1　让我们用离散的眼光看这个世界

小文，我们的课程就要正式开始了！现在可否请你走到窗户边，拉开窗帘，面前的一切你很熟悉，你会看到一座座的楼房，一排排的窗户，一棵棵的树。天气很热，知了叫得很带劲，树下偶尔会有一两个人走过——小文，如果我说，你看到的这些都是离散的对象，你不会反对吧？

回过头来，再说说你所看到的这封邮件和处理这封邮件的软件，你应该知道，它们实际都是“0”和“1”构成的数据，计算机主要跟“0”和“1”打交道。另外，昨天听说你的一个好朋友要学化学，我的脑子里顿时浮现的是门捷列夫给出的那张元素周期表：氢、氦、锂、铍、硼、碳、氮、氧、氟、氖……

高斯说“数论”是数学的皇后，其实数论研究的主要是1，2，3，4…这些整数。

心理学研究的对象是人，是不是呀？

你会发现，我这里列举的这些对象其实也是离散的对象。

那么，如果我说，这个世界其实很离散，你会同意吗？

古希腊科学鼻祖泰勒斯（Thales）说“万物的本质是水”。

他的学生毕达哥拉斯（Pythagoras）说“不对！万物的本质是数”。

现在又有人说“万物的本质啊，原来是比特哟”。

看起来，世界万物的本质是哲人们永远争论的话题。不过，接触离散数学时间越久，我好像戴上了有色眼镜一样，越觉得万物都很离散呢。

小文，不管你是否同意“这个世界很离散”的说法。现在就让我们试着用离散的眼光，来重新审视一下这个我们似乎已经很熟悉的世界，如何？

从哪里开始呢——通常，这些离散的个体以群体的形式出现，比如男人、女人、自然数、整数、一群飞鸟、满天繁星……通常情况下，我们可以把这些分别具有某些共同特征的离散个体放到一个个称为“集合”的容器中——那我们就从集合开始，好吗？

在正式开始之前，小文，我们先考虑这样一个问题，如果把数轴上的“数”用点表示的话，那么，数轴上的代表自然数的点有多少个？代表整数、有理数、无理数、实数的点又各有多少个？

也许你会说都是“无穷多个”。

对这个回答我没意见。

如果有人继续问：“在整数里面，偶数和奇数哪个多？”你可能会说是一样多，这个答案的依据是什么呢，或许你可以说“因为整数中一半是奇数，一半是偶数啊”。

对这个回答我也没意见。

如果继续问：“所有偶数和整数哪个多，自然数和整数哪个多？”你会怎么回答呢？

如果有人答：“它们都是一样多！”你能够想得通吗？

也许这些问题听起来有点奇怪，但德国数学家康托尔（Georg Cantor）就是在研究这些问题的过程中，建立起集合相关理论的。