第二章
数的意义
一
有必要一上来先关注几个基本术语，因为在这本书的运用中，这些术语带有严格的、且在某些情况下新奇的含意。尽管这些术语的形而上内涵会在接下来的论证过程中逐步变得明朗，但还是应当从一开始就对附于其上的确切含义给予清晰的说明，以免引起误解。
在“存在”（being）与“生成”（becoming）[1]之间所做的流行区分——在哲学中同样盛行——相较于其所要表达的东西而言，似乎忽视了本质的一点。一种无有终止的生成——“行动”“现实性”——通常也被看作是一种状态（例如在物理学的“匀速”和“运动状态”这样的概念中，在空气动力学理论的基本假设中），因此而被归于“存在”的范畴。另一方面，我们事实上是通过意识并在意识中来得出结果的，从那些结果中，我们可以用歌德的方法区分出最后的两个要素，即“生成”（becoming，das Werden）和“既成”（the become，das Gewordne）。在所有情形中，尽管具有人类特性的原子远非我们的抽象概念的力量所能把握，但是在这一对立中真正明晰的和确定的情感——根本的和弥散于整个意识的情感——乃是我们所能触及的最基本的东西。由此，必然可以得出这样的结论：“既成”永远是建立在“生成”之上的，而不是反过来。
我要用“固有的”（proper，das Eigne）和“外来的”（alien，das Fremde）来对那两个基本的意识事实做进一步的区分，对于所有处于清醒状态（而不是睡梦状态）的人来说，这些事实的确立乃是通过一种直接的内在确定性，而不是通过更为精确的定义的必然性或可能性。被称之为“外来的”要素总是以某种方式与“知觉”这个词所表达的基本事实相关联，例如外部世界、有感觉的生命。伟大的思想家倾其全力构建意象，为的是在半直观的二分，如“现象与物自体”“意志之世界与表象之世界”“自我与非我”[2]等的帮助下尽可能严格地表达这种关系，虽则人类的精确认知能力其实不足以胜任这一任务。
类似地，“固有的”要素则关涉着我们视作情感的基本事实，亦即关涉着我们的内在生命，其直接的和不变的方面亦是对抽象思维的方法所进行的分析的蔑视。
我还要区分“心灵”与“世界”。这一对立的存在与人类纯粹的醒觉意识的事实是同一的。这一对立所显示的是清晰性与敏锐性的程度差异，因此也显示了意识、精神和生命的等级差异。这些等级既包括感觉知识——不够敏锐，但时常又因为内在之光而四处弥散，它是原始人和儿童的典型特征（同时也是宗教与艺术的启示性时刻的典型特征，这一启示性时刻在一种文化逐渐变得衰老之后就越来越少出现）——也包括极度清醒的和推理式的敏锐，例如我们在康德和拿破仑的思维中所看到的，对于他们两人而言，心灵和世界的区别已经变成了主体和客体的区别。这一原初的意识结构，作为直接的内在知识的一种事实，是经不起更深一层的概念细分的。实际上，除了在字面上和或多或少人为的层面上，这两个因素根本也是不可区分的，因为它们总是关联在一起的，总是相互交织的，且总是作为一个单位、一个总体来自身呈现的。天生的唯心主义者和天生的实在论者在认识论方面的出发点是相同的，那就是，他们都假定：心灵是相对于世界而言的（或者说世界是相对于心灵而言的，事实也确乎如此），如同基础是相对于建造物、原初是相对于派生、“原因”是相对于“结果”来说的一样。可这一假定在纯粹的意识事实中根本没有基础。并且当一种哲学体系把重点放在这一方或那一方的时候，它由此只不过是使我们获知了那个哲学家的个人喜好，获知了一个只具有传记意义的事实。
因而，通过在结构上把醒觉意识看作是对立双方的一种张力关系，并进而将“生成过程”和“既成之物”的概念运用于它，我们发现，生命这个词具有一个完全确定的意义，就是，它与“生成”的意义是紧密地联结在一起的。我们可以把生成物和既成物描述为一种形式，在那里，生命的事实与结果在醒觉意识中分别地存在着。对于一个处在醒觉状态的人而言，他的固有的生命不断地和持久地在充实自己、完成自己，并通过生成的要素在其意识中呈现出来——这一事实，我们可称之为“当下”（the present）——它具有“方向”（Direction）的神秘特性，在所有高级语言中，人们企图借那个谜一样的字眼“时间”来说明“方向”的意义，来——徒劳地——使之理性化。由上面的论述必然可知，在既成物（固定物）与死亡之间，存在一种根本性的关联。
由此，如果我们把心灵——即那被感觉到而不是被理性地描画出来的心灵——名之为可能性，而另一方面把世界名之为现实性[3]（这些表述的含义应当不会为人的内在感官所误解），我们便可把生命看作是可能性的实现在其中得以完成的形式。相对于方向的特性而言，我们可以称可能性是未来，称既成现实为过去。至于“实现过程”本身——它是生命的重心，是生命的意义中心——则可称之为当下。“心灵”是有待完成的东西，“世界”是已经完成的东西，“生命”则是正在完成的东西。我们也可用这种方式对生命给出类似的其他表述，如瞬时、绵延、发展、生命意义、使命、视界、目标、生命的丰盈与空虚、确定的意义等，这一切对于我们接下来的论述，尤其对于我们认识历史现象，将是必需的。
最后，正如读者已经看到的，在此涉及在一个十分确定且迄今为止还不常见的意义上运用的历史和自然这两个概念。这些字眼包含着把知识的总体——既包括生成过程，也包括既成物；既包括生命，也包括曾经的活物——理解和领会为一种同源的、精神化的、井然有序的世界图象的诸种可能模式，亦即依据生成与既成、方向（“时间”）与广延（“空间”）何者为主导因素来从某一不可分割的印象集合中形成世界图象的这样或那样的方式。这不是一个因素替代另一个因素的问题。我们把握那反映和证实我们的固有存在的“外部世界”的可能方式在数量上是无限多的，并且是极其多样的，而纯粹有机的世界观（这一常用术语在此是在严格的字面意义上使用的[4]）和纯粹机械的世界观只是其中的两个极端方式。原始人（假如我们能够想象他们的醒觉意识）和儿童（如同我们所记得的）都不能够充分地认识或把握这些可能性。这一高级的世界意识的一个条件便是语言的拥有，语言在此不单纯指人的声音，而是一种文化语言（culture-language），此种语言对于原始人乃是一种非存在，对于儿童固然是一种存在，但却是不可理解的。换言之，这两者对于世界都不拥有任何明确的和清晰的概念。他们对于历史和自然都只有一些模糊的印象，而没有任何实在的知识，他们与这些东西的整体的联系太过紧密。他们根本没有文化。[5]
在此，“文化”这个重要的概念被赋予了具有最高价值的肯定性意义，我们此后将在这一意义上来使用它。与我们选择以可能性和现实性来区分心灵和世界一样，现在，我们也可用这一方式来区分可能的文化和现实的文化，例如作为（一般的或个体的）存在之观念的文化和作为那一观念之实体（body）的文化，亦即作为那一观念可见的、实在的和可理解的表现之总体的文化——如行动和意见、宗教和国家、艺术和科学、民族和城市、经济形式和社会形式，还有语言、法律、习俗、性格、面部轮廓和服装。与生命和生成息息相关的高级历史，乃是可能的文化的实现。[6]
我们不要忘了补充一点：文化意义的这些根本决定因素基本上是不能用具体论证、定义或证明来沟通的，而只能通过感受、体验和直观在其更深刻的层次上来获得。在作为生命的体验与作为学问的经验之间，在由各种各样的直观——诸如启示、灵感、艺术家的慧眼、生命体验、“不能自已”的力量（即歌德所谓的“感同身受的幻想”）——所产生的直接确定性与理性程序和技术实验的产物之间，存在着一种几乎未被理解的区别。
前者的传达是借助类比、图象、象征等手段，后者则是借助公式、定律、图式等手段。既成是学问所经验的——其实，正如我们将看到的，已成之物对于人类心智而言是与已完成的认知行动同一的；反之，生成只能是活生生的生命所经验到的，是以深刻的、难以言传的理解力所感受到的。我们所谓的“人的知识”正是以此为基础的；事实上，对历史的理解可算是人的一种最高级的知识。那是一种能洞察陌生的心灵深处的眼光——决不能把它归于《纯粹理性批判》所考察的认知方法。不过，历史图象越是纯粹，就越是难以为其他眼光所理解。机械论的纯粹自然图象，例如牛顿和康德的世界，是在定律和方程式中被认知、被把握和被解析的，并最终被简约为体系；有机论的纯粹历史图象，例如普罗提诺、但丁和乔尔丹诺·布鲁诺的世界，是直觉地看到的、内在地体验到的，是作为一种形式或象征被把握的，并最终被交付给诗人和艺术家的概念。歌德的“活生生的自然”就是一种历史的世界图象。[7]
二
为了说明心灵力图在其外部世界的图象中实现自身的方法——亦即，为了说明文化在“既成”状态中能多大程度上表现或描绘人类生存的观念——我选择了“数”（number）[8]这一所有数学赖以确立的基本要素。我做这样的选择，是因为数学——虽然只有极少数的人能够理解其丰富的深度——在人类心灵的创造活动中具有十分特殊的地位。数学是最严密的科学，就如同逻辑一样，但它比逻辑更易于为人理解，也更为丰富；数学是真正的艺术，是可与雕刻和音乐并驾齐驱的，因为它也需要灵感的指导，而且是在伟大的形式传统下发展起来的；最后，数学还是最高级的形而上学，如同柏拉图尤其莱布尼茨告诉我们的。迄今为止的每一种哲学的发展，皆伴随有属于此哲学的数学。数是因果必然性的象征。和上帝的概念一样，数包含有作为自然之世界的终极意义。因此，数字的存在可以说是一种奥秘，每一文化的宗教思想都留有数的印记。[9]
如同所有的生成过程皆有方向的原始特性（不可逆性）一样，所有的既成之物皆有广延的特性。但是，“方向”和“广延”这两个词似乎还难以让人满意，因为在它们之间只能做出一种人为的区分。所有既成之物的真正秘密——事实上，它即是（在空间和物质中）延展的事物——就体现在与编年学的数相对立的数学的数中。[10]数学的数，在其本质中就蕴含有机械区隔（mechanical demarcation）的概念，就此方面而言，数类似于文字（word），因为文字正是以其包容与指谓的事实来区隔世界印象的。事实上，数与文字两者最深处的奥秘在此皆是只可意会、不可言传的。但是，数学家所操作的实际数字，包括图形、公式、符号、图表，简而言之，数学家借以准确地思考、言说或书写的数字符号，皆如准确地运用的文字一样，自一开始便是这些深层奥秘的象征，是内在之眼和外在之眼皆可以想象、可以沟通和可以领会的某种东西，可以作为区隔的代表来予以接受。数的起源类似于神话的起源。原始人把不确定的自然印象（用我们的术语说，“外来的”印象）提升为神灵或神秘（numina），同时又用一个限定它们的名称来捕捉和框定它们。数也是这样的一种标识和捕捉自然印象的东西，正是借助于名称和数，人类的理解力终于可以制服世界了。根本上说，数学的数字语言和口语的语法在结构上是一样的。逻辑一直就是一种数学，反之亦然。因此，在人类心智恰当地运用数学数字的所有行为——度量、计算、绘图、测重、排列、分割[11]——中，人们也在努力用文字来界定延展之物，亦即以证明、结论、定理和体系的形式来说明之；并且，也只有通过此等行为（可能或多或少地是无意间的），醒觉的人类才开始能够运用数——规范地——来描绘对象和特性、关系和差异、统一性和多样性等，简言之，描绘他觉得必要的和不可移易的、他称之为“自然”和他所“认知”的世界图象的结构。自然是可以用数来表达的，历史则相反，它是与数学无关的事物的集合——因此我们有自然定律的数学确定性，有伽利略那无比正确的名言：自然是“用数学语言写成的”；还有康德所强调的这样一个事实：精确的自然科学所能到达的限度，即是应用数学之可能性所允许的限度。因此，数作为已完成的区隔的符号，体现了一切被认知、被界定的实际事物的本质，而它自身同时也变成了一切，正如毕达哥拉斯和其他一些人借助于一种强有力的和真正宗教的直觉、用完全内在的确定性所已经看到的。然而，我们此处所谓的数学——意即借图形来实际地思考的能力——不可与远为狭义的科学的数学相混淆，亦即不可与在演讲和论文中提出的那种数的理论相混淆。一种文化在自身之内所拥有的数学的视野和思想，是它的形诸文字的数学所不可能充分地表达的，一如其哲学的视野和思想是其哲学的论文所不可能充分地表达的一样。数是从一个还有其他出口的源泉中涌现出来的。因而在每一文化的开端处，我们总能发现一种古代风格，即在早期希腊和其他地方被正当地称作几何学的风格。在公元前10世纪的这一早期古典风格中，在埃及第四王朝[12]以其绝对主义的直线和直角所表现出来的庙宇风格中，在早期基督教的石棺浮雕中，还有在罗马风格的建筑和装饰中，一个共同的因素就是，它们都明确地是数学的。在这里，每一条直线，人和动物的每一个蓄意非模仿的形象，都在与死（不可移易的固定之物）之奥秘的直接关联中揭示着一个神秘的数字思维。
哥特式的教堂和多立克式的庙宇便是以石头表现的数学（mathematics in stone）。毕达哥拉斯无疑是古典文化中将数科学地看作是可理解的事物所构成的世界秩序的原则——看作是标准，看作是度量——的第一人，但是，甚至在他之前，在雕像的严格法式中，在多立克柱廊的秩序中，数就被用来表达感觉的—物质的单位的一种庄严的排列。伟大的艺术，每一个都是借助以数为基础的限制来进行阐释的模式（例如可以想一想油画中空间再现的问题）。一种高级的数学天赋，即便没有任何的数学科学，也能在技术领域获得成熟而完美的自我认识。
甚至在古王国时期[13]，在金字塔庙宇的尺度测定中，在建筑、防洪工程、公共行政（更不用提历书了）的技术中，都可以确凿地看到强有力的数字感的存在，面对如此的情形，没有人还会确然无疑地坚持认为新帝国时期的阿赫姆斯（Ahmes）[14]的毫无价值的算术代表了埃及数学的水平。澳大利亚土著在才智方面完全属于原始人，可他们具有一种数学本能（或者说，一种类似于数学本能的东西，一种用数字进行思维的能力，尽管还不会运用符号或文字来沟通），就其对纯粹空间的阐释而言，他们的这一本能远远优越于希腊人。他们所发明的回向镖只能归功于他们对某一类数字——我们称之为高等几何——有着一种确然的感觉。因而——我们会在后面再证明使用这个副词的合理性——他们拥有一套极其复杂的仪式，并且为了表达亲密的程度，他们还发明了一套微妙精细的语言，甚至连高级文化也做不到这样。
又一次，在欧几里得的数学，跟成熟的伯里克利时代希腊人对仪式性的公共生活或孤独感的感觉缺乏之间，存在着一种类比，而巴洛克时代——与古典时代迥然不同——则向我们展示了一种空间分析的数学，一个凡尔赛式的宫廷，以及依托于王朝关系的国家制度。
在数字的世界中所显示的，正是心灵的风格，故而数字的世界，除了有关于它的科学之外，还包括其他一些东西。
三
由上所述，我们可以看到一个具有决定性意义的重要事实，这一事实迄今为止连数学家自己都未能洞明。
数本身并不存在，也不可能存在。所存在的乃是多个数的世界，如同多种文化的存在一样。我们看到的是印度数学思想、阿拉伯数学思想、古典数学思想、西方数学思想，与这每一种数学思想相对应的是一种数字类型，而每一类型根本上都是特殊的和独一无二的，是一种特定的世界感的表现，是一种有着特定的有效性、甚至能科学地定义的象征，是一种排列既成之物的原则，这原则反映着一种且仅仅一种心灵亦即那一特殊文化的心灵的核心本质。由是言之，世上不只有一种数学。因为，不容置疑的是，欧几里得几何学的内在结构与笛卡儿几何学的内在结构是完全不同的，阿基米德的数学分析是与高斯的数学分析完全不同的东西，不仅仅是在形式、直觉和方法上，而且本质上首要的是在他们各自提出和说明的数的内在的和必然的意义上。这种数，这一在其中可以使现象获得自我解释的视界，以及因此，这一被限定在给定范围且服从于其特殊类别的数学的“自然”或广延世界的整体，并不是所有人类所共有的，而是各具特色的，各属于一种确定的人类的。
因此，所存在的每一数学风格整个地都依赖于它所扎根的文化，依赖于那构想它的特定人类。心灵能将其固有的可能性付诸科学的发展，能实际地控制这些可能性，能在对这些可能性的处理中达到最高的水平——但它根本无力改变这些可能性。欧几里得几何学的观念在古典装饰的最早形式中就被实现了，微积分的观念在哥特式建筑的最早形式中就被实现了，它们比这各别文化第一个渊博的数学家的出生都要早好几个世纪。
一种深刻的内在经验或者说真正醒觉的自我可以把儿童转变成高级人，可以把他纳入他的文化的共同体中，而这正是他的数字感出现的标志，亦是他的语言感出现的标志。只有在这之后，客体才会对那醒觉意识存在，才会呈现为诸如数字之类的有限度的和可区分的东西；只有在这之后，周围世界的那些属性、概念、因果必然性和体系，或者说世界的形式和世界定则（因为那被设定和被稳固的，事实上就是被限定的、被坚固的、受数字控制的）才易于被准确地定义。并且由此，还会对测量和计算、绘图和形式的深奥意义产生一种出乎意料的、几乎形而上的恐惧感和敬畏感。
如今，康德已依据先天综合判断（普遍必然的有效性）和后天综合判断（经验的和随情形而变的）对人类知识的总体进行了分类，其中前一类知识就包括有数学知识。由此，毫无疑问，康德就可以把强烈的内心感受还原为抽象的形式。但是，康德这么做完全忽视了这样一个事实（现代数学和现代力学已经充分地证明了），就是：在这两种判断之间，根本不存在如此界限分明的区分，如同在先天判断原理中根本地和无条件地示意出来的，先天本身虽则确然是哲学中的一个最具启发性的概念，可似乎也是一个包含着许多困难的观念。康德为它总结了两个特性——但并没有试图去证明那一根本不能证明的东西——即在所有的理智活动中，它既具有形式的不可改变性，同时又具有对所有人而言的形式的同一性。[15]结果，一个具有不可估量的重要性的因素完全被忽视了——这要归功于康德时代的理智的先入之见，更别说康德本人的了。这一因素便是那所谓的“普遍有效性”的伸缩度。真正范围广泛的有效性具有某些无可怀疑的特征，这些特征（表面上看是在任何时候）是独立于文化和认知个体所属的时代的，但与这些特征相伴随的，必定还存在一种十分特殊的形式必然性，为认知个体的所有思想成为定理奠定基础，而认知个体由于只属于他自己的文化而不属于别的文化，故而必定会受到这一形式必然性的影响。这样，在此我们便有了两种完全不同的先天的思想—内容，要去对它们之间的交界线做出界定，甚至于去证明存在这样的交界线，都是一个难题，这难题超出了认识活动的所有可能性，永远也不会得到解决。迄今为止，没有人敢说，心智的假定的恒在结构是一个幻觉；没有人敢说，就在我们眼前展现的历史包含了不止一种认知风格。但是，我们不要忘记，对还没有成为问题的事物获得一致意见，既有可能意味着一个普遍的真理，也有可能意味着一个普遍的错误。确实，人类总是对疑点和模糊性有某种感觉，这种感觉是如此之普遍，以至于人们从哲学家的不一致（non-agreement）中有可能得出正确的猜测，我们每每扫视哲学史的时候都能看到这一点。但是，这种不一致并不是由于人类心智的不完善，也不是由于可以完善的知识当下的不足，一句话，这不是由于缺陷，而是由于命运和历史必然性——这是一个发现。对深刻的和终极的事物得出结论，不能通过设定一些恒量，而要通过研究差异，通过发掘差异的有机逻辑来达成。知识形式的比较形态学是西方思想至今仍有待攻克的一个领域。
四
如果数学是像天文学或矿物学一样的一种纯粹科学，那要界定它们的对象应当是可能的。以前从事数学研究的人并没有、也没有能力这么做。我们西欧人对数字提出了自己的科学观点，为的是完成雅典和巴格达的数学家所从事的相同的任务。但事实是，在雅典和巴格达，类似名称的科学的主题、意图和方法与我们自己的完全不同。根本就不存在单数的数学，而只存在复数的数学。我们所谓的“数学史”，意指的仅仅是某个单一的、不变的理想的逐步实现，而事实上，在数学史的虚饰的表面底下，是一大堆自足的、彼此独立的发展的复合体，是一个不断重复的过程，在那里，总有新的形式世界的诞生，也有对旧的陌生的形式世界的挪用、转变和剥离，总之，这是一个发生于每个特定时期，并要经历从开花到成熟、从枯萎直至死亡的过程的纯粹有机的故事。研究者决不可上当受骗。古典心灵的数学几乎是从一片空无中萌生出来的；而历史地构成的西方心灵已经拥有了古典科学（不是内在地服膺，而是经由学习外在地获得的），因此它只能通过对后者做明显的改变和完善来成就自身的科学，可事实上，它还得摧毁那本质上与之疏离的欧几里得体系。第一种情况的代表便是毕达哥拉斯，第二种情况的代表是笛卡儿。在这两种情况中，归根到底，行为都是一样的。
在这个方面，数学的形式语言跟和数学同源的主要艺术的形式语言[16]之间的关系，是毋庸置疑的。思想家的气质与艺术家的气质之间的差异固然很大，但各自醒觉意识的表达方法在内在的方面可谓是同出一辙。雕刻家、画家、作曲家的形式感，就其性质而言，本质上都是数学的。在17世纪的解析几何和射影几何中所体现出来的对一个无穷世界做的相同的、富有启发的秩序化，也使同时代的音乐生机盎然、活力弥漫，后者正是从通奏低音的艺术中发展出可称作音响世界的几何学的和声技术的；同样地，这种对无穷世界的秩序化，也激发同时代的绘画发展出了透视原则（这是只有西方人才会知道的有关空间世界的知觉几何学）。对于这一富有启发的秩序化，歌德称之为“在直观领域直接地领会形式的观念，对于这种形式，纯粹科学不能领会，而只能观察和分割”。数学超出了观察和分割的范围，它在其最高级的时刻可以通过想象而不是抽象来发现自己的道路。还是歌德，曾说过一句意味深长的名言：“数学家只有在他从自身之中感受到真实的美时，他才是完备的。”在此，我们当可感受到，数的奥妙与艺术创作的奥妙，其关系是何等的紧密啊！也是因此，天生的数学家的位置，常常可以和赋格曲、雕刻、绘画等领域的大师排在一起；他和他们一样，都努力且必须努力去实现万物的伟大秩序，给那秩序穿上象征的外装，使其能同下里巴人进行交流，让他们在自己的内心去倾听那秩序，而不是强行地占有那秩序；数字的王国，跟音调、线条、色彩的王国一样，皆是世界形式的意象。正是因为这一点，“创造性”一词在数学领域比在纯粹科学领域意味着更多的东西——牛顿、高斯、黎曼[17]都是天生的艺术家，我们知道，他们的那些伟大的概念都是不经意间的神来之物。老维尔斯特拉斯（Weierstrass）[18]曾经说：“一个数学家若不同时也是一个诗人，就绝不是一个真正的数学家。”
因而，数学是一门艺术。如是言之，那它必定有自己的风格和风格周期（style-periods）。它不是像门外汉和哲学家（在这个问题上，他也是门外汉）所认为的那样实质上是一成不变的，而是像每一种艺术一样在各个时代皆有其难以觉察的变化。当我们在处理伟大的艺术的发展时，也要（确然地而不是徒劳无功地）顺便看一下同时代的数学的发展。对于音乐理论的变化与对无穷的分析之间存在的深刻关联，细节从未被人深究过，尽管美学从这些细节中所学的远多于从所谓的“心理学”中学到的。如果写一本乐器史，不是（如人们时常所做的那样）从音调生产的技术角度来写，而是根据对音色和音效的深层精神基础的研究来写，则可揭示更多。因为想用声音来填满无穷的空间，乃是一种意愿，一种强烈到近乎渴望的意愿，正是这种意愿产生了——与古典的七弦琴和竖笛（里拉琴、基特拉琴；奥洛斯管、叙任克斯笛[19]）以及阿拉伯的琵琶完全不同——键盘乐器（管风琴、钢琴等）和弓弦乐器这两大家族，并且早在哥特时期就已出现了。这两大乐器家族的发展在精神上（可能也关系到技术源头）要归功于位于爱尔兰、威悉河和塞纳河之间的北部凯尔特—日耳曼人。管风琴和古钢琴当然是英国人的功劳。弓弦乐器于1480至1530年间在上意大利获得了其确定的形式，而管风琴发展成我们所知道的一种占据空间的庞然大物、一种在所有音乐史上还不曾见到相似物的乐器，这首要的是在德国。巴赫及其时代那自由的管风琴演奏若不是一种分析——对奇妙而巨大的音响世界的分析——还能是什么。类似地，还是与西方的数字思维相一致，而与古典思维相反，我们的弦乐器和管乐器也不是单独地而是在庞大的群体（弦乐器、木管乐器、铜管乐器）中发展的，是依据四级人声的音域排列的；现代管弦乐队的历史，以及它所有新乐器的发明和老乐器的改良，事实上是一个音响世界的自足的历史，而且这是一个完全可以用高等分析的形式加以表现的世界。
五
大约公元前540年，当毕达哥拉斯学派得出数是万物的本原的观点时，所迈出的绝不是“数学发展中的一小步”，而是一种全新的数学的诞生。这一新的数学，很久以前，形而上学的提问方式和艺术的形式倾向就已经预示出来了，而现在，由古典心灵的深处迸发而出，形成一种系统阐发的理论，一种在一幕场景或一个伟大的历史时刻诞生的数学——如同埃及人的数学、巴比伦文化的代数天文学及其黄道坐标系统诞生的情形一样。但这种数学是全新的，因为那些古老的数学早已消失无形了，而埃及的数学从未形诸文字。古典数学在公元2世纪功德圆满，接着便消失了（尽管表面上看，它甚至在今天依然存在，可仅仅是作为一种便利的记号存在着），让位于阿拉伯数学。从我们对亚历山大里亚数学的了解中，可以得出这样一个必要的假设：在中东地区曾出现了一次伟大的运动。运动的重心当然是波斯—巴比伦学派，如以得撒（Edessa）、贡狄萨坡拉（Gundisapora）和忒息丰（Ctesiphon）等地的学派，至于它们是如何传入讲古典语言的地区，我们只知道一些细枝末节。尽管都有希腊名字，但亚历山大里亚的数学家们——如研究等周形的芝诺多罗斯（Zenodorus）[20]、探讨空间的和谐面束（harmonic pencile in space）的特性的塞里努斯（Serenus）[21]、介绍迦勒底人的圆周划分法的希普西克勒（Hypsicles）[22]，尤其还有丢番图（Diophantus）[23]——毫无疑问全都是阿拉米人（Aramaeans）[24]，他们的著作仅仅是主要写于叙利亚的文献的一小部分。可见，这种数学在阿拉伯—伊斯兰思想家们的研究中获得了其完整形式，不过，在这些思想家之后，数学发展又一次出现了一个漫长的间断。接下来，产生了一种全新的数学，那就是西方人或者说我们自己的数学，我们出于一种迷恋而将其称之为“Mathematics”，认为它是两千年演进的顶峰和最终目标，尽管事实上，严格来说，直到今天为止，它也不过存在了区区可数的几百年而已。
古典数学中最有价值的东西，便是它的这一命题：数是一切可为感官所感知的事物的本质。把数定义为一种度量，这体现了一个热情地投身于“此时”（the “now”）、“此地”（the “here”）的心灵的整个世界感。在这个意义上，度量意味着对某个切近而具体的事物的度量。看一下古典艺术作品的内容，例如那些自由矗立的裸体人像：在此，存在的每一本质的和重要的要素、它的整个节奏，由雕塑的各个部分的表面、向度及可感觉到的关系毫无保留地表现出来了。毕达哥拉斯学派有关数的和谐的观点虽然有可能是从音乐中演绎出来的——应当注意，这种音乐并不知道所谓的复调或和声，用来演奏它的乐器只会发出单一的、丰满的、近乎清新的音调——但它似乎已成为怀有这一理想的雕刻家的典范。[25]那被加工过的石头仅仅就是一块石头，只考虑其大小，只量度其形式；它到底是什么，这要取决于它在雕刻家的刻刀下会成为什么。没有了雕刻家的凿刻，它就只是一团混沌，是尚未实现成形的事物，事实上，在未经雕琢之初，它根本不具任何意义。与此相同的感受，转移至更高阶段的创作过程中，便形成了与混沌状态正相对立的宇宙秩序（cosmos）。对于古典心灵来说，所谓“宇宙秩序”，意味着外在世界的一种清晰状态、一种和谐的秩序，那各自独立的事物，作为一个完好地界定的、可理解的和在场的整体，都包含在这一秩序中。这些事物的总和恰好构成了整个世界，而存在于它们之间的各交互空间——在我们看来，这些空间充满了“空间世界”的生动象征——对于古典人来说不过是虚空（το μη ον）。
对于古典人类而言，广延意味着实体，对于我们而言，广延意味着一种使物“呈现”出来的空间的功能。从这一观点往回看，我们也许可以看到古典形而上学最深层的一个概念，那就是阿那克西曼德（Anaximander）[26]的“ëπειρου”（无定形）——这个词几乎无法用西方语言来翻译。它不具有毕达哥拉斯意义上的“数”，没有可量度的向度或可界定的限度，因此也就无所谓存在；恰如尚未凿刻成雕像的石块，没有度量，没有形式；是视觉上无涯无际、无有形式的αρχη（始基），只有透过感官的分割，才能成为某个东西（或者说，成为世界）。在康德的世界图象中，正是以空间取代了古典认知的这一基本的先验形式，亦即形体本身；对于那种空间，康德坚持认为，所有一切事物都可以从它的角度加以“思考”。
现在，我们明白了是什么东西把不同的数学，尤其是古典数学和西方数学区分开来了。成熟的古典世界的整个世界感使得它把数学只看成是有关形体之间的大小、向度和形式的关系的理论。从这一世界感出发，当毕达哥拉斯提出和表达那一具有决定意义的公式时，数对于他来说就成了一个视觉的象征——不是一般形式的度量，不是抽象的关系，而是既成领域的哨所，或者更确切地说，是感官能够分割、能够加以回视的既成之物的部分的哨所。整个的古典世界单单只把数字设想为度量的单位，设想为大小、长度和面的单位，而且，对于它来说，除了这些方面，其他的广延都是不可想象的。整个古典数学归根到底就是一种测体学（stereometry），一种固体几何学（solid geometry）。欧几里得在公元前3世纪就完成了他的几何学体系，在他看来，三角形是一种具有深刻必然性和有限定的表面的形体，而绝不是一种由三条相交直线构成的系统，或由三度空间中的三个点形成的集合。欧几里得定义直线是“没有宽度的长度”，在我们看来，这一定义实在不足为道——而在古典数学中，这却是一个卓绝无比的定义。
西方人的数，不是——如康德甚至赫尔姆霍兹（Helmholtz）[27]所认为的——从作为一种先验的认知形式的时间中产生出来的某个东西，而是某个特别地具有空间性的东西，因为它是同类单位的一种秩序（或排列）。实际的时间（正如我们接下来将越来越明确地看到的）与数学的事物没有一丁点的关系。数唯一地只属于广延的领域。但是，恰如世上有多种文化一样，广延之物有秩序地展现的可能性及其必然性也有多种。古典的数是一种思维程序，但处理的不是空间关系，而是视觉上可限定的、实在的单位；由此可自然地和必然地得出这样一个认识：古典人知道的仅仅是“自然”数（正数和整数），相反，在我们西方人的数学中，自然数在复数、超复数、非阿基米德数系及其他数系中却只占一个极其不起眼的地位。
正是因此，无理数——即我们的记数法中十进位的不尽小数——的观念在希腊精神中被认为是不可思议的。欧几里得——我们应当对他有更全面的了解——说，不可公度的线条是“不能如数字那样彼此关联的”。事实上，无理数的观念一旦出现，便把数的概念和大小的概念分离开来了，因为这种数（例如π）的大小是不能以任何直线来界定或准确地表达的。进而，据此言之，在思考——比如说——正方形的边和对角线的关系时，希腊人必定会突然遇到一种完全不同的数，这种数对于古典心灵是全然陌生的，因此对它有一种恐惧，认为其存在本身的秘密一旦被揭开，将会招致灭顶之灾。有一则奇特而重要的晚期希腊传说，依据这一传说，第一个揭开无理数那深藏的奥秘的人必将死于非命，“因为那不可言传的、无形无态的秘密必须永远隐匿于人世”[28]。
支撑这一传说的那种恐惧与希腊人的一种观念完全是同一的，那一观念阻止哪怕最成熟的希腊人为了在政治上更好地组织乡村而去扩展他们的微型城邦，阻止他们延伸街道直至景色的尽头，延伸小巷直至远景深处；那一观念使希腊人对时间有一种畏惧。并且又一次，它也是来自巴比伦的天文学及其对无尽星空的探究。那一观念还使得希腊人不敢冒险沿海道走出地中海，直到很久之后，腓尼基人和埃及人才胆敢这么做。这是一种深沉的形而上的恐惧，因为这一恐惧，古典生存所牢守的那一在感觉上可理解的和在场的东西，突然陷入了崩溃，把它的宇宙秩序（主要地是由艺术来创造和维系的）投入了未知的原始深渊。因此，要想理解这一恐惧，就得理解古典数字的终极意义——即度量与不可度量的对立——就得把握古典数字的限度的高级伦理意义。歌德作为一个自然研究者，也感觉到了这一恐惧——因此他对数学有着一种近乎恐惧的反感，正如我们现在所看到的，实际上，他的这种恐惧乃是对非古典数学，即支撑他的时代的自然哲学的微积分，产生的一种不由自主的反应。
古典人的宗教感一度越来越强烈地集中于实际地在场的、地方化的祀拜上，因为只有它能表现欧几里得式的神灵世界。抽象的概念，或者说那些在思想的空间中漂浮不定的教条对于它是全然陌生的。这种祀拜与罗马天主教的一个教条，即偶像的塑像与教堂组织同在，有着诸多的共同点。毫无疑问，这种祀拜的某些方面就包含在欧几里得的数学中——例如，看一看毕达哥拉斯学派的秘密教义，看一看规则的多面体的定理及其在柏拉图学派中的神秘意义。[29]如此言之，在笛卡儿对无穷的分析和同时代的教义神学之间，必定也存在深刻的关系，后者的发展经历了从宗教改革与反宗教改革的大决战到整个地非感觉化的自然神论。笛卡儿和帕斯卡尔都既是数学家，亦是詹森派[30]信徒，莱布尼茨则同时是数学家和虔敬派[31]信徒。伏尔泰、拉格朗日（Lagrange）[32]、达朗贝尔（D'Alembert）[33]皆是同时代人。其实，古典心灵已感觉到了无理数的原则将会推翻整个数字体系井然有序的庄严排列，会推翻完整而自足的世界秩序，这些本身就是对神的不敬。在柏拉图的《蒂迈欧》中，这一感受已明确无误地显示出来。因为，把一系列各自分离的数字转变为一个连续体，这不仅是对古典的数字观的挑战，而且是对古典的世界观本身的挑战，故此，我们可以理解，在古典数学中，甚至连负数——在我们看来，这根本没有什么概念上的困难——也被认为是不可能的，更别说把零当作一个数了。把零看作一个数，体现了奇妙的抽象能力那高超的创造力，印度心灵就把零看作是位置计数（positional numeration）的基础，零的观念正是了解印度人生存意义的关键。负量根本就不存在。（-2）×（-3）=+6，这种表达既不可想象，也不能表示量的大小。数量的系列终止于+1，而在负数的符号表示（+3、+2、+1、0、-1、-2、-3）中，从零之后突然出现了某个否定性的东西的肯定性象征；它们意味着某种东西，但它们又不是某种东西。但是，这一幕的完成不在古典数字思维的方向之内。
因而，古典世界的醒觉意识的每一个产品，皆借由雕塑式的定义被提升到了现实性的层次。凡不能被描画出来的，便不是“数字”。阿基塔斯（Archytas）[34]和欧多克斯（Eudoxus）[35]采用面积数（surface-numbers）和体积数（volume-numbers）的概念来指谓我们所谓的二次方和三次方。很容易理解，更高的整次幂的概念在他们看来是不存在的，因为对于那以立体感为基础的心灵而言，四次方立刻便意味着在四维空间中的一种扩展，意味着要与四种物质性的维度打交道，而这在他们看来是“荒谬的”。对于我们常用的那些表达，例如εix，甚或早在奥里斯梅（Oresme）[36]（14世纪）时代的西方数学中就已经使用的分数指数，例如51/2，在阿基塔斯和欧多克斯看来肯定是全然没有意义的胡说。欧几里得称因子的乘积即是边的乘积，而分数（当然是定分数）则被看作是两条线之间的整数关系。显然，从这里面，是不可能出现零作为数的概念，因为从一个画图人的角度看，这是没有意义的。具有不同心灵构造的我们不可以我们的习惯来论断他们的习惯，把他们的数学看作是“大数学”（Mathematics）发展的“第一步”。在古典人为自己扩展的世界里，并且就他们扩展那一世界的目标而言，古典数学是完整的——只是对我们而言，它才不是完整的。巴比伦人的数学和印度人的数学一直以来就包含着古典数字感认为毫无意义的东西——但这并不是出于无知，因为许多希腊思想家对这些东西其实很熟悉——并将其作为他们的数字世界的本质要素。必须重复一遍，“大数学”是一个幻觉。一种数学的思维方式，或者一般地说，一种科学的思维方式，如果能完整地表达与之相匹配的生命感，那它就是正确的、可信的，就是一种“思想的必然”。否则，它就是不可能的、无用的、没有意义的，再不，正如我们在我们的傲慢的历史心灵中常常说的，就是“原始的”。近代数学尽管只对西方精神而言是“正确的”，但也不容否认的是，它是这一精神的主导产品；不过，对于柏拉图而言，它必定是对通向“真实”——通向智慧，古典的智慧——的道路亦即数学的不可思议的和可怕的偏离。对于我们自己来说，希腊人的数学也是如此。坦白地说，我们对大量属于其他文化的伟大观念几乎是一无所知，我们容许这样的失误，是因为我们的思维及其局限还不允许自己去同化它们，或者说（其实是一回事），我们的思维及其局限使我们将它们看作是虚假的、多余的和无意义的东西而加以拒绝。
六
希腊数学，作为一种有关可感知的量的科学，蓄意把自己限定在可理解的当下在场的事实上，把它的研究和这些研究的有效性局限在近旁的小事物上。与这一数学无懈可击的一致性相比较，西方数学的立场被认为实际上有点非逻辑的味道，尽管只是自非欧几何发现以来，这一事实才真正地被认识到。数是完全非感觉化的知性的意象，是纯粹思想的意象，其本身之中就包含有抽象的有效性。[37]因此，数能否确实地运用于意识经验的现实性，这本身便是一个问题，并且是一个不断地被重新提出而从未获得解决的问题，而数学体系与经验观察之间的符合，在目前还只能视作是自明的。尽管门外汉的观念——例如在叔本华身上所看到的——认为数学有赖于感官的直接证据，但欧几里得几何学——虽则表面上看，其与所有时代通行的几何学是同一的——与现象世界仅仅是近乎吻合，且是在非常狭窄的范围内——事实上是在画图板的范围内——才近乎吻合。扩大这些范围，则——例如——欧几里得的平行线将会变成什么？它们会在地平线上相交——我们所有的艺术透视就是建立在这一简单的事实之上的。
因此，康德是一位西方式的思想家，他回避了有关距离的数学，而诉诸一组数字例证，而对于它们的绝对细分，他认为尤其不能用西方的无穷小的方法来处理，他这样做并不矛盾。但是，欧几里得是一位古典时代的思想家，当他禁止通过参照——比如说——由一个观察者和两个无穷远的恒星所构成的三角形来证明他的公理的现象真理时，这与古典时代的精神是完全一致的。因为这些东西既不能被画出来，又不能“直观地领会到”，他的感受恰恰是害怕无理数的感受，是不敢给予像零这样的虚无以一个价值（例如，说它是一个数），甚至在沉思宇宙关系时也不敢直视无穷大，而只能固守着它的比例象征的感受。
萨摩斯岛（Samos）的阿里斯塔库斯在公元前288至前277年间属于亚历山大里亚的天文学家圈子，这个圈子无疑与迦勒底—波斯学派有关系；阿里斯塔库斯曾提出了一个日心说的世界体系。[38]经过哥白尼的再发现，这一日心说的体系动摇了西方人的形而上情感的基础——乔尔丹诺·布鲁诺即是明证——成为强有力的预兆的完成，并将证明浮士德式和哥特式的世界感，这种世界感早已经通过哥特式大教堂的形式而体现了对无限的信仰。但是，阿里斯塔库斯当时的世界对他的著作根本漠不关心，因此很短的时间里就被遗忘了——我们可以推测，这是故意的。他的为数不多的追随者几乎全都是小亚细亚的本土人，其中最著名的支持者塞琉古（Seleucus）[39]（约公元前150年）乃来自底格里斯河流域的波斯的塞琉西亚（Seleucia）[40]。事实上，阿里斯塔库斯的体系在精神上根本没有诉求于古典文化，它其实对后者构成为一种威胁。不过，这一体系与哥白尼的体系在某个方面有根本的不同（这一点常常被人忽视了），正是这个方面使得前者完全符合古典的世界感，那就是：它假定，宇宙是包含在一个物质上有限和视觉上可感的球状虚空中的，在这球状虚空的中间是行星系统，其排列和运行正如哥白尼的路线。在古典天文学中，地球和天空中的其他星体被一致地认为是两类不同的实体，不论对其运动的具体细节的解释是多么的多样。同样地，相反的观念认为，地球只是众星体中的一种[41]，这一观念本身与托勒密式的体系或哥白尼式的体系并非格格不入，事实上，它的真正先锋是尼古拉·库萨[42]和列奥纳多·达·芬奇。但是，由于天球这一概念的发明，那本来可能危及感受性的古典边界观念的无穷大原则便被掩盖了。也许有人会认为，无穷大的概念是阿里斯塔库斯的体系所必然隐含的——而事实上，早在他的时代之前，巴比伦思想家就已经提出了这个概念。但希腊全无此等思想出现。相反，在阿基米德著名的有关沙粒的论文中[43]，他证明说，用沙粒填满一个立方体的物体（这根本上就是阿里斯塔库斯的宇宙），便可得到一个非常高但绝不是无穷的图象结果。他的这一命题尽管一再被引用，认为是向积分学迈出的第一步，但其本身原是对我们所谓的“分析”概念的一种否定（实际上，在论文的标题中就已经隐含了这一点）。在我们的物理学中，不断出现的一种有关物质性的（或者说可直接感知的）以太的假设，一次又一次地与我们拒绝承认任何物质性的边界的做法相冲突；欧多克斯、阿波罗尼乌斯（Apollonius）[44]和阿基米德当然是最敏锐、最大胆的古典数学家，他们主要用直尺和圆规，对既成之物完全地进行纯视觉的分析，而其基础，便是古典的雕塑式的边界概念。他们运用经过深思熟虑而得出的（可对我们来说几乎是不可理解的）求积的方法，但这些方法与莱布尼茨的定积分方法甚至只有表面的相似。他们也运用几何轨迹和坐标系，但这些通常都是度量的一些已被明确的长度和单位，而不是——如同在费马（Fermat）[45]、尤其是在笛卡儿那里——未被明确的空间关系，不是依据点在空间中的位置而定的点的价值。在所有这些方法中，还要特别地提一下阿基米德的穷竭法（exhaustion method）[46]，在最近发现的阿基米德致厄拉多塞尼（Eratosthenes）[47]的信中，他论及了用内接矩形（而不是相似的多边形）求抛物面的截面积的方法。但是，这一极端精密复杂的方法，仍是基于柏拉图的某些几何学观念，虽然表面上与帕斯卡尔的方法有可类比之处，但两者之间还是有极大的不同。其与黎曼的积分观念也截然相异。那么，阿基米德的这些观念与今日所谓的求面积法有着何样的尖锐对立？阿基米德的方法本身，如今不过是一种不幸的残余，它所谓的“表面”，如今已被代之以“封闭函数”（bounding function），而它所用的描画法（drawing），如今也已经消失。古典和西方的数学心灵彼此间从未像在此例中如此的接近过，也从未像在此例中如此明显地显示出这两种心灵之间的隔阂之深，根本不可能彼此沟通。
在其早期建筑的立体风格中，埃及人可以说隐藏了纯粹的数字，他们害怕突然触及数字的秘密，而对于希腊人而言，数字也是既成之物、僵硬之物、有限之物的意义的关键。石像和科学体系否定了生命。数学的数字，现象性的存在——它只是醒觉的人类意识的派生物和仆人——所依存的广延世界的形式原则，带有因果必然性的标记，因此是与死亡联系在一起的，如同编年学的数字是与生成、生命、命运的必然性联系在一起的一样。严密的数学形式与有机存在的终结、与有机存在的有机剩余物即肉体的现象之间的这种联系，我们越来越明确地看作是所有伟大艺术的源头。我们已经注意了丧葬器物和棺木的早期装饰的发展。数字是死亡的象征。刻板的形式是生命的否定，公式和定律把死板板的谨严性散播在自然的面孔上，数字制造了死亡——在《浮士德》第二部中，“女神们”端坐在宝座上，庄严而又隐忍，她们唱道：
在对终极奥秘做如此的神圣化的方面，歌德与柏拉图非常相近。因为他的不可接近的女神就是柏拉图的理念——是精神的可能性，是有待实现的孕育中的形式，它们作为能动的和有目标的文化，作为艺术、思想、政治与宗教，存在于由那一精神所规范和决定的世界中。所以，一种文化的数字思想和世界观乃是关联在一起的，由此关联，前者被提升到单纯的知识和经验之上，成为一种宇宙观。因此，世上有多少种高级文化，便有多少种数学，便有多少种数字世界。只有这样，我们才能理解一个必然的事实，即那些最伟大的数学思想家、那些数字领域中最伟大的创造性的艺术家，每每要经由一种深沉的宗教直觉，才能获得他们的诸文化中最为关键的数学发现。
我们必须把古典的、阿波罗式的数字看作是毕达哥拉斯的创造物——是他创立了一种宗教。那位伟大的布列克森主教（约1450年），库萨的尼古拉，也是经由一种直觉的引导，才从自然中上帝的无限性观念得出了微积分的原理。莱布尼茨在两个世纪之后明确地奠定了微积分的方法和记号法，而他自己也是经由对神圣的原则及其与无穷的关系做纯粹形而上的沉思的引导，才体会和发展出位置分析的概念——这可能是对纯粹的、获得解放的空间的所有阐释中最具启示性的——后来，格拉斯曼（Grassmann）[48]在他的《扩张论》（Ausdehnungslebre）中对位置分析的可能性作了进一步的发展，尤其黎曼用双面的平面来描述方程的性质的象征主义做法，使得他成了那种种可能性的真正创造者。[49]还有开普勒和牛顿，他们也都具有严格的宗教气质，且和柏拉图一样，都曾经或一直深信，只有经由数字作为媒介，他们才能直觉地领会到神圣的世界秩序的本质。
七
我们常常被告知，古典算术经过丢番图才第一次摆脱其感觉束缚，在广度和深度上有所深入。可实际上，丢番图并没有创造代数学（未知量的科学），而只是把它带入了我们所知的古典数学框架的表达。而且他的成就是如此之突然，以致我们不得不假定，他能有那样的成就，是因为已经有了一个先行存在的观念储备。但是，这并不意味着他的成就丰富了古典的世界感，而只是彻底地胜过了它而已，这一简单的事实本身就足以说明，丢番图本质上根本不属于古典文化。在他身上发挥作用的，乃是一种新的数字感，或者不妨说，是对实存之物和既成之物的一种新的限度感，并且也不再是希腊人的产生了欧几里得几何学、裸体雕塑和钱币的那种在场感觉的限度感。对于这一新数学的形成的具体细节，我们所知甚少——丢番图就这样独自矗立在所谓晚期古典数学的历史中，以至于有人猜测他受到了印度数学的影响。[50]但是在此，这一影响实际上也是早期阿拉伯学派——迄今为止，人们对这些学派的（决非教条的）研究成果的探讨还是十分不完整的——的影响。在丢番图那里——尽管是无意识的——他本质上使自己走向了他企图建立的古典基础的对立面，在欧几里得式的意图的表面之下，浮现出来的乃是一种新的限度感，我们称之为“麻葛式的”限度感。丢番图不但没有扩大数作为一种度量的观念，反而（不经意间）消除了这一观念。没有一个希腊人能够对未知数a或没有单位的数3给出任何的表述——因为它们既非数量，亦非数列——而丢番图的新的限度感则通过这类数获得了感性的表达，它们即便没有构成丢番图的论述本身，至少也为这一论述奠定了基础；我们现今用于武装我们自身的（经过反复的重估）代数学的字母记号体系，是1591年由维塔（Vieta）[51]首先引入的，这毫无疑问——尽管不是故意的——是为了对抗文艺复兴时期数学中的古典化倾向。
丢番图生活在大约公元250年，也就是属于阿拉伯文化的三世纪，这一文化的有机历史，直到今天仍被窒息在罗马帝国和“中世纪”的表面形式之下[52]，可在那时，它包容了我们的纪元开始之后在后来属于伊斯兰的地区所发生的一切。恰恰是在丢番图的时代，阿提卡雕塑艺术的最后身影已经变得苍白无力，随后便是我们在早期基督教—叙利亚风格中看到的圆顶、马赛克和石棺浮雕的新的空间感。在丢番图的时代，古代艺术和谨严的几何装饰曾再度出现；在那个时代，戴克里先（Diocletian）[53]也完成了将此时仅仅徒有其名的帝国向一个哈里发统治的转变。在欧几里得和丢番图之间，以及在柏拉图和普罗提诺——一种已完成的文化的最后一位总结性的思想家、一位康德式的人物，也是一种刚刚觉醒的文化的第一位经院学者，一位邓斯·司各脱式的人物——之间，整整相隔了四个世纪。
正是在这里，我们第一次意识到了那些高级个体性的生存，它们的降生、成长和衰败构成了真正的历史实体，支撑着历史表面那缤纷的色彩和万千的变化。古典精神大约在公元前1100年诞生于爱琴海的周边地区，它在罗马人那冷冰冰的才智中步入了其最后的阶段，而整个的古典文化及其所有的作品、思想、伟绩和废墟，则构成了这一精神的“实体”（body）。阿拉伯文化在古典文明的掩护下自奥古斯都时代开始便在东方生根发芽，然后遍及自亚美尼亚到南阿拉伯、自亚历山大里亚到忒息丰的广大地区，因此，我们不得不称罗马帝国的几乎整个“晚期古典”艺术、东方所有年轻而热忱的宗教——曼达派（Mandaeanism）[54]、摩尼教（Manichaeism）[55]、基督教、新柏拉图主义等，皆是这一新的心灵的表现，而在罗马本土，跟帝国广场群一样，万神庙[56]堪称是第一清真寺。
亚历山大里亚和安条克[57]的人们仍在用希腊语写作，并认为他们也是在用希腊语思考，这一事实并不重要，如同直到康德时代拉丁语还是西方人的科学语言，以及查理曼“复兴”罗马帝国这样的事实没什么重要一样。
在丢番图那里，数已不再是有形事物的度量和本质。在拉韦纳的马赛克中，人不再是一个实体（body）。不知不觉地，希腊人的那些名称已经失去了其原初的含义。我们已经离开了阿提卡的καλοκαγαθια（高贵的）斯多葛学派的αταραξια（不动心）和γαληνη（恬淡）的领域。确实，丢番图尚不知有零和负数，但他也不再使用毕达哥拉斯学派的数。阿拉伯数字的这种不确定性也与后来西方数学中受到控制的可变性，即函数的可变性，有相当的不同。
麻葛式的数学——我们可以看到其大概，尽管对其细节尚无认识——经由丢番图（显然，他并非起点）大胆而合乎逻辑的改造，至阿拔斯时期[58]（公元9世纪）达致巅峰，我们在花拉子密（Al-Khwarizmi）[59]和阿尔西德施（Alsidzshi）[60]那里可以欣赏到这种数学。并且，如同欧几里得几何学之于阿提卡雕塑，以及空间分析之于复调音乐一样（它们皆是同一表现形式的不同表达媒介而已），这种代数学之于麻葛式的艺术及其马赛克、阿拉伯风格的图案（萨珊帝国和后来的拜占庭皆以一种越来越铺张奢华的、有形或无形的有机主题生产着这种风格）和它的君士坦丁式的高浮雕（在那里，不确定的深度阴影区隔着前景中处理自如的形象），亦是同一表现形式的不同媒介而已。如同代数学之于古典算术和西方人的数学分析一样，圆顶教堂之于多立克式的庙宇和哥特式的教堂，则属于相同的媒介的不同表现形式。这不是说丢番图就是一个伟大的数学家。相反，我们已经习惯于将他的名字和许多东西联系在一起，而实际上那并非他一个人的成就。他的出乎意料的重要性在于这样一个事实，即就我们的知识所及而言，他是第一个明确无误地表现出那种新的数字感的数学家。相较于那些总结数学发展的大师，如阿波罗尼乌斯和阿基米德，又如高斯、柯西（Cauchy）[61]和黎曼，丢番图的工作，尤其是在形式语言方面，还是相当原始的。这些原始的工作，直到今天，我们还常常用它来指称“晚期古典”数学的衰微，现在，我们则应当学会理解和评价它，一如我们正在修正我们的蔑视“晚期古典”艺术的观念并开始在那里认识新生的早期阿拉伯文化初试啼音一样。类似地，利雪（Lisieux）的大主教尼古拉斯·奥里斯梅（1323—1382）的数学也是古代的、原始的和处在摸索之中的：他是第一个灵活地运用坐标系来进行数学表述——尤其重要的是——并用它来描述等加速运动的西方人，这两种工作都以一种数字感为前提，这种数字感可能还模糊不清，但却是明确无误的，它完全是非古典的，也是非阿拉伯的。但是，如果我们进一步地把丢番图和罗马藏品中的早期基督教石棺、把奥里斯梅和德国教堂中的哥特式雕塑放在一起思考，就能看到数学家和艺术家在某些方面是共同的，那就是，他们在各自的文化中都处在相同的（亦即原始的）抽象理解的水平。在丢番图所处的世界和时代里，测体术的边界感——很久之前在阿基米德那里就已经达到了与大都市的才智相匹配的最完善精细的阶段——已经消失。在那整个世界里，人们都是不清醒的，是饥渴的和神秘主义的，不再像阿提卡人那样洒脱自如；他们是植根于年轻的乡村土地的一群人，不像欧几里得和达朗贝尔是植根于大都市的都市人。[62]他们不再理解古典思想那深刻而复杂的形式，而他们自己的思想又是混乱的和新生的，和城市一样远未达到明晰和简洁的程度。他们的文化还处在哥特式的状态，一如所有文化在年轻的时候一样，甚至如同古典文化在多立克早期阶段——我们现今对它的了解只能通过狄甫隆陶瓶——的情况一样。只有到公元9至10世纪的巴格达，丢番图时代的年轻观念才经由具有柏拉图和高斯这种能力的成熟的大师而得以彻底完成。
八
笛卡儿几何学出现于1637年[63]，他的决定性的行为，不在于在传统几何学领域引入了一种新的方法或观念（正如我们时常这么认为的），而在于他为一种新的数字观念引入了一个明确的概念，通过这一概念，使几何学摆脱了视觉上可认知的结构和一般的被度量或可度量的线条的束缚。由于笛卡儿的几何学，对无穷的分析变成了事实。严谨的、所谓笛卡儿式的坐标体系——一种半欧几里得式的、可理想地表达可度量的量的方法——其实早就为人所知（奥里斯梅就是见证），并一直被认为具有极度的重要性，而当我们对笛卡儿的思想穷根究底一番之后，便能发现，他所做的并不是完善了而是克服了那一体系。其最后的历史代表就是笛卡儿同时代的费马。
取代具体的线和面的感觉要素——这是古典界限感的一个典型特征——代之以点的抽象的、空间的、非古典的要素，从此以后，“点”被视为是一组排列在一起的纯粹数字。源自古典文本和阿拉伯传统的量的观念和可感知的向度观念被摧毁殆尽，代之而起的是空间位置中可变的关系值。一般来说，我们不认为这是几何学的替代品，仿佛从此之后，几何学只能是躲在古典传统身后的一个虚构的存在。“几何学”这个词有着一种不能随便扩展的阿波罗式的意义，而自笛卡儿时代开始，所谓“新几何学”，则是由综合和分析两部分构成的，其中综合的工作是针对不再必然地是三维的某个空间（它其实是“点的集合”）中点的位置而进行的，分析的工作则是通过空间中点的位置来定义数字。这样以位置代替长度之后，便会随之出现一种纯空间的、而不再是物质性的广延概念。
对传统的、视觉上确定的几何学的这种摧毁，最明晰的例证，在我看来，莫过于把角函数——在印度数学中，它便是数字（我们的心智几乎无法理解印度人的这个词的含义）——转化成周期函数，由此而进入无穷的数字王国，在那里，角函数变成了级数（series），不再留有欧几里得几何图形的丝毫迹象。在此数字王国的所有部分中，圆周率π，如同纳皮尔（Napier）[64]的底数e一样，产生了各种各样的关系，而不复有传统的所谓几何、三角、代数等的分划，这些关系本质上既非算术的，亦非几何的，所以，不再有人梦想着实际地画出圆弧或以图来说明乘方。
九
相当于公元前540年左右的时候，古典心灵由毕达哥拉斯这样的人发明了它自身所独有的阿波罗式的数，亦即那种可以度量的量，西方心灵则由笛卡儿及其同时代的帕斯卡尔、费马、德扎古斯（Desargues）[65]这些人而发明了一种数的概念，这一概念是狂热向往无限的浮士德倾向的产物。数作为事物的物质性在场所固有的一种纯粹的量，与数现今作为一种纯粹的关系，正好平行而形成对照。[66]如果我们可以把古典的“世界”，亦即宇宙秩序，视为是根基于对可见的界限的深刻需要，并因而视为是由物质性的事物所构成的总和，那我们也可以说，我们的世界图象乃是无限空间的一种现实化，在那一空间中，一切可见的事物几乎只能作为低层次的、局限于不可限度的在场而出现。西方文化的象征是其他文化所从未想到的一种观念，那就是函数的观念。函数绝不是先前存在的任何数字观念的一种扩展，而是对它的彻底摆脱。由于函数观念，不仅欧几里得几何学（它是儿童和门外汉所共有的属于人的几何学，其基础便是日常经验），而且阿基米德的算术，对于西欧的真正有意义的数学而言，不再有任何价值。从此之后，数学单单只在于抽象的分析。对于古典人而言，几何学和算术是自足和完整的最高科学，两者都是现象的，都只关心可以被描画或计数的量的大小。相反，对于我们来说，这些东西仅仅是日常生活的实际附属品。加法和乘法是古典的两种计算量的大小的方法，和其孪生姐妹几何图形一样，它们在函数过程的无穷性中彻底地消失了。甚至像乘方，最初只是数字地表示一组相同数值的连乘积，如今经由指数观念（对数），以及它在复数、负数和分数形式中的应用，也已经与数量大小完全没有了联系，而转移至只知道表示面积和体积的两种正整数的乘方的希腊人所难以理解的一种超越性的关系世界中了。例如，我们可以看一下这样的表达式：ε-x、π√x、αx/i。
自文艺复兴以后，一项又一项的重大创造接踵而至，如早在1550年，卡丹（Cardanus）[67]所引入的虚数和复数；1666年，经由牛顿在二项式定理上的重大发现而在理论上为其奠定了基础的无穷级数；莱布尼茨的微分几何和定积分；笛卡儿开启先河的作为一种新的数字单位的“集合”理论；还有像一般积分这样的新的运算方式；像函数向级数甚至向其他函数的无穷级数的扩展——所有这一切，都是对在我们当中流行的感觉性的数字感的一种胜利，也是新数学为了实现新的世界感而赢得的胜利。
在所有历史中，一种文化对待另一种文化，如同我们的文化对待古典文化那样在科学的问题上如此长久地表现出敬仰和谦逊的态度，至今还找不出第二个例子。经过了漫长的岁月，我们才有勇气去思考我们自己独具的思想。但是，尽管效仿古典的意图一直都存在，可我们所作的每一步尝试，实际上都在使我们进一步远离想象中的理想。因此，西方知识的历史，其实就是渐进地摆脱古典思想的历史，这种摆脱从来不是自愿的，而是在无意识的深处被迫的。因此，新数学的发展，其实就是为对抗量的观念而进行的一场长期的、秘密的且最终获得胜利的战斗。[68]
十
这一古典化倾向的一个结果，便是妨碍了我们去发现与我们的西方数字本身相匹配的新的记号体系。现今数学的符号语言歪曲了它的实际内涵。这主要是由于这样一种倾向，即对作为量的数字的信念甚至在今天仍主宰着数学家的观念，可它还能不能作为我们所有的书写记号的基础呢？
但是，那可用来表达函数的，并不是各自独立的符号（例如x、π、s），而是作为单位的函数本身，是作为要素的函数本身，是那再也不能从视觉上加以界定、且构成了新的数系的可变关系；这一新的数系需要有新的记号方法，后者的确立还要完全不受古典方法的影响。看一下诸如3x+4x=5x和xn+yn=zn（费马定理的方程式）这两个方程式（如果这同一个词语可以用来表达两个不同的事物的话）之间的不同：前一方程式是由几个古典数字——亦即量——构成的，而后一方程式则属于一种不同的数系，只是由于根据欧几里得—阿基米德的传统，写成了与前一方程式相同的形式，才掩盖了它们之间的差别。在前一个方程式中，符号等于是要确立那些确定而实在的数量之间的严密联系，而在第二个方程式中，符号表示在一可变的意象领域存在着这样一种关系：若有某些变化发生，则必然会随之另一些变化。第一个方程式有其自身的目标，那就是通过某一具体的量的度量，便可获得确定的东西，亦即一个“结果”，而第二个方程式，一般来说，并无结果可言，而不过是一种关系的图象和符号表示，这关系便是（这便是著名的费马问题[69]）：当n＞2时，xn+yn=zn不可能有正整数解。一位希腊数学家必定会觉得这是不可理喻的，因为他无法理解此等意味着“不可解”的运算的意图何在。
当把未知数的概念运用于费马方程式中的那几个字母时，便会把人完全地引入歧途。在第一个方程式中，x是一个量，是确定的和可度量的，而我们的工作就是进行运算。而在第二个方程式中，“确定的”这个词对于x、y、z、n来说根本没有意义，因而我们根本不要想去运算它们的“值”。实际上，它们根本就不是形体意义上的数，而是表示一种联系的符号——这联系缺乏数量、形状、独特意义等标识——是表示具有相同特性的可能位置的无穷性的符号，是表示一个统一的、且因此作为一个数而存在的象征的符号。那整个的方程式，虽则在我们的不幸的记号系统里被写作一个多项式之和，而实际上它只是一个数，与“+”号和“=”号一样，x、y、z都不是数。
事实上，正是由于直接引进了本质上反希腊的无理数观念，那个把数字当作具体和确定的东西的观念基础土崩瓦解了。从此以后，这种数列不再是一排可见的、递增的、不连续的、能够实际地体现的数字，而是一个单向度的连续体，在那里，按照戴德金（Dedekind）[70]的概念，每个“分割”都代表着一个数。这种数已经很难和古典的数相协调了，因为古典数学所知道的，就是在1和3之间只有一个数，而对于西方数学来说，这些数的总体乃是一个无限的集合。但是，当我们进一步引入虚数（如
或i），并最后引入复数（其一般形式为a+bi）时，那个线性的连续体便被扩展成为一种高度超验的数体（number-body）形式，即一个同类要素的集合体，在那里，每一次“分割”现在都代表着一个数面（number-surface），此数面包含有一个由低“势”（lower potency）数字（例如所有的实数）所组成的无穷集合，这里已根本没有古典的流行意义上的数字的影子了。这些数面，自柯西和黎曼加以运用后，在函数理论中已成为重要的角色，而它们乃是纯粹的思想图象。甚至正无理数（例如
）也可以被古典心灵当作否定的样式加以认识；事实上，它们对正无理数已有足够的认识，已将其当作ëρρητοs（没有比的）和ëλογοs（不可表达的）的东西加以驱除了。但是，诸如x+yi这样的表达式，已远远超出古典思想的理解力，而我们西方，正是由于把数学定律扩展到整个复数领域——在那里，这些定律仍然有效——才能建立起函数理论，并最后展示出西方数学整个的纯粹性和统一性。直至达到了这一步，我们的数学才能毫无保留地用来支持与之平行的领域，如我们的动力学的西方物理学；而古典数学则恰好适合于它自己的测体术的个别物体的世界，适合于从留基伯（Leucippus）[71]到阿基米德发展而成的静力学。
巴洛克数学的辉煌时期——正对应于古典时代的爱奥尼亚时期——实质上是在18世纪，从牛顿和莱布尼茨的决定性发现，中经欧拉（Euler）[72]、拉格朗日、拉普拉斯（Laplace）[73]和达朗贝尔，最后一直发展到高斯。一旦此一巨大的创造活动生了翅膀，它的高飞远举，实在是有如奇迹一般。人们简直不敢相信自己的感官。在那个洞察入微的怀疑主义时代，居然目击了似乎不可能的真理一个接着一个涌现。在论及微分系数理论的时候，达朗贝尔不得不说：“继续向前，你才会有信心。”逻辑本身似乎想提起抗议，证明那一切的基础是虚妄的。但是，最终的目标已经达到。
这个世纪根本就是抽象的和非物质的思考的狂欢，在这个时期，伟大的数学分析大师，随同巴赫、格鲁克（Gluck）[74]、海顿、莫扎特这些罕见而深刻的心智一起，为他们最精妙的发明和沉思感到欢欣鼓舞，而歌德和康德则是踯躅独行。从内涵上看，这一世纪恰好平行于爱奥尼亚最成熟的世纪，即欧多克斯和阿基塔斯的世纪（公元前440—前350），我们还可以把菲狄亚斯、波利克勒斯、阿尔卡姆内斯（Alcamenes）[75]，以及雅典卫城的建筑群，一并算在这一世纪内——在这个时期，古典数学和雕刻的形式世界已展尽了它所有可能的丰富性，可也因此而走向了终结。
现在，第一次，我们有可能充分地理解古典心灵和西方心灵的基本对立。在历史的全景中，存在着不可胜数的和紧张的历史关系，我们在其中再也找不出两个东西有像它们这样根本上格格不入。正是由于这两个极端的相遇——因为在它们的分歧背后可能存在着某种深刻的共同源头——我们才在西方的浮士德式的心灵中找到了对阿波罗式的理想如此热烈的向往之情，我们所热爱的其实是一个全然相异的理想，我们所倾羡的正是这一理想炽烈地生活在纯粹感觉的当下的那种伟力。
十一
我们已经看到，原始人类就像一个孩子，先是获得（作为标志着自我的诞生的内在经验的一部分）对数的理解，进而在事实上占有那指涉自我的外部世界。一当原始人以其惊讶的目光感觉到了黎明世界有秩序的广延，一当宏大蓝图的意义从对单纯印象的沉迷中涌现出来，一当外在世界与他自身的内在世界不可逆转的分离赋予了他的觉醒的生命以形式和方向，他的心灵立刻便会意识到自己的孤独，他立刻便会产生一种发自心灵深处的情感，一种渴念（longing）之情。正是这种渴念之情，激励“生成”冲向它的目标，推动每一种内在可能性的实现和现实化，使个体存在的观念得以展开。正是这孩童般的渴念，会直接地、越来越清晰地呈现在意识中，成为一种有恒定方向的情感，并最终在成熟的精神面前作为奇异的、诱人的、不可解决的时间之谜展现出来。在此时，“过去”与“未来”这些字眼会突然获得一种重大的意义。
但是，这种源自内在生命之狂喜的渴念，在每个心灵的内在本质中，其实也是一种畏惧。如同所有的生成都要向着某个已成的方向行进并在那里终止一样，生成的原初情感——渴念——也会触及已成的原初情感，即畏惧。在当下，我们便可感觉到时光的流逝，所谓的过去，就意味着一种逝去。这便是我们对不可逆转、已经达成、终极怀有永恒的畏惧的根源——我们畏惧死亡，畏惧世界本身成为既成之物，在那里，死亡就是一个边界，如同诞生是一个边界一样——我们畏惧可能变为现实的时刻，畏惧生命内在地实现的时刻，畏惧意识达致其目标的时刻。正是人类在童稚时代所具有的这一深刻的世界恐惧——它从未离开过高等人类、信徒、诗人、艺术家——使得他在陌生力量的面前感到无比的孤独无依，那隐约可见的陌生力量总是透过感觉现象的帷幕，一开始就威胁着他。至于方向的要素，也是所有的“生成”内在地具有的，由于它毫不容情的不可逆性，使人觉得它也是一种陌生的、充满敌意的东西。于是，人类的追求理解的意志（will-to-understanding）不停地寻求给那不可理解的事物加上一道名称的符咒。想把未来转变成过去，这是超乎我们的理解力的一件事，故此，我们说，与空间相比照，时间永远有一种奇异的、令人困惑和感到压迫的暧昧性，没有一个严谨的人能完全地保护自己，使自己远离这暧昧性。
这种世界恐惧无疑是所有原始情感中最具创造力的一种。人类因为它而拥有了最成熟、最深刻的形式和意象——不仅是他的有意识的内心生活的形式和意象，而且是反映这一生活的无限多样的外部文化的形式和意象。这种世界恐惧，就像一支神秘的旋律，不是每个人的耳朵都能觉察到的，它贯穿于每一件真正的艺术作品、每一种内在的哲学、每一个重要的行为的形式语言中，并且，尽管那能够在数学领域中感觉到它的人为数甚少，可它毕竟存在于伟大的数学问题的根源处。只有生活在秋天的城市——例如汉谟拉比时代的巴比伦、托勒密时代的亚历山大里亚、伊斯兰时代的巴格达、今日的巴黎和柏林——且精神上业已死亡的人，只有纯粹理智的人、诡辩家、感觉主义者、达尔文主义者，才不会有世界恐惧，或者说，才能够经由在他自己与陌生世界之间建起一个毫无秘密可言的“科学世界观”，来逃避这恐惧。如同渴念要把自身附着在某些不可捉摸的东西上，其形态各异的隐秘验证都包含在“时间”一词之中，而不是由“时间”一词来意指一样，那另一种原始情感，即畏惧，也要把自己表现在理智的、可理解的、可描绘的广延的象征之中；由此我们发现，每一种文化皆能意识到（但各有自身的特殊方式）时间和空间、方向和广延的对立，其中每一对立的前者是后者的基础，如同生成先于已成一样。渴念才是畏惧的基础，并最后会变成畏惧，而不是相反。前者不会屈从于理智，后者则是理智的奴仆。前者纯重经验，而后者纯重知识。用基督徒的话说，这两种世界感的对立可以表述为：“畏惧上帝与爱上帝。”
在所有原始人类的心灵中，如同在新生幼儿的心灵中一样，总有某个东西驱使它去寻找各种手段，以应对广延世界的陌生力量，这陌生力量严酷而坚定地布满了整个空间。依附或约制也好，安抚或“认识”也罢，所有这一切，在最终的意义上说，其实都是一回事。在所有原始时期的神秘主义中，所谓认识神，就意味着去祈求他，使他成为有恩赐的，使他成为可内在地利用的。这主要的是借助于一个词来达成，那就是神之名（the Name）——那命名和呼召“神意”（numen）的“神的名号”（nomen）——有时还借助于具有神秘力量的仪式实践；在人类的这种防卫行动中，最精妙、最有力的形式，便是那因果的定律与系统的知识，它们运用符号标记和数字来限定一切。从这方面说，人只有当他获得了语言时，才是完整意义上的人。当认识已经成熟到可以用语言来表达时，那原初的混沌印象必然就能转变成一个具有各种定律且必须遵循这些定律的“自然”，那自在的世界（world-in-itself）就会变成一个为我们的世界（world-for-us）。[76]
当理智的形式语言铸就为青铜器一样的容器，把神秘的事物全捕获进来，使其变得可以理解之后，世界恐惧也就平息了。这便是在所有原始人的精神生活中扮演决定性的角色的“禁忌”观念[77]，尽管“禁忌”一词的原始内涵距离我们已经甚为遥远，以至于很难转译为任何成熟的文化语言。盲目的恐惧、宗教的敬畏、深刻的孤独、忧郁、憎恨，还有想要靠近、结合或逃避那神秘之物的模糊冲动——所有形成成熟心灵的情感的这一切，在孩童状态下都因为一种单调乏味的优柔寡断而变得含混不清。“conjure”一词有两个含义，即它既意味着结合（bind），又意味着祈求（implore），这两个含义有助于我们去理解对于原始人来说可怕的异己之物变成“禁忌”的神秘过程的意义。在那独立于人的自我的东西面前，在那由规律统辖和固定着的事物面前，在世界的异己的陌生力量面前，虔诚的敬畏感乃是基本的构型行为得以涌现的共同源泉。在人类历史的早期，这种情感就实际地体现在装饰中，体现在不厌其烦的仪式和礼仪中，体现在原始人严格的交往规则中。在伟大文化的巅峰，那些文化形态尽管还内在地保留有其源头的标记，如结合和祈求的特征，但它们已变成了各类艺术以及宗教的、科学的，尤其是数学的思想的完整的形式世界。所有文化所共有的一种方法——亦是各文化的心灵所知道的用来实现自身的唯一途径——便是把广延象征化，把空间或事物象征化；我们发现，在遍及以下各个事物的绝对空间概念中，也可见到这样的方法：牛顿的物理学、哥特式教堂的内部空间、摩尔人的清真寺、伦勃朗的绘画中那弥漫的无限性、贝多芬（Beethoven）的四重奏中那阴暗的音响世界；还有欧几里得的规则的多面体、帕台农神庙的雕刻、古埃及的金字塔、佛陀的涅槃；以及塞索斯特里斯（Sesostris）[78]、查士丁尼一世和路易十四治下宫廷习俗的孤芳自赏；以及埃斯库罗斯、普罗提诺和但丁这样的人心目中的上帝观念；再有就是现代技术中那包容世界的空间能量。
十二
再回到数学。在古典世界里，每一构型行为的出发点，如我们所看到的，就是对“既成之物”的秩序化，因为这既成之物是当下在场的、可见的、可度量的和可计数的。相反，西方的哥特式的形式感乃是一种不受约束的、具有强烈意志的、无所不及的心灵的形式感，它所选取的表征，是纯粹的、不可感知的、无限的空间。但是，我们不要由此认为这种象征是无条件的。相反，它们受到严格的条件限制，尽管我们倾向于认为它们有着同一的本质和有效性。我们的宇宙是一个无限空间的宇宙，它的存在在我们看来是不待赘言的，可是，对于古典人来说，却根本不存在，甚至根本无法呈现在他的眼前。另一方面，希腊人的宇宙秩序，正如我们很久以前就已经发现的，整个地是我们的思维方式所不熟悉的，可对于希腊人而言，却是自明的。事实上，我们的物理学中的无限空间，乃是心照不宣地假定的极其繁多且极端复杂的要素的一种形式，这些要素之所以存在，只是因为我们的心灵对它们的复制和表现，而它们之所以是现实的、必要的和自然的，只是因为我们的醒觉生命的特定类型。这些简单的观点常常也是最晦涩的。说它们是简单的，那是因为它们所包容在内的那一广阔的存在，不仅不能诉诸言语，甚至也不必诉诸笔端，因为，对于属于某一特殊群体的人而言，这一广阔的存在只能在直观中加以解决；说它们是晦涩的，那是因为，对于所有外来的人们而言，它们的实际内涵事实上是无法理解的。这样一种既简单又晦涩的观点，正是“空间”一词在我们西方人眼中的特殊意义。自笛卡儿以来，我们整个的数学都投身于对这一伟大且整个地具有宗教意味的象征的理论阐释中。自伽利略以来，我们的物理学整个的目标都是同一的；但在古典数学和物理学中，“空间”这个词的内涵根本无人知道。
在此，我们从希腊文献中所承袭来的且仍在使用的那些古典的名称，也掩盖了诸多的事实。“几何学”指的是度量的艺术，“算术”指的是计算的艺术。西方人的数学早就与这些下定义的方式脱离了关系，但它还没有办法为自己的对象给出新的名称——因为“分析”这个词是远远不够充分的。
古典数学自始至终都在考虑各别实体及其边界—表面的特性；所以也会间接地考虑到二次曲线和高次曲线。相反，我们归根结底只知道“点”这个抽象的空间要素。点，既不能看到，也不能被度量，当然也就不能被定义，它只代表一个参照系的中心。直线，对于希腊人而言只是一个可度量的边界，可对于我们而言，却是点的无限连续体。莱布尼茨在说明他的微分原理时，曾把直线描述为圆的一种极限情形，把点描述为圆的另一种极限情形，前者圆的半径为无限大，后者圆的半径为无限小。但是，对于希腊人来说，圆乃是一个平面，而他们所感兴趣的，乃是如何才能使圆变成可以度量的状态。因而，如何把圆变成正方形，便成为古典心智最最重要的问题。古典的世界形式中，最深奥的问题，便是在不改变大小的情况下，如何把由曲线围成的表面变成矩形，从而使它成为可度量的。可另一方面，对于我们而言，这个问题太过稀松平常，没有什么特别的重要性，实际上，我们可以借助代数手段来表达π这个数字，而不用考虑其几何形象。
古典数学家只能认识他所看到的和把握到的。他所思考的领域，就在于明确的、可下定义的可见性，当这种可见性不复存在时，他的科学也就走到了终点。而西方数学家，一旦完全摆脱了古典偏见的束缚，便进入一个全然抽象的领域，进入无限多“维”的n度空间，而不再只是三度空间。在此n度空间的抽象领域里，他所谓的几何学，通常都不需要任何常识的帮助，一般来说，也不必这样的帮助。当古典人在艺术中来表现其形式感时，他都会使用大理石和青铜去赋予那些舞蹈的或角力的人体以各种姿态，在那里，大理石和青铜的表面和轮廓全都具有一种可把握的特性和意义。但是，真正的西方艺术家却闭上眼睛，沉迷于无形体的音乐的王国，在那里，和声和复调把他带入全然“超脱”（beyondness）的形象中，这些形象超越了一切可加以视觉定义的可能性。人们只需要思考一下“形象”（figure）这个词在希腊雕刻家和北方的对位作曲家的使用中各自的意义，就能明白我们所说的意思了，就能直接地描述这两个世界、两种数学的对立了。希腊数学家一直用σωμα（形体）一词来表达他们的实存，如同希腊的法学家用这个词来表达与物有区别的人（σωματα και πραγματα：法人）一样。
因此，古典的数——整数和实数——必然要寻求把自身同有形体的人即“σωμα”的诞生联系在一起。数字1几乎还不被视作是一个实际的数，而是被视作αρχη（始基），整个数系的基质（prime stuff），是所有真正的数的源头，因而也是所有量、所有度量和物质性的源头。在毕达哥拉斯学派的盟会中（日期并不重要），1这个数的图示符号也是母体子宫的象征，是所有生命的源泉。2这个数是第一个真正的数，是双重的1，故而和男性原则有关，且被赋予菲勒斯的符号。最后，在毕达哥拉斯学派那里，3是一个“神圣的数”，指谓着男人和女人的结合，代表了繁殖的行为——这一色情的意味在加法和乘法（古典人所仅知的两种数量增加或繁殖的运算方法）中是显而易见的——而它的符号则是前两者的结合。就这样，所有这一切都对前面提及的有关揭示无理数的亵渎行为的传说给出了一种全新的解释。毫无疑问，毕达哥拉斯学派对古典宗教的改革，本身就是建立在古老的得墨忒耳崇拜的基础上的。得墨忒耳[79]、盖亚[80]，都与地母有关系。在加于她们身上的荣誉与这一受到推崇的数字概念之间，存在着一种深刻的联系。
因此，不可避免地，古典文化渐渐地成了一种注重“小”的文化。其阿波罗式的心灵试图借助可见的界限这一原则来把捉既成之物的意义；它的禁忌集中施于直接在场的、最最接近的陌生事物上面。至于那些玄远的、不可见的东西，事实上都是“不存在的”。希腊人和罗马人一样，都把自己的热情献给了他赖以寄居的那个空间范围的神灵；所有其他的神灵都是视力所不及的。恰如希腊语——我们将一次又一次提及这种语言现象强大的象征意义——没有用以表达空间的词一样，希腊人自己也缺乏我们对景观、地平线、展望、距离、云彩等所具有的那种感受，缺乏对广袤无涯的、环抱着伟大的国家的国土的观念。故土，对于古典人来说，就是他从家乡小镇的城堡一眼能望见的一切。所有超出这一政治原子的视力范围之外的一切，都是陌生的，也是有敌意的；超出了那一狭窄的范围，就会顿生恐惧，因此，由于这种不堪忍受的痛苦，那些小镇总是相互倾轧。城邦是所有可以想象的国家形式中最小的，它的政策是直接针对小范围的，这与我们自己的内阁外交是极度不同的，后者的政策是无限范围的。同样地，古典的神庙是所有第一流的建筑中形制最小的，一眼便可以看尽。古典几何学，从阿基塔斯到欧几里得——今日学校里所学的几何学，仍是以它为主导——所关心的只是小的、可以处理的图形和物体，因此对绘制天文维度的图象时会产生什么样的困难一无所知，因为在许多情况下，欧几里得几何学对于绘制天文图象根本不适合。[81]如果不是古典文化太局限于微小而切近的事物，则精妙的阿提卡精神，几乎可以确定，必能解决非欧几何的某些难题，因为它曾对著名的“平行”公理[82]提出过批评，虽然它的怀疑很快引起了反对的意见，但并未获得合理的阐明。这一批评实际上十分接近于非欧几何的决定性的发现。古典心灵不加怀疑地投身于或者说把自己局限于小的和切近的东西的研究，就如同我们的心灵不加怀疑地投身于或局限于无限的和超视觉的事物的研究一样。西方人凭自己发现的或从别人那里借来的所有数学观念，都自动地从属于微分的形式语言，并且早在真正的微积分发明之前就已经这么做了。阿拉伯的代数、印度的三角、古典的力学，事实上全在数学分析中被合并为一个东西了。甚至连初等算术中最“自明的”算式，如2×2=4，一当以数学分析来考虑，也变得有问题了，而对这些问题的解决只有通过集合理论的演绎才是可能的，可即便如此，还是有许多难点未能解决。柏拉图和他的时代也许会把这种东西不仅看作是错觉，而且看作是一个全然非数学的心灵的证据。在某些情形下，几何可以用代数的方式来处理，而代数也可以用几何的方式来处理，这就是说，我们的眼睛可以闭上，也可以让我们的眼睛来统领一切。我们采取的是前一种态度，而希腊人采取的是第二种态度。阿基米德在对螺线做的美妙的处理中，已经触及了某些一般的事实，这些事实在莱布尼茨的定积分方法中也是基础性的；但是，阿基米德的研究，即便与近代的研究有着一切表面的相似，也仍是从属于测体术的原则的；同样的情形，印度的数学家自然也可以发现某些三角公式。[83]
十三
从古典数字与西方数字的这一根本对立中，产生出了一个同样根本的区别，那就是要素间的关系在这两个数字世界中的区别。在古典数学中，数量之间的联系被称作比例；在西方数学中，关系之间的联系全包含在函数的观点中。“比例”和“函数”这两个词的意义不只局限于数学；它们在雕塑和音乐这两个相关的艺术领域也极为重要。除了在单体雕像各部分的安排中，比例占有很重要的地位之外，雕像、浮雕、壁画等典型的古典艺术形式，都有尺度的扩大与缩小——但在音乐中，这些词毫无意义——正如我们在钻石工艺中所看到的，在那里，主题本质上是原石料按比例的缩小。相反，在函数的领域，具有决定性的重要意义的，乃是群的转换，音乐家也乐于承认，同样的观念在现代作曲理论中也具有本质的地位。我只需提及18世纪最美妙的一种管弦乐形式——变奏曲，便足可证明这一点。
所有的比例，都是基于各要素的不变性，而所有的转换，都是基于各要素的可变性。例如，比较一下全等定理（congruence theorems）的不同证明：欧几里得对它的证明事实上有赖于一个事先假定的1∶1的比率，而近代数学是通过角函数来演绎出相同的定理。
十四
古典数学整个地是一种构建（construction）（广义上说，它包括初等算术），也就说，是某个单一的、在视觉上在场的图形的生产。在这一可称作第二雕刻的艺术中，圆规就是它的凿子。而另一方面，在函数研究中，对象不是以体量大小表现出来的结果，而是对一般的形式可能性的讨论，其工作方式可最好地描述为一种与音乐十分类似的作曲程序；并且事实上，有许许多多的观念与音乐理论（例如音调、乐句、音阶等）是交汇的，这些观念皆可直接运用于物理学，至少可以证明，有许多关系通过这种运用可以得到说明。
每一个构建，都是一种断言，每一次运算，都是对表象的一种否定，因为前者所获得的结果，在视觉上是给定的，后者所获得的结果，则是对表象的解决。也是因此，我们还会遇到这两种数学之间的另一个差别；研究小的事物的古典数学，处理的是具体的个例，产生的是一个一劳永逸的构成，而研究无穷的数学，处理的是全部种类的形式可能性，是函数、运算、方程式、曲线的群，并且所着眼的不是这些东西最终达致的任何结果，而是它们的进程。就这样，在最近的两个世纪里——尽管现今的数学家几乎没有意识到这一事实——逐渐地产生了数学运算的一般形态学的观念，我们在总体地论及近代数学的实际意义时，便可以证明这一点。所有这一切，正如我们将越来越明确地感觉到的，都是西方才智所固有的一般倾向的一种体现，这种倾向是浮士德精神和浮士德文化所固有的，在其他的精神和文化中是看不到的。我们的数学有为数众多的难题，这些难题常常被视作是“我们的”难题，如同如何把圆周化成正方形是希腊人的难题一样——例如，无穷级数中的收敛（convergence）问题（柯西）[84]，把椭圆积分和代数积分转换成双周期函数的问题（阿贝尔[85]、高斯）[86]，这些问题，在追求简单、明确的定量结果的古代人看来，也许不过是相当艰深的高超技巧的一次展示罢了。其实，甚至今天的大众在心里也是这么认为的。根本就没有什么“大众”的近代数学，尽管它也包括有无穷远即距离的象征主义。所有伟大的西方作品，从《神曲》到《帕西伐尔》，都是非大众的，而古典的一切，从荷马史诗到帕加马（Pergamum）[87]的祭坛，都是极其大众化的。
十五
因此，最后，西方数字思想的全部内涵，都集中到了浮士德式的数学那个具有历史意义的“极限问题”上，这个问题是通向无穷的关键，而浮士德式的无穷，与阿拉伯人和印度人的世界观中的无穷是完全不同的。无论数字在特定情形中以什么样的伪装显现出来——无穷级数也好，曲线或函数也好，其真正的本质，都是极限的理论。这一极限，与古典的求圆面积的问题中所标示出来的（尽管没有这样称呼）极限，是绝对相反的。一直到18世纪，欧几里得几何学中流行的先入之见仍在混淆着当时的微分原理的真正意义。无穷小量的观念，可以说是唾手可得，可是，无论数学家们的处理有多么的娴熟，无穷小量的概念仍残留有古典常量的痕迹，仍有着数量大小的外貌，尽管欧几里得根本不知道这个概念，也根本不承认无穷小量的存在。因此，零是一个常量，是从+1到-1的线性连续体中的一个整数；可是，在欧拉的分析研究中，它却是一个绝大的难题。和他之后的许多人一样，欧拉要处理的是零的微分。只是到了19世纪，古典的数字感的这种遗迹才最终被消除，经由柯西对极限观念的明确阐述，微积分才获得了逻辑上的保障[88]；只有当人们迈出理智的一步，从“无穷小量”转向“任何可能的确定量的最低极限”时，才产生出了在任何非零的可指定数的下面摆动的变数的概念。这种变数，已不再具有任何量的特征：就这样，最终由理论所表达出的极限，不再是对某一数值的趋近，而是其本身就是趋近，就是过程，就是运算。所以，极限不是一种状态，而是一种关系。并且因此，在我们的数学的这一决定性的难题中，我们突然间看到，西方心灵的构成是多么的具有历史性。
十六
把几何学从视觉的范畴中解放出来，把代数从量的观点中解放出来，然后在函数论的伟大结构中把两者结合在一起，超越图形与计算的所有基本局限——这便是西方数字思维的伟大进程。古典数学的常数消融于变数中。几何学成为解析性的，被消解了所有具体的形式；抽象的空间关系取代了数学的实体——严密的几何值便是从它那里获得的——这种空间关系到最后根本不能运用于感觉的、当下的现象中。至于欧几里得的视觉图形，亦被坐标系中任意选定的一个“原点”的几何轨迹所取代；几何客体被假定的存在之客观性，亦被还原为一种条件，即在运算过程中（运算本身便是列等式的过程，而不是度量的过程），所选定的坐标系不应被改变。而这些坐标本身可直接视为是纯粹而简单的数值，其作用不是去决定，而是去代表或取代点作为空间元素的位置。数字作为既成之物的边界，不再像以前是历史地由一个图形来代表，而是由一个方程式来象征地代表。“几何学”的意义改变了；坐标系作为图象化的过程消失不见了，点成了一个完全抽象的数群。在建筑中，我们发现从文艺复兴到巴洛克的这一内在的转变，是通过米开朗基罗和维尼奥拉（Vignola）[89]的创新完成的。视觉上纯粹的线条，在宫殿和教堂的立面上如同在数学中一样，变得无效了。取代我们在罗马—佛罗伦萨的柱廊和楼层中看到的明确的坐标，“无穷小”出现在优雅地流动的元素中，出现在涡形装饰和漩涡花饰中。构成物被消融在装饰——用数学语言来说，函数——的丰富性中。立柱和壁柱成组成簇地组合在一起，先是打断立面的连续性，再把它聚合起来，接着又无情地将其打散。墙体的表面、屋顶、楼层，全被融入大量的毛粉饰（stucco work）和装饰中，消失了，化为光与影的游戏了。当光在成熟的巴洛克——亦即从贝尔尼尼[90]（1650年）到德累斯顿、维也纳和巴黎的洛可可风格这个时期——的形式世界中进行游戏时，光本身就变成了一个本质上音乐性的元素。德累斯顿的茨威格宫[91]就是一部交响乐。和18世纪的数学一起，18世纪的建筑发展成了富有音乐特征的形式世界。
十七
我们时代的这种数学在发展过程中必定要走到一种状态：在那里，不仅人为的几何形式的极限，而且视觉本身的极限，实际上都被我们的理论以及我们的心灵视作是一种限制，视作是一种障碍，阻碍了内在可能性做毫无保留的表现——换句话说，在那里，超验的广延理想，与直接感知的局限发生了根本的冲突。古典的心灵，由于全身心地沉浸于柏拉图和斯多葛派的αταραξια（不动心），而屈从于感觉，并且（正如毕达哥拉斯学派的数那隐含的色情意义所显示的）这一心灵与其说是发送（emitted）不如说是感受（felt）其伟大的象征。它根本不可能超越此时此地的具体存在。但是，正如毕达哥拉斯学派的一名成员所认为的，数展示了“自然”中各别的和离散的事实的本质，而笛卡儿和他的后继者则把数看作是某种应当被征服的东西、应当被榨取的东西，看作是一种抽象的关系，与所有现象的支撑物全然无关，但却能在一切场合在“自然”中突出自己。自《埃达》（the Eddas）[92]、大教堂和十字军的最初哥特时期开始，甚至自古代征战的哥特人和北欧海盗开始，权力意志（用尼采的伟大表述说）就已经显示出了北方心灵对待其世界的态度，同时也在追求感官超越的热情中显示出了西方数字的动力学。在阿波罗式的数学中，才智是眼睛的仆人，而在浮士德式的数学中，才智是眼睛的主人。因此，我们看到，西方数学的“绝对”空间完全是非古典的，自一开始，它就不同于日常经验和传统绘画中那种不确定的空间性，亦不同于康德的先验空间——它看起来像是一个毫不含糊的、确然的概念——虽然数学家们出于对希腊传统的尊敬而不敢面对这一事实。绝对空间是心灵的一种纯粹抽象，是心灵的一种理想的、无法实现的意愿，这心灵越来越不满足于感觉的表达手段，终于狂热地把这些手段弃之一旁。内在的眼睛觉醒了。
于是，第一次，那些深刻的思考者不得不承认，欧几里得几何，这个在所有时代皆视为真实且唯一的几何学，若从更高角度看，不过是一种假设而已，其普遍的有效性，自高斯以来，面对其他完全非感觉的几何学，我们就知道是根本不可能获得证明的。这种几何的一个关键命题，即欧几里得的平行公设，只是一种论断，因为我们还可以代之以另一个论断。事实上，我们可以断言说，通过某一给定的点，或是不可能有平行线，或是有两条平行线，或是有更多的平行线，可以平行于某一给定的直线，而所有这些假设，都可以导向一种完全无懈可击的三维空间的几何学，这些几何学都可以应用于物理学，甚至天文学，而且在某些情形下，可能更优于欧氏几何学。
甚至一个简单的公设，如广延是无边界的——自黎曼和曲线空间理论以后，就必须把无边界性和无终止性区分开来——也与所有直接感觉的本质特征相冲突，因为后者有赖于光阻（light-resistance）的存在，故而它事实上是有物质性的边界的。但是，抽象的边界原理可以想象成是：在一种全新的意义上超越视觉界定的可能性。在深刻的思想家看来，甚至在笛卡儿的几何中，也存在超越三维的经验空间的倾向，因为这种几何把三维的经验空间视作是对数字象征符号的一种不必要的限制。虽然，直到1800年左右，多维空间（遗憾的是，找不到更合适的词）的概念才为数学分析奠定了更广泛的基础，但向此迈出的真正的第一步，是在乘幂——实际上即是对数——脱离了原先与感觉上可认知的面积和体积的关系，并通过无理数和复数指数的运用而进入函数的领域，成为纯粹的一般关系值之后。任何一个稍微懂点数学推理的人，都会承认，当我们从把a3看作是一个自然最大值发展到把an看作是自然最大值时，三维空间的无条件的必然性便随之被取消了。
一旦空间要素或者说“点”不再残留有视觉性的最后遗迹，而且不再是作为坐标线上的一种切割被呈现在眼前，而是被界定为由三个独立数构成的一个群，我们便不再有任何一致的理由来反对用一般的数字n取代数字3。维度的概念被根本地改变了。它不再是以度量的方式，参照“点”在某一可见系统内的位置，来处理点的特性的问题，而是借助我们所愿意的任何维度，来表达完全抽象的数群的特性的问题。数群——包含有n个独立有序的要素——是点的意象（image），因而亦可称之为是一个点。同样地，由此而逻辑地获得的方程式，亦可称之为是一个平面，是一个平面的意象。至于n维度中所有点的集合，则可称之为是一个n维空间。[93]在这些远离任何感觉主义的超越性的空间世界里，就存在着所谓的关系，这便是我们的分析所要探讨的对象，而我们也发现，这些关系与实验物理学的数据常常是一致的。这种高级的空间，正是西方心灵的整个特性的一个象征。唯有这种心灵，才会尝试用这些形式去捕获“既成物”和广延物，才会尝试通过这种挪用或禁忌去祈唤和结合——或者说去“认识”——那陌生的东西，并会取得成功。这些数字思想的领域，不是任何人都可以达到的，只有极少数人能探得真谛。在尚未达到此等领域之前，诸如超复数（hypercomplex numbers）系统（亦即矢量微积分的四元法）这样的想象物，以及那些看起来毫无意义的符号表达，例如n，都不会获得什么实际的特征。在此，只有理解了此等数字思想的领域，那种现实性才不仅仅是感觉的现实性。精神为实现自己的观念，决不会把自己局限于感觉形式。
十八
从对象征性的空间世界的这种伟大的直观出发，便产生了西方数学最终的结论性的创造——在群论中把函数论加以扩展和精练。“群”，即是同源的数学意象的集合，例如，某一类型的所有微分方程之总体，便是一个“群”。“群”在结构和秩序上类似于戴德金的“数体”（number-bodies）。在此，我们所感受到的，是全新的数的世界，对于行家的内在视觉而言，这世界并非全然地在感觉上是超验的；现在的问题在于，必须在这些庞大的抽象形式系统中，找出一些元素，相对于一种特殊的运算（如系统的转换）时，它们却能不受影响，就是说，可以保持不变。用数学的语言来说，这个问题，正如克莱因（Klein）[94]所一般地阐述的：给定一n维的簇面（“空间”）及一组转换，需要考察的，乃是属于该簇面的诸形式不会因为“群”的转换而改变其既有的诸特性。
到了这一顶峰之后，我们的西方数学，作为浮士德心灵的观念的投影和最纯粹的表现，已耗尽了其每一种内在的可能性，完成了它的命运，就这样，它终止了自身的发展，一如古典文化的数学在公元前3世纪终结了一样。这两种科学（甚至在今天，能历史地考察其有机结构的，也只有这两种数学了），皆产生于一种全新的数的观念，在古典的情形中，是毕达哥拉斯的数的观念，在西方的情形中，是笛卡儿的数的观念。两者皆在百余年之后展尽了其所有的风采，达致其成熟的境界；两者皆在繁荣了三个世纪之后，皆于各自的文化步入大都市文明的时刻，完成了其观念的结构。这种相互依赖的深刻意义，马上就会给以说明。而此刻，对我们而言，明白伟大的数学家的时代已成过去，就已经够了。我们现今的工作，就是保存、润饰、修正、选择——而不再是伟大的动力性创造，这与晚期希腊化时代的亚历山大里亚数学所表现的巧妙的细节修补的特征是一样的。
下面的历史图表可以更清楚地说明两者之间的关系：
| 古典数学 | 西方数学 |
|---|---|
| 1.新的数字概念 | |
| 约公元前540年 | 约公元1630年 |
| 数作为度量 | 数作为关系 |
| （毕达哥拉斯学派） | （笛卡儿、帕斯卡尔、费马） |
| （牛顿、莱布尼茨，1670年） | |
| （约公元前470年，雕刻胜过壁画） | （约公元1670年，音乐胜过油画） |
| 2.系统发展的顶峰 | |
| 公元前450—前350年 | 公元1750—1800年 |
| 柏拉图、阿基塔斯、欧多克斯 | 欧拉、拉格朗日、拉普拉斯 |
| （菲狄亚斯、普拉克西特列斯[95]） | （格鲁克、海顿、莫扎特） |
| 3.图形世界的内在完成与总结 | |
| 公元前300—250年 | 公元1800年之后 |
| 欧几里得、阿波罗尼乌斯、阿基米德 | 高斯、柯西、黎曼 |
| （吕西波斯、莱奥卡雷斯）[96] | （贝多芬） |
[1]需要注意，在斯宾格勒的使用中，首字母大写的“存在”（Being）时常是指生命或有机体的存在，故而是一个发展的概念，而小写的“存在”（being）常常指一种既成状态，但有时也包含有前面的意思，我们只能针对具体的语境去理解。——中译者注
[2]这三个用法分别是康德的、叔本华的和费希特的。——中译者注
[3]在斯宾格勒的理解中，“心灵”代表着生命的可能性方面，是有待展开、有待实现的方向本能，而“世界”是生命或心灵的实现与完成，世界作为现实性不是与人无关的外部客观性，而是生命本质的象征化。——中译者注
[4]Weltanschauung im wörtlichen Sinne；Anschauung der Welt.（严格字面意义上的“世界观”；对世界的观点）。
[5]在斯宾格勒的理解中，“文化”是一个生存论的概念，既指一定时代的存在总体，也指该时代的人们对自我、环境及自我与环境的关系等的认知和表现。所谓原始人没有文化，说的是原始人的心灵还没有形成自我意识，还无法用确定的形式语言来表达或反映自我、环境及其关系。——中译者注
[6]处在无历史的状态中的人类的情形，将在第2卷加以讨论。参见本书第2卷第48页以下。
[7]而且还具有一种“生物学的视界”。参见本书第2卷第30页。
[8]在斯宾格勒的理解中，“数”或“数字”不是指具体的数字符号，如阿拉伯数字，而是指一定文化的人们借以表达其世界感受的形式语言，是文化的原始象征——如同艺术的形式语言是另一种原始象征一样——不同的数学形态，如欧氏几何和非欧几何，只是该象征在不同文化中的具体表现形式。“数的意义”，这整个的一章不过是以“数”的文化史为例证来对文化象征主义做的一个说明。——中译者注
[9]参见本书第2卷第268页以下。
[10]“编年学的数”和“数学的数”是斯宾格勒的数的形而上学的一对范畴，它们之间的对立就犹如“历史”与“自然”、“心灵”与“世界”之间的对立。实际上，并不存在什么“编年学的数”，或者说它不过是生命和历史的“周期”（童年、青年、壮年、老年）、“划时代”这类概念的另一种说法。——中译者注
[11]还有“金钱思维”。参见本书第2卷第481页以下。
[12]古埃及第四王朝约在公元前2700年左右。——中译者注
[13]斯宾格勒这里指的是古埃及的古王国时期，包括第一至第六王朝，相当于公元前4000年至前2100年左右。金字塔的修建大约始于第三王朝，到第四至第六王朝时期达到极盛，这个时期亦是古埃及公共建筑工程的繁荣期。——中译者注
[14]阿赫姆斯：公元前1700年左右古埃及的一位书记官，他的写在草片文书上的算术题及其解答——阿赫姆斯算术——在1858年被一位英国人所发现。——中译者注
[15]前者指康德所谓的“必然性”，后者指康德所谓的“普遍性”，因为依照康德的定义，先天知识是一种具有普遍必然性的知识。在下面，斯宾格勒批评说，康德关于“先天性”的定义实际上忽视了知识的“历史”或“文化”维度，他所要求的普遍必然性其实只具有局部的有效性。——中译者注
[16]也包括法律和金钱的形式语言。参见本书第2卷第60、490页以下。
[17]黎曼（1826—1866）：高斯的学生，19世纪最伟大的数学家之一，在多值函数、微分几何等领域的研究成就卓著。——中译者注
[18]维尔斯特拉斯（1815—1897）：19世纪德国数学家，在复函数领域的研究为世人所关注，尤其是，他的研究是在跟数学界没有任何接触的情况下完成的。——中译者注
[19]这些都是古希腊的乐器名。——中译者注
[20]芝诺多罗斯（活动时期公元前200到前100之间）：古希腊数学家，据传写过一本研究等周形（具有相等周边的图形）的著作，提出了一系列涉及极大极小问题的定理，如“周长相等的n边形中，正n边形的面积最大。”——中译者注
[21]塞利努斯（活动时期公元前2至前1世纪）：亚历山大里亚几何学家。——中译者注
[22]希普西克勒（活动时期约公元前150）：亚历山大里亚数学家。欧几里得的《几何原本》原为十三篇，后来人们又续写了两篇，其中第十四篇即为希普西克勒所写；据传他还写过一本《论恒星的升起》，把圆周划分为360度。——中译者注
[23]丢番图（约246—330）：亚历山大里亚数学家，以研究代数著名，《算术》是他最有名的作品，其中最突出的成就是对不定方程的有理数解的探讨，另外他还是第一个把符号引入希腊代数的人。——中译者注
[24]阿拉米人：古代生活在中东地区尤其是叙利亚以北广大地区的一个部落联盟，其文化和科学对晚期古典世界产生过重大影响。——中译者注
[25]这里指的是以波利克勒斯为代表的希腊雕刻家。——中译者注
[26]阿那克西曼德（活动时期约公元前570）：古希腊米利都学派的代表人之一，他称本原是一种“无定形”，这其实是对本原的性质的一种描述。——中译者注
[27]赫尔姆霍兹（1821—1894）：德国生理学家、物理学家，独立发现了能量守恒与转化定律，在色彩视觉理论方面亦颇有建树。——中译者注
[28]我们可以补充一点。依据那一传说，以发现有十二个五角形的多面体亦即规则的十二面体（毕达哥拉斯学派认为它是真实的四面体、八面体、二十面体和正方体的世界的精髓——或以太）而声名鹊起的希帕苏斯（Hippasus），和毕达哥拉斯的第八代传人阿基塔斯（Archytas），据称都葬身海底。派生这种十二面体的五角形本身就涉及不可公度的数。“五角星形”（pentagram）是毕达哥拉斯学派的辨识性徽章，而ëλογου（不可公度比）正是他们的特殊秘密。还应当注意，毕达哥拉斯主义一直甚为流行，直到后来它的创始人被发现在从事这些令人惊惧的、具有颠覆性的学说，才受到镇压和追杀——这种迫害与西方历史上的某些异端迫害可在许多深层的方面加以类比。——英译者注
[29]在《蒂迈欧》中，柏拉图用多面体对世界的构造做了极为繁复的说明。——中译者注
[30]詹森派：17世纪荷兰神学家詹森（Jamsen）所创立的一个异端教派，其学说主要在强调，人不能靠自己的善行而只能靠上帝的恩典来得救，一切都是上帝预定的，“沉沦之众”注定只能灭亡。——中译者注
[31]虔敬派：17世纪德国新教路德宗教会中的一派，其主要的主张有：提倡攻读圣经，反对对教义做教条式的解释；注重个人的宗教修养，强调要追求内心的虔敬和圣洁的生活。——中译者注
[32]拉格朗日（1736—1813）：法籍意大利数学家、力学家，创立了变分学，建立了分析力学体系。——中译者注
[33]达朗贝尔（1717—1783）：法国启蒙运动时期的思想家和科学家，百科全书派的代表人物。——中译者注
[34]阿基塔斯（公元前428—前347）：古希腊著名的数学家，毕达哥拉斯学派的成员，曾做过柏拉图的老师，主要的数学成就是对曲线和曲面的研究。——中译者注
[35]欧多克斯（公元前408—前355）：古希腊伟大的数学家、天文学家和地理学家，曾师从于阿基塔斯，后创立欧多克斯学派。其在数学上的一个突出贡献就是引入量的概念，以两个量之比即比例来解决无理数的问题以及几何中的面积比和体积比的问题。——中译者注
[36]奥里斯梅（约1323—1382）：法国数学家，有著作《比例算法》，其中引入了分数指数的记法和一些算法；另外他为研究变化与变化率而提出的图线原理亦对后世数学产生了影响。——中译者注
[37]参见本书第2卷第9页以下。
[38]在阿里斯塔库斯仅存的著作中，实际上仍保持了几何学的观点，因此可以推定，他沉迷于迦勒底的天文学假设仅仅是临时的。
[39]塞琉古（约公元前2世纪）：巴比伦天文学家，日心说的支持者。——中译者注
[40]塞琉西亚：公元前3世纪时为塞琉古王国的东都，公元前2世纪成为一个世界性的城市，并始终保持着一份亲希腊文化的情怀。——中译者注
[41]斯特鲁兹（Strunz）：《中世纪自然科学史》（Gesch.d.Naturwiss.im Mittelalter）（1910年），第90页。
[42]尼古拉·库萨（1401—1464）：又称库萨的尼古拉，文艺复兴时期德国思想家和哲学家，代表作为《论有学识的无知》，另外，他在天文学和数学方面也有很深的造诣。——中译者注
[43]早期希腊人的无穷概念，不是不可计数，而是不可能表达的极大数，阿基米德在一篇题为《算沙法》（Psammites）的论文中，设计了一种计数单位来表达沙粒的数量。——中译者注
[44]阿波罗尼乌斯（约公元前262—前190）：亚历山大里亚伟大的数学家和天文学家，尤以研究圆锥曲线得名，他的《圆锥曲线》一书被认为是古典几何学的登峰造极之作。——中译者注
[45]费马（1601—1665）：法国著名数学家，坐标几何的发明人之一，对数论和微积分皆有突出贡献。——中译者注
[46]这一方法，欧多克斯为其奠定基础，可用于计算金字塔和锥体的体积：“借由这一手段，希腊人便可以避开可怕的无穷概念。”
[47]厄拉多塞尼（约公元前284—前192）：希腊著名的天文学家、地理学家、数学家、诗人、历史学家，曾任亚历山大里亚图书馆馆长，以博学闻名于后世，著有《地理学》一书，其最有名的工作是计算了地球的周长。——中译者注
[48]格拉斯曼（1809—1877）：德国著名数学家，代表著作为《扩张论》（1862年），对超复数的演算引入了“扩张的量”的概念，后来的数学家在他的基础上进一步提出了“张量”的概念。其实，与格拉斯曼同时代的黎曼已经在其几何中对“张量”作了一个扩张的分析。——中译者注
[49]斯宾格勒此处指的可能是黎曼的多值函数理论。黎曼指出，对于函数方程w2=z，相对z的每一个值，w必有两个值，即z的正负平方根。为了说明这两个值集，黎曼引入了平面的概念，设定每一个值集对应一个平面（他又称之为“叶”），两个平面中一个位于另一个的上方，这样，经过z值绕原点（即z=0）分别在上叶和下叶环行一次，便可得到函数方程w2=z的w值的全部范围。——中译者注
[50]西方的数学史家认为丢番图的代数学可能受到了巴比伦数学的影响，但未见有人说他曾受到印度数学的影响。——中译者注
[51]维塔（1540—1603）：法国著名数学家，在平面和球面三角领域卓有建树，提出了众多三角定理；在代数学方面，他从丢番图那里获得启发，用一个系统的字母表示法建立了符号代数学。——中译者注
[52]参见本书第2卷第3章。
[53]戴克里先（约245—316）：罗马帝国的皇帝（284—305年在位），在位期间实施军事独裁统治。——中译者注
[54]曼达派：基督教古代异端派别之一，1—2世纪流行于约旦河东岸。该派吸收了古代巴比伦宗教的教义，认为灵魂将从肉体的束缚下得到解脱，视救赎者是一位类似于基督的“曼达”（意即人格化的生命知识）。——中译者注
[55]摩尼教：3世纪盛行于东方的一种神秘主义教派，因其传说中的创始人摩尼而得名。该教派的一个显著特征是持守光明与黑暗、善与恶的二元论观念。——中译者注
[56]万神庙：建于118—128年，是罗马帝国时期最伟大的宗教建筑，被视为是罗马混凝土拱顶建筑的标志性作品。——中译者注
[57]安条克：叙利亚城市。——中译者注
[58]阿拔斯王朝（749—1258）：伊斯兰历史上的全盛时期。——中译者注
[59]花拉子密（约780—约850）：阿拉伯数学家，以创立“代数学”这门学科的名称而为人所知。——中译者注
[60]阿尔西德施（生卒年不详）：阿拉伯数学家。——中译者注
[61]柯西（1789—1857）：法国数学家和物理学家，在微分方程和复函数理论方面成就卓著。——中译者注
[62]到公元2世纪，亚历山大里亚不再是一个世界城市，而成为抛弃了古典文明的住宅区，里面生活着一群原始的、有着完全不同的精神构成的居民。参见本书第2卷第103页以下。
[63]1637年，笛卡儿出版《论方法》，其中收有三篇科学论文：《屈光学》、《天象》和《几何学》。——中译者注
[64]纳皮尔（1550—1617）：苏格兰数学家，对数理论的发现者。——中译者注
[65]德扎古斯（1591—1661）：法国数学家，影射几何的奠基人，凭着以投射和截景来统一处理几种不同类型的圆锥曲线而成为17世纪西方最具独创精神的数学家之一。——中译者注
[66]同样地，古典文化中的钱币与西方文化中的复式簿记（double-entry book-keeping），也在各自的金钱思维中，形成了类似的对照。参见本书第2卷第486页以下。
[67]卡丹（1501—1576）：意大利文艺复兴时期的数学家、人文主义者，同时还热衷于赌博、占星术、解梦、符咒等，在数学上的主要成就是引入了复数的概念。——中译者注
[68]在罗马法（参见本书第2卷第82页以下）和钱币（参见本书第2卷第490页以下）的问题上，情形亦复如此。
[69]费马在数论方面提出了许多定理，其中有一个定理迄今尚未得到证明，又称“大定理”。这定理是：对于xn+yn=zn，不可能有正整数解。费马把这个定理写在他正阅读的丢番图的书上一个问题（把已给平方数分解为两个平方数之和）的旁边，并补充说：“然而此外，一个立方数不能分解为两个立方数，一个四次方数不能分解为两个四次方数，且一般来说，除平方以外的任何次幂都不能分解为两个同次幂。”费马称他已经找到了这个定理的证明，但由于书上空白地方太少，写不下。后代的数学家竭尽心智，也没能给予证明。——中译者注
[70]戴德金（1831—1916）：德国数学家，高斯的学生，创立了现代代数数的理论。分割理论是他在定义无理数时提出的，这个定义是：如果说一个有理数可以通过对有理数系的分割来确定，那么，通过一种不是由有理数确定的分割，例如通过把所有的负有理数以及非负的且平方小于2的有理数放在一类，把剩下的有理数放在第二类，我们就可以创造出一个无理数来。——中译者注
[71]留基伯（活动时期约公元前440—430）：古希腊哲学家，原子论者，德谟克利特的老师。——中译者注
[72]欧拉（1707—1783）：德国著名数学家、物理学家和天文学家。——中译者注
[73]拉普拉斯（1749—1827）：法国著名天文学家、数学家和物理学家，以研究太阳、地球和月球的三体问题最为有名。——中译者注
[74]格鲁克（1714—1787）：德国作曲家，他的歌剧作品体现了18世纪六七十年代席卷欧洲的“狂飙运动”的狂暴情感。——中译者注
[75]阿尔卡姆内斯（活动时期约公元前5世纪末）：古希腊雕刻家。——中译者注
[76]从野蛮人的巫师——他们以呼召神之名来施魔法——到现代科学家——他们通过给事物贴上技术的标签来驯服事物，人类防卫的形式并无本质变化。参见本书第2卷第138页以下及第264页以下。
[77]参见本书第2卷第116页以下。
[78]此处应是指古埃及第十二王朝国王塞索斯特里斯一世（公元前1918—前1875年在位），在位期间使埃及达到繁荣之巅峰。——中译者注
[79]得墨忒耳：古希腊神话中的谷物之神。——中译者注
[80]盖亚：古希腊神话中的地母。——中译者注
[81]现在，随着非欧几何在天文学中的运用，人们可以开始这么做了。由曲面空间——封闭但没有界限，为距离地球大约470，000，000光年的恒星系所填充——的假设可导出太阳的相反意象的假设，而在我们看来，太阳就像是一个发光的中介星座。
[82]这一公理是：通过一给定的点，只能有一条直线与某一给定直线平行。——这一假设是无法证明的。
[83]我们已不可能确定地说出，我们所知道的印度数学，究竟有多少是古印度的东西，例如佛陀之前的。
[84]所谓无穷级数的收敛问题，是指：若某一级数的项，随符号的交替变化，其绝对值单调趋向于零，那这个级数就是收敛的，例如级数“1+1/2n+1/3n+1/4n+……”，在n＞1时为收敛的（在n＜1时为发散的）。柯西在级数问题上的一个重要贡献在于提出了级数收敛和发散的判别法：取级数的第n+1项与第n项作比，如果当n→∞时它的极限小于1，则级数收敛；如果极限大于1，则级数发散。——中译者注
[85]阿贝尔（1802—1829）：挪威著名的数学天才，椭圆函数论的创始人之一，其中椭圆函数的双周期理论是他的一个伟大发现。——中译者注
[86]斯宾格勒这里指的是阿贝尔的研究椭圆积分的Abel定理和高斯的研究曲面方程的微分几何，它们都涉及极为复杂的方程运算，以斯宾格勒的话说，是高超的技巧展示，但其基本的数学精神都是为了解决无穷性的问题，即斯宾格勒下面说的极限问题。——中译者注
[87]帕加马：小亚细亚西部的古希腊城市，宙斯大祭坛是这座希腊化城市的重要古迹。——中译者注
[88]斯宾格勒这里指的是柯西在19世纪20年代对复函数理论的一系列研究，这一研究为现代数学建立从实（实数）到虚（复数）的过渡奠定了基础。——中译者注
[89]维尼奥拉（1507—1573）：意大利著名的巴洛克艺术家，他主持设计的罗马耶稣会教堂被视为是巴洛克建筑的第一个代表作。——中译者注
[90]贝尔尼尼（1598—1680）：意大利最伟大的巴洛克艺术家。——中译者注
[91]茨威格宫：德国巴洛克建筑的代表作，建成于1713年，这一建筑其实是巴洛克与洛可可两种风格的混合。——中译者注
[92]《埃达》：北欧冰岛最早的一本诗歌集，诗集大约成书于12世纪，多为神话诗、教谕诗以及一些英雄史诗的片断。——中译者注
[93]从“集合论”的角度看，一个秩序井然的点的集合，无论其维度图形如何，皆可称为是一个“体”（corpus），而对于一个n-1维的集合，则可看作是——相对于n维的一个集合而言——一个“面”（surface）。故而，某一“集合”的界限（边界），代表着一个低“势”（potentiality）的集合。
[94]克莱因（1849—1925）：德国数学家，在线性微分方程、影射几何、拓扑学等领域卓有建树。1872年，他在Erlanger大学的一次演讲中提出了著名的“Erlanger纲领”，这一纲领中的一个基本观点是：不论度量几何还是影射几何，它们都由变换群所刻画，并且每种几何所要做的，实际就是在这个变换群下来考虑其不变量。——中译者注
[95]普拉克西特列斯（活动时期约公元前370—前330）：古希腊伟大的雕刻家。——中译者注
[96]吕西波斯和莱奥卡雷斯都是古希腊雕刻家。——中译者注