Ⅰ｜写在前面

导言

值得注意的事物、数学证明、小细节

我要再思考一下

—爱因斯坦，美国

问题的存在是人类基本生活状态的一环，如果我们试着下定义的话，问题的产生就代表实际状态与期望状态之间的差距。思考的目的，就是要以具体事实、抽象观念、直观想法及概念上的建构为工具，来消弭这种差距。从这个基本特征，我们也将更了解思考的本质。思考是人类重要的核心能力，而普通教育的基本要求就是要学会思考。

会思考的不只有人类，但在同样经过演化而会思考的所有生物当中，人类的思考机制却是最训练有素的。人们借由思考，使得思考本身产生意义。

思考是人类在危难情境下做决策的关键技术。定量分析思考或数学思维可追溯到早期人类，数学可说是最古老的科学之一。数学的起源已埋藏在历史的黑暗迷雾里，但数学的用途却是再清楚不过了：古时候的人就在想办法丈量土地、创建历法、进行贸易，并且试图更了解这个充满各种现象的大千世界。从此，数学思维就发展成一种威力强大的知识工具，让世人能够涉足未曾经历的领域，譬如基本粒子世界或是宇宙深处。此外，数学思维不但遍及几乎所有的学门，从英国文学、气象学、心理学到动物学，还影响了我们的日常生活。数学思维是重要科学技术的关键能力，因此通常在幕后发挥重要的作用，默默影响了许多近代工程学上的成就，像是计算机断层造影、电子货币、电视、移动电话等。就连汽车能跑、飞机能飞、桥梁能承载、暖气能发热，都少不了数学。

在大自然的许多现象里，也看得到数学：借着近距离的观察，我们可以从蜂巢的构造和许多植物叶子的脉络中，发现许多迷人的数学，而在空间与时间的大尺度结构中，也呈现出极为精妙的数学规律。

量化分析思考对现代人有许多方面的协助。不管走到哪儿，我们都会遇上数字、函数、统计数据及其他数学结构。我们可以根据数字做出决策，利用函数呈现出趋势，借由统计来巩固论证。有了数字、函数及一般的数学结构，我们能将世界安排得条理分明，但也能使它变成混淆视听、操纵和欺骗的工具。借由量化思考，我们可以解开这神秘的世界，但如果运用不当，也可能会误入歧途或使他人偏离正道。

哎呀！弗洛伊德

就连精神分析学派创始人弗洛伊德这么聪明的人，也被愚蠢的数字谜题打败了。给他这道谜题的，是柏林的一位耳鼻喉科医生威廉·佛里斯。1897年弗洛伊德在写给佛里斯医生的信中说：“你向我展示了28和23循环周期的世界奥秘。”佛里斯从他的病人的病历中，仔细分析意外事故、术后并发症与自杀未遂之后，发现疾病的发展过程会有一致的规律。佛里斯推论，每个人的生命都受到特定的周期所制约，这个数字分别为28（女性周期）和23（男性周期）。简单说，佛里斯算出，所有的测量值都可写成23x+28y的形式（x与y为正整数或负整数）。他还把这个公式应用到各种自然现象上，甚至花了很多年的时间，收集大量的重要数字并制成表格。真是工程浩大。这项发现让佛里斯着迷不已，后来也吸引了弗洛伊德的注意，竟有这么多数字可以写成23x+28y的形式。

但佛里斯犯了一个天真的谬误。佛里斯跟弗洛伊德都没有意识到，把23和28换成任意两个互质的数，都可以得到完全一样的现象。每一个整数都可以表示成任意两个互质数的整数倍之和。这真是悲剧，他们的一切努力只是一场闹剧。佛里斯白白浪费了这些年在他的“理论”上，但它的背后其实只是数学上简单的整数性质。而弗洛伊德的学生，事后也因他们的老师成为这种胡说八道的受害者，感到尴尬。这真是智能上的大误会呀！

数学思考能让人具备抵抗被人操纵及洗脑的能力。反之，则会让人毫无防备地任人摆布，而且失去十分重要的学习机会

事物的本质是，在问题解决之后总是会留下另一个问题。解决问题的想法不能强行而得，但经由启迪式思考的形式，也就是目标导向思考工具的使用，或许可以得到。本书的目标在于：教导读者如何形成有效的思考架构以及以系统性的方式来解决问题。

引人发笑的修辞轶事

教授教学法人气排行榜前三名。并列第三名（极度令人不开心的）：“大家得到极快速和极不精准的结果。”N.N.教授在讲题为“英特尔奔腾处理器编程错误”的课堂上这么说。第三名（快，再快一点）：“这个证明也可以很快得出，如果你动作加快的话。”K.H.教授在高等数学讲座上这么说。第二名（减速）：“在黑板上写东西，不是方便你们阅读，而是让我在课堂上的思考速度可以慢下来。”F.B.教授在数学密码学的课堂上这么说。第一名（简报论）：“如果我每秒播放24张的画面，这就成了一部电影。”J.W.教授在一堂数学研讨会的最后，用很快的速度播放许多张PPT投影片。

数学使用的语言，是一种精确的、全世界共通的符号语言，诚如托马斯·沃格尔（Thomas Vogel）在《米盖·托雷达席瓦的最后历史》中写到的：“想要了解世界，就必须钻研数学，数学的语言是由数与线组成的，线又构成了圆、三角形、角锥、立方体。没有这种语言，我们将会无助地迷失在错综复杂的黑暗迷宫中，没有光线指引出路，帮助我们脱困。”

就像在现代生活的大部分领域一样，计算机在数学里扮演了重要的角色，但计算机并不是主角，其中的关键仍是理解错综复杂的关联性。计算机可以用来作为辅助工具，但解决问题所需要的智慧却不是人工智能可完成的。

数学知识、公式和方程式，不管放在宇宙任何地方或任何时间都会成立。数学企图建立真理。为此，首先要定出一些明确的概念，以便发展出一套共识。这样的规定称为定义。古希腊数学家欧几里得定义了点、线、直线的概念：

点只有位置，没有长度。

线只有长度，没有宽度。

直线是上头均匀包含了点的线。

这三句话足以让我们理解，欧几里得要拉几下单杠，才能为你我熟悉的事物做出定义。大部分时候有不同方式来精确定义。举例来说，老虎是唯一满身条纹的猫科动物，而人类是唯一没有羽毛的双足动物。这两句描述虽然很不寻常，但从数学的角度来看却是十分充分的。

在日常生活中，在科学、司法判决、政治和运动中持续地采用了各式各样的新证据。一个存在我们的日常生活中的证明是这样的：“人们知道，必须要通过眼睛所视、耳朵所听的事才是肯定无疑的，否则，人们可证明关闭这些器官会使得事实有了部分的偏颇。”

在实证科学中，真相是通过观察真相或通过实验所发现的。在体育中，最后的实际情况并不单纯只是由裁判员所判定。在司法判决中，事实是由法官的判决所建立起来的。在我们对法律的理解，有罪判决应是当每一个合理的犯罪行为被证明—排除合理性怀疑（指对优势证据的确定，不能仅凭怀疑就定罪，要有证据）。

就像司法判决一样，数学自有一套关于证明的理念，以及对于真理的判断标准。数学上的证明，就是从那些已经视为真确的公理以及已由公理证明过的其他叙述，来验证某个叙述是否正确。数学家就是这一种人—稍后便能看得更明白—为了证明，有时候把自己的日子搞得比别人更难受。

最有名的公理系统，是欧几里得的几何学所立基的系统。它包含了五个公设，例如任意两点之间都可以做一条直线。又如最有名的平行公设：对于不在直线g上的每一点S，仅有一条通过S且与g平行的直线。欧几里得就是从这五个公设，建构出他的整个几何学，其中包括三角形的许多性质（譬如勾股定理），以及圆、平行四边形等几何对象的许多性质。真可说是划时代的成就。

为什么我们需要定理？

如果你像我一样有小孩，也许你会对以下的对话感到很熟悉。小朋友会带我们找到答案。

你的孩子会问：“为什么我只能喝一杯苹果汁？”

你会回答：“因为我们等一下就要吃饭了，我不希望你吃不下饭。”

你的孩子：“为什么苹果汁会让我吃不下饭？”

你：“因为它会让你的胃变饱，而且里面含了很多糖分。”

你的孩子：“为什么我不能吃糖？”

你：“因为它会让你口渴，而且对你的牙齿不好。”

你的孩子：“为什么糖对我的牙齿不好？”

你：“糖会引来细菌，细菌会在你的牙齿上钻孔。”

你的孩子：“为什么细菌会在我的牙齿上钻孔？”

到这个时候，你可能已经失去耐性，或许你会问自己，这个对话会不会结束。好问题！从逻辑上讲，这个对话永远不会真正结束。情况就像这样：先随便提出了一个问题，然后在你用“因为”来响应问题之后，又会冒出下一个“为什么”。这样就形成了一个“三难困境”—这是两难困境的衍生版，有三种选择，但都不够好。哲学家称这个特别的形式为“明希豪森三难困境”。这三种选择分别是：

1. “提问、回答、提问……”的这个序列，会永无止境地持续下去。这称为没有终点的循环。

2. 经过一连串的提问和回答之后，其中一个之前已经回答过的答案会再次出现，然后一直重复这个循环，这叫作循环论证。

3. 我们可以诉诸某个不证自明的论断，像主教的发言，或是诉诸更高的权威，例如上帝。

很短的循环论证或神迹，“K先生告诉我，上帝跟他说话了”—“我觉得不可能，K先生一定在说谎”—这不可能。神不会跟说谎的人对话！

在数学里，选择了第三个选项。在开始考虑和推导之前，我们会先设定一系列的公设或公理，这些公设或公理要不就是不证自明的，要不就是绝对必要的。

我们来举一个简单的例子：包含了三个公设的地方议会委员会形成系统。

公设1：应该有6个委员会。

公设2：每位议员必须参加3个委员会。

公设3：每个委员会必须由4人组成。

这个情境的模型可由下图来说明：

图中的顶点代表了8个人：A、B、C、D、E、F、G、H。立方体的每个面，各代表一个四人委员会，譬如委员会{A，B，C，D}或委员会{A，D，E，H}。由于立方体有6个面，每个顶点又是三个面的交点，所以显然满足了这三个公设。

因此，我们可以找出一个模型，去满足这些公设。这三个公设是兼容的，意思是本身不存在矛盾；当公设选得不好，就有可能会自相矛盾。此外，我们也会对公设的规则感兴趣，这个规则允许我们去证明或推翻与这些委员会有关的每个命题或叙述。如果是这样的话，我们就说这个公理系统是完备的。

现在我们可以试着从这些公设，进一步推导出关于委员会或参与者的其他结论。以下是个简单的衍生性质。

定理：地方议会由8个人组成。

证明非常简单：我们把每个委员会里的人数（4）乘上委员会的总数（6），会得到24。根据公设2，每人必须参加3个委员会，也就是每个人都计算了三次，所以议会里应该有24÷ 3 = 8位成员。

相对地，由以下两个公理组成的公理系统，就是个不兼容的系统。

公设1：每个委员会由2人组成。

公设2：如果委员会的数目是奇数，委员人数就只有1人。

这两个公理是自相矛盾的，而且很容易证明为什么矛盾。由公设1可知，就算是有奇数个委员会，每个委员会里的人数也必为偶数。我们的论证，可以由以下这个假想的握手例子来说明。“如果有一群人两两互相握手，那么即使每个人握手的次数是奇数，相加后的结果一定是偶数。为什么？假设有n个人，而Si代表第i个人的握手次数，则方程式S1+ S2+ … + Sn= 2K一定会成立（其中的K为某个自然数），因为两人之间的握手在总次数里都会计算两次。但因为2K是偶数，所以次数和S1+ S2+ … + Sn也是偶数，尽管相加的项数（即参与的总人数）是奇数，相加的结果仍是偶数。”

将“两两握手”换成“一起组成委员会”，同样的结果也可以直接套用。

数学证明可长可短，可能记满数学符号、以图标来表示，或是写成乏味的计算过程。可能是快刀斩乱麻，直指问题核心，或是历经一长串的思路才达到目的地。我们在这本书里，会遇到上述所有的情形。但无论证明的形式为何，重要的是必须要能理解，将它内化为自己的知识宝库。数学问题是民主的。在证明面前，人人平等！

有个经典的例子，既可以说明单独一个概念的洞察力，同时又能展现数学之美，那就是古希腊人已经知道这件事：三角形的内角和为180度。

意思就是，角a、b和c加起来必定等于180度。对于任何一种形状的三角形，不管是等腰、直角或是锐角三角形，这都是令人惊讶的、非常有秩序的、统一的观点。内角和不是180度的几何形状，一定不是三角形，道理就这么简单。

这件事的魅力不仅来自它本身。它的证明虽然是基础数学的程度，但同时又具有深刻的洞察力。过任意三角形的任何一个顶点，画一条与对边平行的直线，通过这个技巧，可以做出两个新的角，跟三角形的另外两个内角一样大。现在，解法就要呼之欲出了。你可以从下图看出端倪，在图中，相同的字母代表相同大小的角。

因此a + b + c一定等于180度。这就是证明。

虽然如此，数学却相当两极化。谈论数学这门科学的言词，有时很让人困扰。尽管数学家为世界提供了这些有用的东西，但厌恶数学的人的反感程度，就和追随者的热情一样强烈。反感数学的人一看到数学公式，就浑身不对劲。

美化生活的世界：数学版

你也是这样吗？痛恨与数学公式打交道，甚至看了就讨厌，只要出现公式，第一反应就是想要逃得远远的。

如果是这样，不妨试试以下这个三分钟的练习，这要感谢迈克尔·席勒（Michael Schiller）。这项练习没有坏处，如果它有用，你就会从这本书里获得更多乐趣。毕竟，人生就是要充满乐趣。以下是帮助你愉悦的跟数学公式打交道的诀窍：

1.首先闭上眼睛，回想一个令你难忘的经验，这个经验能让你感觉到四周充满且流动着积极正向的能量且浑身起鸡皮疙瘩。

2.打开眼睛一或两秒钟，看看本书

第262页或写了许多公式的其他页。

3.然后闭上眼睛，再回忆一下那个难忘的经验。

4.把注视公式及回想难忘经验的步骤反复做三次。然后，把思绪拉回现实，再自己测试一次。去看一下第272页。现在看到公式，有什么感觉？

不是每个数学证明都牵涉数学符号的运算，有时只要靠一张图和几个概念，或者就像说故事一样。接下来，我们要展示一些不带任何文字的图像式证明，这些证明都在阐释下面这个对所有的自然数n都成立的等式：

13+ 23+ 33+ … + n3= （1 + 2 + 3 + … + n）2 （1）

毕达哥拉斯和他的门徒常常坐在萨摩斯的沙滩上，玩着被浪冲上岸的石头。他们发现，每当他们累积到13+ 23+ … + n3颗石头，就能够堆成一个正方形。于是他们就想，这是普遍的现象，或只是巧合。他们想到了几种解释方法，都是不需要任何文字的论证，可以呈现出真理。相较于抽象的公式，这些化为图像的证明一目了然，仿佛一本数学真理图录，就像走秀一般。

不需要文字的证明　第一个

不需要文字的证明　第二个

不需要文字的证明　第三个

我们这个小小汇整的背后理念：所有的例子都在显示，可视化可以让真理变得清楚易懂。这些看起来诗情画意的图像信息，装载着解密的信息。

我们还会为你展示另一个变化：即使我们像下图那样，以立体的图像来呈现，多少还是可以看出（1）式所要表达的概念。这个结构的逻辑不难辨认。

就某方面来说，它是个邮购目录般的、通过实际操作的证明方法，像是在堆积木。乍看之下，很像是“功能决定形式”这个概念的反向思考：

可视化证明就展示到此。

就我们目前为止谈论到的，而且撇开实用性和重要性不谈，定量分析思考可说是非常具有美感的；它是丰富美感的源头，是讲求精确、充满秩序的知识世界。

美景的赞美诗。

当我在解决问题的时候，我不会想到美。但当我做完了，而解决的办法不漂亮的时候，我知道它是错的。

——富勒（Richard Buckminster Fuller）

天衣无缝的搭配，加上个别的考虑，就形成了一个严谨的、目标导向的论证—就像时钟的齿轮彼此紧密结合，形成一个更大的整体—常常会有一种很明显的和谐感。这份美感就隐藏在思考概念里包含的这种思考架构。

此外，数学也是一种奇妙的媒介，让你无条件地去接近创造性。它是深刻的，有时令人惊讶，有时甚至看似矛盾。你可以把数学当成心智工具，去思考几乎所有的事物，去发现新的东西。数学里还留有许多尚未解决的精彩问题。

在数学葡萄园内工作

“矿工忍受着肺尘症，患有自恋型人格障碍的作家，狂妄自大的工头，所有这些问题与缺陷的产生，都可归因于这些患者工作环境的生产条件。”恩森斯伯格（Hans Magnus Enzensberger）写道。就连数学家也有各自的独特生产条件。有哪些呢？特别是要问：数学是从哪里冒出来的？都是些经过精挑细选的地点！

书桌前

西蒙·戈林（Simon Golin）说，数学家是神话中的人物，半人半椅。这里的椅子指的当然是书桌椅。的确，许多数学就诞生自书桌，书桌正象征着嘈杂世界中那块不会让人分心的宁静绿洲。至少是通常不会让人分心。众所周知，数学大师欧拉（Leonhard Euler）坐在书桌前的时候，就算有孩子（他总共生了13个小孩）在他脚边嬉闹或趴在他背上，他仍旧能很有效率地思考，做出数学。要不是在晚年失明了，他的产量绝对会多出许多。

床上

高斯（Carl Friedrich Gauss）在一封信中，描述了他对于正十七边形标尺作图问题的新发现：“关于做出这项发现的经过情形，我还未曾公开提起，但现在我可以一五一十地说出来。那天是1796年3月29日，而这件事纯属因缘际会……由于我一直在全力思考所有的根之间的算术关系，结果在布朗斯威克家里度假的那天早上（在我还没起床之前），我清楚地看到了这个数学关系式，所以就把它应用到正十七边形上，并坐在床上做数值计算来验证结果。”

喝咖啡时

艾狄胥（Paul Erdős）是20世纪最神秘的数学家之一。几十年来他过着走遍世界各地、没有固定居所与稳定工作的生活，大部分时间他都在拜访朋友，靠朋友给他财务上的帮助，有几位还在自己家里永远为他保留一个空房间。同样的场景一再发生：艾狄胥一到，马上就有一个舒适的位置，面前还放了一杯咖啡，这样他就可以开始专心思考了。他常说一句话：“我的心是开放的。”他视咖啡如命，经常喝而且喝很多。他曾定义说：“数学家就是把咖啡变成定理的机器。”不过，这些定理的质量似乎跟咖啡的质量不太相关。

沙滩上

美国数学家斯蒂芬·斯梅尔（Stephen Smale）1960年有大半的时间，都在里约热内卢的纯数与应用数学国家研究所（IMPA）做研究，有不少时间是待在沙滩上—当然是在工作啦。他写道：“平常的下午，我都会坐公交车到IMPA，很快地跟艾伦（Elon）讨论拓扑学，与毛利吉欧（Mauricio）谈动力学，或是去图书馆，最愉快的就是我在沙滩上度过的时间。我可以在那边写下我的想法，试着把论证建构起来。我是如此全神贯注在工作上，沙滩完全不会打断我的思考或让我分心。我最好的研究成果当中，有一部分就是在里约热内卢的海滩上产生的。”斯梅尔后来为了最后这句话有点恼火。他高调的反越战行动惹来攻击，而他以尼克松总统的顾问的身份在“里约海滩”所做的工作，被批评是在浪费纳税人的钱。

在信封，鸡尾酒餐巾，乒乓球和各种布料上

可能的物品太多了，我们只举一个例子就好。弗雷（Gerhard Frey）在用餐期间，拿起黑色麦克笔在红色乒乓球拍上写着，向波昂大学的数学家哈德（Günter Harder）热情洋溢地解释自己在数论方面的新想法。弗雷的这个想法，最后成了证明“费马猜想”的重大进展—费马猜想（费马最后定理）是历史上最有名的数学问题。我们会再找机会回头谈一谈费马。

我的一个意见。在2月18日，世界思考日这天，我在日记里写下：一个可能的数学真言—我思，故我在，而且快乐。或者从荷兰数学家史楚克（Dirk Jan Struik）的观点：“数学家会活到老年；这是健康的职业。数学家会长寿，是因为他们有愉快的想法。数学和物理都是令人愉快的工作。”

总而言之，数学是神奇的。利用数学，就能变出魔术！

接下来就讲个数学小魔术，以示证明。

许多魔术都是有数学根据的，但往往做了掩饰。有些数学魔术非常具有戏剧性，就像我们在这里所要展示的。纸牌魔术的历史和纸牌游戏一样久远，古埃及时代就已经有人用纸牌玩游戏及变魔术了。巴彻（Claude Gaspard Bachet）是第一个致力于数学纸牌戏法的数学家，并将自己的发现写成一本书：《由数学形成的令人愉快而有趣的问题》，1612年在法国出版。

就我所知，唯一一位投入数学魔术的哲学家，就是美国逻辑学家皮尔斯（Charles Peirce，1839—1914）。他还自己想出了一些魔术，其中一个魔术是根据费马的一个定理。皮尔斯只花了13页来描述玩法，但要另外用52页来解释运作原理。不过，比起所花的力气，表演效果可说相当不尽如人意。

然而，今天有数不尽的数学魔术，设计巧妙，玩起来不费力，而且很有成效和娱乐性。下面要介绍的这个魔术，利用到的事实是：32张牌的牌面总和（设定J = 2，Q = 3，K = 4，A = 11，而七、八、九、十的牌面各为对应的数字）等于216，而216可以被12整除。玩法是这样的：由一个人洗这些牌，从中抽出一张，然后牌面朝下放在一旁—这样魔术师就不知道抽出的是哪张牌。接下来，魔术师要一张接一张看其余的31张牌，看完之后对观众故作惊讶地说，他有惊人的记忆力，所以知道抽出来的是哪张牌。

对魔术师来说，他有很多算法可以用来变这个魔术。其中之一是：在他一张一张看这31张牌时，他要累计牌面的数字和，并且取“模12”。意思就是：他把看到的牌面数字加起来，而且只要总和达到12或超过12就减去12。魔术师只需记住目前的计算结果。最后，他把最终算得的那个数字扣掉12，就可以知道盖住的那张牌的牌面了。至于那张牌的花色，魔术师可以利用他的脚，在桌子底下进行取“模12”的算术，就像这样：看第一张牌之前，双脚平踩在地板上，一看到梅花，就把左脚后跟提起或放下，看到黑桃时，则将右脚后跟提起或放下，而看到红心时，同时移动两只脚跟，若看到方块，则不做任何动作。等所有31张牌都看过一遍了，而且在观众浑然不觉之下做完了这些足部动作之后，魔术师就可以从脚跟的位置，推论出那张抽走的牌是何花色。如果只有右脚后跟抬起，代表那张牌是黑桃；如果只有左脚后跟抬起，则是梅花；如果两脚后跟都提起来，表示那张牌是红心；若两脚都平踩在地板上，就是方块（牌的花色总是与脚部的移动相呼应，最终两只脚仍然需要返回到与地面接触的位置）。

数学能产生什么样正面积极的情绪，就由这段小插曲来说明：萨摩亚岛上的第一所教会小学成立以来，也促使当地人发展出对于算术的狂热。战士们放下武器，开始把黑板和笔杆当成利器。他们会抓住任何机会，给自己、也给欧洲来的访客一点简单的算术题。人类学家沃波尔（Frederick Walpole）后来说，他在这座美丽岛屿的造访真是扫兴，因为几乎一直不停地算乘法与加法。

城市数学每个星期三中午，纽约数学教授乔治·诺本（George Nobl）都会花一个小时散步。然后他会在第五和第六大道之间的42街，放置一块自制的广告牌，开始教“街头数学”。这位63岁的老数学家解释说，他想带大家重拾数学的乐趣，还拿巧克力棒作为答对问题的奖励。许多路人受到激励，即使下着雨也依然站在黑板前或是向他要纸笔，尝试解题。而且有的问题可能相当难，例如：时钟指到15：50时，时针和分针之间的夹角是几度？弗雷德粉刷一个房间要3小时，玛丽亚粉刷同一个房间只需要2个小时。如果两人一起粉刷这个房间，需要多久？

—— 出自《纽约时报》2002年2月7日的一篇报道

在这本书中，我们要用许多小例子，来阐述关于量化思考的所有层面，包括它的广泛运用、特殊成效以及美感。整本书里穿插了各种类型的幽默小故事与实例，以及各式各样的数学趣闻。