的甲虫顺着1+2+4+8+16+…这样的几何级数算下去的话，总共可以吃到几颗糖？

发散的调和级数（约1350年），绕地球一圈的彩带（1702年）及魔方（1974年）

希萨的棋盘问题在数学史上有着显著地位，因为已经长达好几世纪这个问题被用来展现几何成长或几何级数的特质，同时也是最早一个提到西洋棋的数学谜题。1256 年，当时的阿拉伯学者伊本·海利坎，很可能是第一位以伟大希萨（Grand Vizier Sissa ben Dahir）故事为题的人，题目中提到印度国王席尔汉（Shirham）询问希萨想要什么样的礼物作为发明西洋棋的报酬。

希萨恭敬地向国王说：“陛下，我希望您能在棋盘上的第一格赐予我一颗小麦，在第二格赐予我两颗小麦，在第三格赐予我四颗小麦，在第四格赐予我八颗小麦，以此类推到第六十四格。”

“啊？这就是你想要的报酬？希萨，你疯了不成？”大吃一惊的国王高声询问。

想必当时这位国王还不知道希萨将获得多少颗小麦作为报酬！想要知道的话，就得算出一条几何级数的前 64 项：1+2+22+…+263=264-1，这个天文数字大到足足有18 446 744 073 709 551 615颗小麦那么多！

但丁可能听过类似题目的不同版本，因为他在神曲第三部《天堂》中，也引用类似的概念描述天堂变幻多端的光线：“不同光线的数量之多，累计起来甚至快过在西洋棋盘上加倍的速度。”盖伯格（Jan Gullberg）有过这样的比喻：“100颗小麦大约相当于一立方公分大小，所以（希萨的）小麦总量大约是……200立方公里，如果装进20亿辆铁路货运用的车厢，则这辆列车的长度将可以绕行地球一千次。”■