希尔伯特旅馆

小文，下面我带你去个地方——无穷旅馆——去感受一下无穷的神奇特征。

德国数学家希尔伯特（David Hilbert）喜欢讲一个无穷旅馆的故事，所以这个无穷旅馆也被称为希尔伯特旅馆。

顺便说一下，以希尔伯特命名的数学名词多如牛毛，有些连希尔伯特本人都不清楚，比如有一天，希尔伯特问他的同事：“什么是希尔伯特空间？”希尔伯特被称为“数学界的无冕之王”，据说是天才中的天才，也不知是为什么，有关希尔伯特的趣闻逸事特别多，有空你可以到网上去搜搜。

无穷旅馆生意很好，号称有无穷个客房。

一天，希尔伯特慕名来到那家旅馆，但是经理告诉他，今天没有空房间了。

“但您有无穷多间房间，对吗？”希尔伯特问。

“是的，先生。”经理说，“但是抱歉，因为今天来了无穷多个客人，所有的房间都有客人，没有空房了。”经理刚刚安顿好无穷多个客人，显得有点疲惫。

原来是无穷多个房间住了无穷多个客人，希尔伯特转了一下眼珠，他有了一个主意。

“我只需一间空房，您看这样可以吗？把第一间房的客人移到第2间房，第2间房的客人移到第3间房，第3间房的客人移到第4间房……以此类推。”

经理好像有点没明白，希尔伯特把刚才说的画了个示意图，然后接着说道：“因为您有无穷多间房间，因此您可以连续移动所有的客人，这样，第一间房就空出来了。”

经理半信半疑，鉴于希尔伯特的大名，他还是照做了。经理忙得满头大汗，最后希尔伯特真的在已经客满的无穷旅馆中有了一间房间。

后来经理发现，即使客房住满了，不管来多少人，按照希尔伯特的方法，他总能安排出空房来！

到这里，妈妈的邮件内容就结束了。妈妈说，余下的讲义她还在准备中，并向小文推荐了书架上的一本书——《神秘的阿列夫》。

一口气看了这么多，这课程真不轻松。

到这时，小文才感觉到脚上沉甸甸、热乎乎的。不用说，是丽仔蹲在小文的脚上呼呼大睡。她站起身，把丽仔撂一边，去妈妈的书房找那本书。

书房里的书很杂，一通好找，总算找到了。翻了一下，感觉这本书有点像是康托尔的传记，又似乎不是，总之看得不是很明白。

晚饭时，母女两人边吃边聊。

“怎么样？我的讲义，看得明白不？”

“嗯，前面集合的基本概念部分还行，后面，什么阿列夫之类的就有点云里雾里了。”

“没关系，了解前半部分就可以了。”

“我觉得他研究的问题太深奥了，比较无穷的大小有什么用呢？”

“嗯，我很害怕学生问这个问题——了解这个有什么用？”

“哈哈，为什么呀？”

“因为，很多时候我回答不出来呀——有个数学家叫欧几里得，你应该知道吧？”

“知道。”

“传说，有个学生在欧几里得那里学了一个定理之后问欧几里得——学了这个定理有什么用？”

“哈哈，欧几里得怎么回答呢？”

“传说是这个样子的，欧几里得思索了一下，也没有多说，请仆人拿了点钱给这位学生……”

“难道欧几里得没有说：‘这位同学，这个定理有这些用处，第一第二第三之类的？’”

“没有啊，传说中欧几里得就给了他钱。所以你问——比较无穷的大小有什么用，我也没办法一下子回答你哦——要不我也给你一块钱？嘻嘻。”

“得了吧。”

“不过话说回来，康托尔研究的无穷确实有点深奥，他后半生一直希望证明的那个假设2ℵ0=ℵ1，把他自己也搞得神经兮兮、精神颓废，经常对自己也半信半疑。他后来向自己的一位朋友透露，他很怀疑自己一生事业的选择，后悔当初放弃音乐成为数学家。”

“也就是说，康托尔也有可能成为一名音乐家？”

“是的，说起来，他的母亲出生于一个音乐世家，父母双方不少家庭成员都是很有名望的音乐家。”

“是不是数学家都这么有文艺范儿啊？”

“不见得呢，康托尔的老师，魏尔斯特拉斯，据说一听歌剧就会睡觉。”

“哈哈。”

“顺便说一句，康托尔的这位大名鼎鼎的老师，40岁之前一直在偏僻的中学当老师，教初等数学或教一些跟数学毫不沾边的课程。”

“这个中学老师成了数学大师吗？”

“对呀，这也算一段传奇。不过我们还是说康托尔吧，康托尔18岁进入柏林大学，20多岁获得数学博士学位后，来到距离柏林100多千米的哈雷大学任教——哈雷大学虽然远远比不上柏林大学有名气，但这条件比他的老师强多了不是。”

“应该是。”

“嗯，康托尔后来一直到死都在哈雷，哈雷是著名的音乐家亨德尔的故乡，在当时是一座音乐、歌剧之城，不过，对于康托尔来说，他更感兴趣的是他的阿列夫。几年后，康托尔发表了一篇论文，题目是《论所有实代数数集的一个性质》，数学史上一般认为这篇论文的发表标志着集合论的诞生，这时他大概30岁。”

“接下来呢？”

“在接下来的若干年里，他几乎花费所有的时间去证明那个2ℵ0=ℵ1啊。”

“成果如何呢？”

“有时他欣喜若狂，认为自己发现了一个不寻常的成功证明，高兴之余他会把这个好消息告诉为数不多的几个朋友中的一个。而几个月之后，这位朋友会收到康托尔的另一封来信，在信中，康托尔心情抑郁地告诉他：‘原来那个证明是错误的。’”

“当数学家好辛苦！”

“你觉得当什么不辛苦？除了发现自己一次一次的证明是错误的之外，康托尔还有一个很激烈的反对者——当时的数学权威克罗内克（Leopold Kronecker）。克罗内克认为，数学分析都必须以整数为基础，只有整数才是真实存在的，其他东西，包括无理数什么的都是捏造出来的，至于康托尔的无穷，更是胡说八道。”

“连无理数都不能接受，这个克罗内克是个什么样的数学家？”

“其实他也是一个很优秀的数学家，但他的观点是‘上帝创造了整数，其他的东西都不真实’。他对康托尔的排斥也只是因为个人的信仰不同。由于克罗内克是当时柏林学派的领袖人物，所以他对康托尔发展前途的阻碍还是相当大的。康托尔一直都非常希望能在柏林得到一个更好的数学职位，不过他一辈子都没有如愿。”

“康托尔后来怎么样了？”

“他在40岁时第一次出现精神崩溃，随后的30年这毛病反复发作，最后他是在哈雷大学的精神病院去世的。”

“听你这么一说，我觉得康托尔当初放弃数学去搞音乐也许才是正确的选择。”

“这个嘛，看你怎么想。我觉得吧，康托尔能在巨人林立的音乐史上有什么作为很难说啊，但事实证明，康托尔在世界数学史上绝对是有一席之地的呀。”

“他的那个公式最后证明出来没有呢？”

“康托尔到死都没有证明出来的那个假设2ℵ0=ℵ1，后来被称为‘连续统假设’（CH：Continuum Hypothesis），在1900年的第二届国际数学家大会上，被希尔伯特归为20世纪有待解决的23个重要数学问题之首，也叫希尔伯特第一问题。”

“这么厉害，这个第一问题后来结果如何？”

“这个假设的后继证明者有一长串——策梅罗（E.Zermelo）、哥德尔（Kurt Godel）（哥德尔差点也被这个假设搞得神志不清！）、科恩（Paul Cohen），等等。”

“都是些什么人呢？”

“都是些数学牛人。据说，爱因斯坦晚年对别人说：‘我自己的工作其实没啥意思，我来上班就是为了能同哥德尔一起散步回家。’而科恩是菲尔兹奖的获得者。”

“菲尔兹奖是个什么奖？”

“你知道诺贝尔奖是没有数学奖的，对吧？”

“这个知道。”

“菲尔兹奖荣誉很高，几乎相当于数学界的诺贝尔奖。”

“这样啊。”

“科恩获得菲尔兹奖的一个重要原因是对康托尔‘连续统假设’的证明。哥德尔和科恩的工作表明：康托尔的连续统假设是否正确，在现存的集合论公理系统内是不能判定的。”

“解释一下吧！”

“也就是说，连续统假设可能为真，也可能为假，但不论是真是假，都不会产生新的矛盾。可以这样说，众多数学家的多年艰苦努力后，康托尔的连续统假设仍是一个谜，现在数学家们仍在努力啊——你说得对，数学家是很辛苦，哈哈。”

天已经黑下来了，母女两人聊天已经结束了。小文坐在自己房间的书桌前，透过飘窗看着天。

生命从何而来，宇宙如何生成，宇宙到底有多大……这些问题她小时候经常问妈妈，多次得不到肯定的回答后，她也很少问了。今天了解了康托尔的无穷世界之后，她想，无穷真是一个神奇的东西，会不会时间、空间本身就没有起点，也没有终点，宇宙也没有边界，它们都是现实存在的无穷吗？几天之后，妈妈又发讲义过来了，这次邮件内容不多。