③奇偶原理

我们可以从问题是否可能具体区分成两个互不重叠的类别，来得知问题有没有解吗？

父母之间的性别差异，是传宗接代的先决条件。

──出自政治教育信息第206号：德意志联邦共和国的家庭

人类这种生物，发明了分门别类。科学及日常生活中充满了物种、属、纲目、时期、部门、组别和构成要素。几乎所有的事物都能经过排序、分类与归类。最简单的分类形式是对整体事物的二分法：偶数和奇数、暗与亮、静与动、白与黑、阴和阳。

我们不断地按此简单的原则，把这个多样化的世界划分成二元对立的世界。举例来说，现在想一下你所有的朋友，并将他们分成理性和感性两组。除了几个模棱两可的情况，这个任务通常并不困难。理性与感性这两种概念，大致上算是明确的概念，但即使用不同的类别，通常也很容易归类。例如我们可以考虑艺术史家贡布里希（Ernst Gombrich）想出的“乒”与“乓”的用语。虽然是不具定义的艺术用语，但仍然可以轻易作为划分世间事物的明确类别。针是什么？当然是“乒”，就像星星、铅笔、碰撞、政变。那么一本书呢？大概是“乓”，就像汤匙、抹布、传说、方向盘、爱抚。此外，就像先前我们把朋友分成理性与感性两类，你肯定也能把东西分成乒与乓两类。这个例子正说明了人类心智的灵活度以及想要化繁为简的倾向，甚至碰到本身毫无意义、未定义的类别，譬如乒与乓，也丝毫未减。

哲学上的有趣二元分类法，是分类为左右两种空间。事实上，我们可以将空间概念哲学化与数学化。康德（Kant）与维根斯坦（Wittgenstein）正是思索过左右二分哲学的两位思想家。康德拿左右手为例，说：“还有什么会比我的手或耳朵在镜子中反射的影像，看起来更像，且在各方面都等同于我的手或耳朵？尽管如此，我可以在镜中看到一只手，它并不在原来的位置上，因为如果它是右手，在镜中会变成左手，而镜中的右耳事实上是左耳，但绝对不能替换前者。只在没有内在差异下，才能思考任意放置的可能性；但就感官上而言这个差异是内在的，因为左手与右手虽然彼此相等且相似，却不能包含在同样的界限内（它们不可能全等），一只手的手套不可能戴在另一只手上。”

在同一段落中，他还写道：“因此我们可以分辨相似、相同但不全等的事物之间的差异（例如蜗牛的螺旋），不是经由单一的概念去理解，而是通过左右手的关系，以直觉的方式来察觉。

维根斯坦对于同一主题是这么思考的：“康德的左右手问题，也就是无法让左右手重合的问题，已经存在于平面上甚至一维空间中，譬如下面这两个全等的图形a和b：

也不可能彼此重合，除非可以搬移到这个空间外。其实左右手绝对是全等的，但这和它们不能够重合，并无关系。倘若能在四维空间中旋转，就可以把右手手套戴在左手上。”

左和右的语言学：在1970年，美国的一个洗衣粉制造商在沙特阿拉伯的媒体上刊登了一则广告，推销一款新上市的肥皂粉。在广告的左边我们可以看到一堆脏衣服，中间是一个洗衣槽，上面浮着一堆肥皂泡沫，右边是一堆洁白如新的衣物。广告词译成阿拉伯文后是这么说的：“轻轻松松，你的脏衣服迅速就会像这样。”许多阿拉伯人看了广告后都笑了，因为他们是从右边读到左边。

——沃克·尼尔（Volker Nickel）：《大家都为了自己》

再补充一下康德对于这个主题的思考。他在别的地方做了一个思想实验，假设上帝要创造人类的手。“不过，假如我们想象他所造的第一个部位是手，那就应该是左或右手的其中一只……”

由于左右手是全等的，但又不能互相重合，所以康德认为，只有绝对的空间可以作为参考准则，来判定所造的是哪一只手。否则的话，那只手就没有明确的定义，如果接下来上帝造了一个没有手的身体，那么就可以任意把手接在左边或右边，但这显然是不可能的事。

也算是奇偶概念

如果你一只脚穿着咖啡色鞋子，另一只脚穿着黑鞋，那就意味着你的鞋柜里也有这样的一双鞋。

20世纪中叶之前，物理学家一直认为宇宙是没有左右之分的。这个概念也可以换一种说法：如果自然律允许某个过程发生，那么也会允许该过程的镜像发生。或者说：如果有人把某个事件的影片放给你看，而且这支影片左右颠倒了，那么光凭自然律的知识，你说不出哪里出错。这就是物理学家所说的“宇称守恒”，这个概念是说，如果所有的空间坐标同时做了镜射，该系统中的物理关系和定律仍保持不变。如前所述，物理学界一直认为，整个宇宙是左右对称的──直到1958年①。在那一年，已做出实验证明某些基本粒子的自旋方向几乎总是转向左旋，虽然它们处于一个完全对称的环境下。

定义左与右的问题，称为奥兹玛（Ozma）问题。用小朋友能懂的说法来讲，就是：“左手是大拇指朝向右边的那只手。”你可以看到，由相反的概念来陈述某个概念，的确行得通，但这依旧没有解决定义的问题。看样子，我们的任务是必须定义左和右的绝对意义是什么。

假设我们收到来自X行星的无线电波讯号，而X行星距离地球十分遥远，我们和X行星上的居民都观测不到彼此之间有其他天体在运行。再假设，X星人有拉玛和喇玛两个词汇，我们知道它们是指右和左的意思，只是不知道哪个指左哪个指右。此外，他们还用卡马与反卡马来描述旋转的方向。他们用哇马和欧马来代表方向，用沙马与那马来指称行星的两极方向，这些用语就像是我们的东、西或南、北，但我们同样不知道哪个代表哪个。

我们要如何猜出哪个字是指左边，哪个字是指右边？

也许有人告诉我们，在X行星上看着太阳升起时的方向就是欧马。但X行星自转的方向说不定与地球不同，所以欧马是指西方而不是东方。也许我们还得知，如果他把自己的喇玛手的手指弯起来，手指头所指的旋转方向为卡马。但我们并不知道喇玛手是左手还是右手，所以我们也不晓得卡马到底是顺时针还是反时针方向。你或许会想，我们可以向X星人发送出图片，可是我们当然不知道他们是习惯由左到右扫描图片或是从右到左，而且他们也无法告诉我们。所以我们有可能把他们的图片全都印反了。

这就是奥兹玛问题，而且直到50年前，都没有办法让X星人理解我们的左右，或更该说是没有办法得知他们的左右概念。要等到1958年之后，“宇称守恒”被推翻，才有了以下这种可能：有一位物理学家首度描述了，该如何借由实验制造出一束左旋的基本粒子。接着他表示，X星人手掌朝上（即从X行星的中心往外指）时，若大拇指与粒子流动的方向一致，那就是左手。就这样解决了这个问题。

这也是“左右不对称”

你是往右倾还是往左倾？想象你是在接吻，有64%的人会把头朝右倾斜。

把数字分类成奇数或偶数，在数学上扮演了极为重要的角色。我们来举个例子，你找一个人，请他从钱包里抓取一把硬币，随意放在桌上，就像这样：

然后你转过身去，请对方任选几枚硬币翻面，但每翻一次他就要说“翻面”。最后，再请他用手盖住一枚硬币，之后你转过身，察看一下摊在桌上的硬币，就可说出他盖起来的那枚硬币是正面朝上或是反面朝上。

这个戏法是根据奇偶性守恒与奇偶检验。在你转身之前，要先暗地里数一数有几枚硬币是正面朝上的，并且记住这个数目是奇数还是偶数。如果一共翻面了偶数次，正面朝上的硬币个数的奇偶性（即它为奇数还是偶数）就维持不变，会和游戏开始时一样；但要是翻面了奇数次，奇偶性就会改变。只要看一眼最后桌上有多少硬币是正面朝上的，你就可以推断出盖住的那枚硬币是哪面朝上。这个游戏还有另一种玩法，是让对方在最后盖住两枚硬币，然后预测这两枚硬币是不是同一面朝上。

在错误检查码的设计上，会使用到奇偶检验，这也是类似的情形。所谓的码就是一种指令，可转换需传输的信息，通常是转换成符号0和1组成的字符串。在数据（即0－1字符串）的传输过程中，可能会发生错误，导致数据的变化（即0传输成1或1传输成0）。在可能的情况下，应该把这些错误侦测出来，而这通常要通过插入额外的信息来达成，像是添进一个检查位。于是，脚本就包含了待传输的数据，譬如：

01100010100001100

以及加在尾端的检查位。如果数据字符串中包含奇数个1，检查位就等于1，否则为0。也就是说，传输数据和检查位总共包含偶数个1。假如数据和检查位传输正确，整个数据中的1的个数才会等于偶数。若其中一个位传输错误（0传输为1或1传输为0），1的数目就改变了，奇偶性也会跟着变。所以，我们可以从奇偶性的改变来侦测出错误，让数据再重新传输一次。

这个简单的奇偶检验码至今仍是不完美的，有时出现了偶数个错误，仍会通过奇偶检验，通报为传输无误，错误因此就未被侦测出来。除此之外，奇偶检验码也不会显示究竟哪里出错。就此而言，这简单的奇偶检验码虽然能局部找出错误，但无法“更正错误”。

如果需要一个具有这种额外功能的检验码，就必须投入更多努力。有个方法出自美国数学家汉明（Richard Hamming， 1915—1998），我们把这种特殊的形式称为 （7，4） 区块码。在下面这个长度为7的字符串中，每个区块abcd都是由0和1组成，再添加巧妙选择的三个核对位uvw：

abcduvw

这样一来，就能在侦测到错误时，找出其位置并更正错误。为了说明它的原理，我们来看看图25：

字母a位于三个圆的交集，字母b、c、d放在两个圆的交集。至于核对位，就放在两圆或三圆交集以外的地方，它们的值也定为0或1，而且须满足下列的三个方程式：

1. a + b + c + u =偶数

2. a + c + d + v =偶数 （8）

3. a + b + d + w =偶数

因此，假如在数据传输的四个区块中，a=0，b=1，c=0，d=1，我们就得解出下面的方程组：

1 + u =偶数

1 + v =偶数

2 + w =偶数

这并不困难，直接就看得出解为u=1，v=1，w=0。

这个附加了核对位的检查码，可以修正错误到何种程度？如果在abcduvw字符串中发生一个错误，则在（8）式中有几个总和将会是奇数：若错误发生在a，（8）式中的三个和全都会是奇数，错误若发生在b、c或d，则其中两个和会是奇数（错误发生在第一与第三个方程式，代表b出错；错误发生在第一与第二个方程式，代表c出错；若错误发生在第二与第三个方程式，代表d出错）。如果错误出现在u、v或w的话，只有一个和会是奇数，不是第1就是第2或第3项。按照这个方式，（7，4） 区块码就可以侦测出每个错误，并准确地确定出错位置。等侦错完成，随后就能除错。这个检验码真是巧妙极了！

奇偶性这个词，不仅可用于区分奇数和偶数，还能用于一般情况，延伸到任何两个互斥的集合A和B。如果两个数（或一般的两个对象）具有相同的奇偶性，意思就是指两数都是偶数或奇数（或两对象都属于集合A或集合B）。否则我们就说，它们（数或对象）的奇偶性不同。接着我们要看两个特别富有启发性的例子，奇偶原理是其中的要角。

例1：骑士问题

想象一个n⋅n的西洋棋盘，有个骑士棋子，可摆在任何一个棋格上。这个棋子要照着西洋棋中骑士的规定走法，把棋盘上的每一格都走过一遍。问题来了：n是不是奇数？

我们由奇偶性的概念，来说明不可能是奇数。如果n是奇数的话，就可以把它写成n=2m+1，其中m为某个自然数或是0。如此一来，

n2=（2m+1）2=4m2+4m+1 =2（2m2+2m）+1

从这边可以知道，棋盘格数为奇数。因此，白格与黑格的数目刚好差1。下图是n=3的情形：

到目前为止我们达到多少成就了？只有一丁点：我们知道，白格数与黑格数的奇偶性不同。显然只进展了知识的最小单位。但是这点知识已经够用了。我们只需要熟练运用：由于骑士的每一步都是从黑格走到白格，或白格到黑格，也就是黑白格子数目的奇偶性必须相同，这样骑士才能把所有的棋格都走过一遍。但n是奇数时，奇偶性不同，所以骑士的动作路径不可能把每一格都走到。

有力的数学建构真是密实又美妙的。奇偶原理在这边没有遇到太大的阻力。

下一个应用中，奇偶原理发挥的作用就更强大了。

例2：推盘游戏

在一个方框里放置了15个依序编号的方块。游戏开始之前，方块排列的方式如下：

除了数字14和15的位置对调，其他的方块都是由小到大依序排列。一开始在右下角留了空位。这个游戏的目的，就是要靠合适的移动方式，让所有的方块从1至15按照顺序排列。空格周围的方块，可以水平或垂直推到空位上，这样一来，相邻的方块与空格就可互相对调位置。方块可以移动，但不可取出。

这个数字推盘游戏是在1878年，由美国的天才谜题设计者洛伊德（Samuel Loyd）发明的。他的名字和许多巧妙的谜题连在一起。他可能是有史以来最著名的谜题设计专家，设计了超过5000个复杂谜题，从西洋棋问题到数学问题，他也在我多年的解谜过程里带给我许多欢乐。在此利用很短的时间对洛伊德的贡献致敬：

一首自创的五行打油诗

威尔巴克罗伊特小镇的镇长

是洛伊德的粉丝。

为了纪念洛伊德──他才刚上任

他要颁布一个拼写方式的改革

将Doyt这个地区的名称一律改成Loyt

出自作者的打油诗体悟：所有关于洛伊德的轶事

洛伊德提供一笔1 000美元的奖金，给第一个成功破解的人。这个游戏风靡一时，大街上、马车上、办公室里和商店里的人，全都在解谜，而且不少人完全沉浸在其中。甚至进入了德国国会殿堂：“我还记得在国会里看到头发花白的人，全神贯注在他们手上的小推盘。”当时在国会担任观察员的数学家冈特（Sigmund Gunter）这样说。国际上弥漫的这股解谜热潮在1880年左右达到高峰，不久之后就突然消退。因为一个精细的数学分析揭露了，这个谜题根本无解。

这个分析根据的正是奇偶原理。在这里，要正式运用奇偶概念之前，还需要更多的准备工作。相关的论证如下：令nf代表空格在第几行，ni是某组方块排列形式的倒置个数。只要数字大的方块位置在数字小的方块之前（如果某一行的左上方是空格，就让空格逐行移到右下方），就称为倒置。有趣的是，在按部就班进行之下，n=nf+ni的奇偶性会保持不变。若对任何一种方块布局，n必为偶数，则按部就班推移出来的所有结果的n值，也一定是偶数。这当然需要进一步解释。为什么会这样呢？

首先，把方块水平移动，既不会改变空格所在的行的位置，也不会影响倒置的总数，所以n保持不变，这是一个简单的开始。

其次，如果把方块垂直移动，会发生什么事？我们就假设方块a在空格的上方，而b、c、d的位置如图28所示。

如果现在把a推到空格，就改变了空格行数的奇偶性。那么倒置的总数有没有改变呢？这个动作只改变了a、b、c、d之间的相对位置。但所有其他两两之间的关系保持不变。若（a，b）（a，c）（a，d）都没有形成倒置，即表示b、c和d全都比a大，那么把a移至空格，就导致3个额外的倒置，亦即添加了奇数个倒置。如果b、c、d当中刚好有一个比a小，就是有一个倒置，而把a移至空格之后，新的位置就相对提供b、c、d两个倒置。在这个情况下，ni的变化为1，仍是奇数。剩下的两个情形（即b、c、d的其中两个或三个小于a），也会改变ni的值，而且变化值使得ni成是奇数（即-1或-3）。所以nf+ni这个和的变化值永远会是偶数，于是n=nf+ni的奇偶性维持不变，不管你怎么移动方块。

以上就是主要的论证重点。若想让论证更充分，只须注意初始位置的n值是5，因为nf=4，且ni=1，而最终目标的n值会变成4，因为nf=4，且ni=0。初始位置和最终目标状态的n值，奇偶性不同，因此不可能按部就班地从一种排列推到另一种。

这就是推盘游戏的解法—是个高难度的鉴赏等级论证：它的艺术性不在其复杂，而在于巧妙运用奇偶原理之前的准备工作。这是个深具教育价值的最佳范例：如果你像我们一样，在数学的道路上随时睁大眼睛，就会经常碰到意外的惊喜。

[①　编按：提出“宇称不守恒”的是华裔物理学家杨振宁和李政道，两人因此理论在 1957 年获诺贝尔奖。]