第二节 静水压强及其基本方程

一、静水压强的定义

人们在生活与工程实践中知道：游泳时当水淹过胸部时，就会感到有一种压力；木桶壁箍得不牢，盛水后就会散开；水库大坝设计不当就会被水压垮；水闸的门板没有一定的厚度，就会被水压弯。通过这些现象，人们可形成一个概念，即处于静止状态的水体，对盛着它的容器或挡着它的水工建筑物都有压力的作用。就是在液体内部，一部分液体对相邻的另一部分液体也有压力的作用。我们把静止液体作用在与之接触的表面上的压力称为静水压力，通常用大写英文字母P表示。

单位面积上静水的压力值，称为静水压强,其表达式为

式中 p——静水压强，单位为牛顿/平方米（N/m²），也称帕斯卡（Pa）；或千牛/平方米（kN/m²），即千帕（kPa）；

P——静水总压力，单位为牛顿（N）或千牛顿（kN）；

A——受压面面积，或称作用面，单位为平方米（m²）。

上式计算出的静水压强是受压面上的平均静水压强。但事实上，受压面上各处的静水压强一般都不相等，用平均静水压强只能反映受压面上受压的平均情况，因此还必须建立点静水压强的概念。

如图1-3所示，为一圆柱形水箱，在水箱中任取一点M，以点M为中心，在它周围一块微小面积ΔA上的静水总压力为ΔP，则微小面积上的平均静水压强为

如果当面积ΔA围绕M点无限缩小而趋近于零时，则比值的极限称为M点的静水压强，即

在后面的水力学有关计算中，如果没有特别说明，静水压强均指点静水压强这一概念。

二、静水压强的两个基本特性

静水压强具有两个重要的特性：

（1）静水中任何一点处各个方向的静水压强的大小都是相等的，与受压面的方位无关。

这一特性可以用图1-4所示的装置进行实验说明。

把一个两端开口的U 形玻璃管（U 形测压管）固定在有刻度的壁面上，并注入有色液体。实验前，由于两端都通大气，所以，管中液面位于同一高度。如果用一根橡皮管把一个蒙有橡皮膜的小圆盒连接到测压管A端，B端与大气相通。这时，管中液面仍位于同一高度上。若用手指去压橡皮膜，则U 形测压管中液面高度就会发生变化（A管液面下降，B管液面上升），加力越大，两管液面的高度差h也越大；若手指放开，液面又恢复至同一高度。

实验开始：把蒙有橡皮膜的小圆盒放入水中，发现入水越深，管中液面的高度差h也越大。这一现象说明，静水中是存在压强的，而且静水压强的大小与水深有关；若把蒙有橡皮膜的小圆盒放在某一水深处，只改变盒口橡皮膜的方向（使橡皮膜向上、下、左、右或斜向），则U 形测压管液面的高度差h均不变。这一现象说明，静水中任一点的静水压强大小在各个方向上都是相等的，与受压面的方位无关。

（2）静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面。如图1-3所示，如果静水压力ΔP不垂直受压面ΔA，则ΔA可分解为两个分力，一个力垂直于受压面，另一个力平行受压面，这个与受压面平行的力即为切力。由于静止液体不能承受切力抵抗剪切变形，所以平行于受压面的切力应等于零，否则液体将在此切应力作用下而流动。

同时，静止液体又不可能抵抗拉力，只能承受垂直并指向受压面的压力。也就是说，静水压强的方向永远垂直并指向受压面。

如图1-5所示，在与水相接触的折面ABC上，B点是边壁上的转折点，它既是平面AB上的一点，也是平面BC上的一点，对不同方位的受压面来说，其压强的作用方向不同，B点的压强p₁垂直于受压面AB，B点的压强p′₁垂直于受压面BC，但p₁和p′₁的压强大小是相等的。

三、静水压强的基本方程

静水中任意一点的压强的大小，可以通过力学分析的方法，建立液体受力的平衡方程，从而得到静水压强的计算公式。

如图1-6（a）所示，仅在重力作用下处于静止状态的水体，取一铅直的小水柱为脱离体，小水柱的底面面积为ΔA，高为h，表面压强为p₀，底面压强为p，分析作用于此小水柱上的力：

小水柱顶面的压力P=p₀ΔA，方向铅直向下。

小水柱体的底面上的压力P=pΔA，方向铅直向上。

小水柱体的自重G=γhΔA，方向铅直向下。

作用于小水柱体周围表面上的水压力：因小水柱侧面都是铅直面，侧面水压力皆为水平力，小水柱又处于静止状态，侧面上所受的水平力是相互平衡的，即作用于小水柱体水平方向的合力为零。

列出小水柱铅垂方向上的静力平衡方程，可得

上式两端同除以ΔA，整理得

式中 p——某点在液面以下的深度为h处的静水压强；

p₀——静水表面的压强；

γ——液体的容重；

h——计算点在液面下的深度。

上式为常用的静水压强的基本方程。它表明：仅在重力作用下，静水中任一点的静水压强，等于表面的压强加上水的容重与该点在水面下的深度的乘积，即静水中某点的压强大小与该点在水面下的深度成正比。

由式（1-10）还可以看出：静水中任意一点的压强是由两部分组成的:一是从水体表面传来的表面压强p₀;二是单位面积上高度为h的水柱重量。若表面压强p₀以某种方式使之增大，则此压强可不变大小地传递至水体中的各个部分。这就是帕斯卡原理。

如图1-6（b）所示，取位于水面下铅直线上任意两点1、2，其压强分别为p₁和p₂，围绕两点取微小面积ΔA，并以ΔA为底、Δh为高的铅直小水柱为脱离体，分析小水柱的受力情况：点1和点2处的淹没深度分别为h₁、h₂，利用式（1-10）可写出该两点静水压强各为

故

即

上式表明：静水中任意两点的压强差等于作用在单位面积上，高度为Δh的水柱重量。

在图1-6（b）中，如果把点1和点2位置改用离某一共同水平面，即基准面0—0的距离表示，其位置高度分别为z₁和z₂，显然，Δh=z₁-z₂，代入式（1-12）并整理可得

式（1-13）是静水压强分布规律的另一种表达式。它表明：在静止水体中，位置高度z越大，静水压强越小；位置高度z越小，静水压强越大。该式还表明：在均质（γ=常数）、连通的液体中，水平面（z₁=z₂=常数）必然是等压面（p₁=p₂=常数），这就是通常所说的连通器原理。利用这一原理，计算点静水压强时非常方便。

图1-7（a）中的1—1水平面不是等压面，因两边的液体不连通；图1-7（b）中的1—1水平面也不是等压面，因一边是汽油，另一边是水，不是均质的液体。因此，在计算点压强取等压面时要特别注意均质、连通这一条件。

在水利工程中，计算静水压强时，通常不考虑作用于水面上的大气压强，这是由于大气均匀地作用在建筑物各个方向而相互抵消了，实际作用在建筑物上的压强值p仅与γh有关。若令p_a表示大气压强，即当水体表面压强p₀=p_a=0时，式（1-10）可写为

该式表明，静水中任一点的压强与该点在水面下淹没的深度 即水深h呈线性关系。

【例1-1】 求水库水深为10m、20m处的静水压强。

已知水库表面压强为大气，故p₀=p_a=0。

水深10m处：p=γh=9.8×10=98（kPa）。

水深20m处：p=γh=9.8×20=196（kPa）。

【例1-2】 有清水和水银两种液体，求深度各为1m处静水压强值。已知液面为大气压强，水银容重γ_m=133.3kN/m³。

水深为1m处静水压强：p=γh=9.8×1=9.8（kPa）。

水银中深为1m处的压强：p=γh=133.3×1=133.3（kPa）。

四、静水压强基本方程的意义

1.几何意义

在图1-8的容器中，任取两点1点和2点，并在该高度边壁上开小孔，孔口处连接一垂直向上的开口玻璃管,通称测压管，可看到各测压管中均有水柱升起。测压管液面上为大气压，故容器内1、2两点的静水压强分别为

因此，测压管中水面上升的高度为

显然，在均质、连通的容器内，γ为定值，测压管中水面上升高度说明静水中各点压强的大小。

水力学中，通常称Z为位置高度 （或位置水头），为测压管高度 （或压强水头）；称为测压管水头。

如图1-8所示，当基准面0—0确定后，水面到基准面0—0的距离是不变的，因此，式（1-13）表明：处于静止状态的水中，任何一点的测压管水头为一常数，即

常数c的大小随基准面的位置而变，所选基准面一定，则常数c的值也就确定了。各点测压管中水面的连线，称为测压管水头线。因此，式（1-15）从几何上表明：静止状态的水仅受重力作用时，其测压管水头线必为水平线。

2.物理意义

由物理学可知：质量为m的物体在高度为Z的位置，具有的位置势能为mgz。对于液体，它不仅具有位置势能，液体内部的压力也有做功的本领，水力学中把它称为压力势能，简称压能。如在图1-8中质量为m的液体在点1处所具有的压能为mg。

在研究液体时，常取单位重量的液体作为研究对象。这样，单位重量的液体在点1处（图1-8）所具有的位置势能，简称单位位能：

单位重量的液体在点1处所具有的压力势能，简称单位压能：

单位重量的液体在点1处所具有的总势能，简称单位势能，应为z₁+。任意一点的单位势能为z+。

由式（1-15）可得

所以，静水压强基本方程从能量的观点表明：仅受重力作用处于静止状态的水中，任意点对同一基准面的单位势能为一常数。