1.3 扩展有限单元法的研究进展
扩展有限单元法（XFEM）的计算网格独立于结构内部的几何或物理界面，因此该方法是目前分析不连续问题最有效的方法。XFEM自问世后，在国际上引起了极大的关注，得到了快速发展和广泛的应用，主要用来求解裂纹扩展[64，81]、夹杂界面[82，83]、流固耦合[84]、相变[85]、剪切带演化[86]、位错[87]、生物膜生长[88]等不连续问题。
本书后面涉及XFEM裂纹面接触条件的施加、裂纹附近精度的提高及多裂纹分析，下面从这三方面综述XFEM的研究进展。
1.3.1 裂纹面接触条件的施加
XFEM的位移模式有不连续的加强函数，因此XFEM分析疲劳裂纹和裂纹体受压时必须考虑裂纹面间的接触问题，否则裂纹面间会发生相互的嵌入现象。XFEM已耦合各种接触算法：罚函数法[89]、Lagrange乘子法[90]、增广型的Lagrange乘子法[91，92]、Nitsche法[93]、线性互补法[94，95]。
2004年，Ji等[96]针对接触问题，首先提出在XFEM中添加边界条件的困难为得到的接触力会出现震荡现象。之后，一些学者从不同方面对这个问题进行研究，并提出了一些解决方法。Nistor等[97]提出一种满足LBB（Ladyzhenskaya-Babuska-Brezzi）条件的Lagrange乘子空间，结合XFEM模拟了大滑动无摩擦问题，并验证了这种方法的稳定性；Moës等[98]和Béchet等[90]为了解决接触力出现震荡的问题，在扩展有限元计算中建立了Lagrange乘子空间，从而添加Dirichlet边界条件，这种方法避免了计算结果的震荡性，但是这种方法计算量比较大，效率比较低；Dung[99]对罚函数法、Lagrange乘子法和Nitsche法施加接触条件的优缺点做了详尽的比较说明，并选用Lagrange乘子法对裂纹面摩擦接触进行模拟，得到了较好的结果；2006年，Khoei等[100，101]用XFEM模拟摩擦接触问题，验证了XFEM在摩擦接触问题中的适用性。
由于沿裂纹表面进行XFEM插值的非线性，容易导致裂纹面的相互嵌入，用点约束法计算接触问题时得到的结果不够精确，也容易发生震荡性，因此XFEM使用点约束接触方案时需要采用一些稳定算法消除解的震荡性[96]。基于点约束法的缺陷，很多学者提出了处理裂纹面的有效方法，比如点-线单元约束和砂浆法等。TaheriMousavi和Mousavi[102]采用点-线单元分析了大滑动接触问题；Hoeppe等[103]采用点-线单元结合罚函数法求解三维接触问题。Kim等[104]在2007年首次运用线段-线段（砂浆法）模拟界面摩擦接触条件，这种方法使结构网格划分和不连续面的网格划分相互独立，而且非线性接触约束的施加也独立于网格的划分。他们验证了XFEM结合砂浆法进行计算的精确度和计算效率，结果表明该方法能大大提高计算的稳定性；Giner等[105]提出了基于Lagrange乘子的线段-线段法施加裂纹面接触条件，线段-线段法优化了沿裂纹段的接触约束的实现，实际上是更精确地模拟了接触，该方法能获得优的收敛率，且可有效地避免裂纹面的相互嵌入。然而，引入Lagrange乘子以后，不仅增加了系统的求解规模，而且在控制矩阵中出现了零主元，增加了方程的求解难度；为此，石路杨等[92]提出了XFEM中基于砂浆法的增广型Lagrange乘子法接触条件施加法，即采用增广型Lagrange乘子法（在Lagrange乘子场中增加罚函数项）解决控制矩阵零主元的问题，Lagrange乘子的存在也避免了罚函数法罚因子过大而引起方程的病态；Puso等[106]和Padmanabhan等[107]基于砂浆法对大变形的接触问题进行了研究。
1.3.2 裂纹附近精度的提高
裂纹附近的精度直接影响裂纹扩展路径，因此很多学者对如何提高裂纹附近场的精度问题进行了深入的研究。Iarve[108]用高阶的多项式B样条形函数代替原来的阶跃函数加强，能显著提高裂纹贯穿单元的精度；Stazi等[109]用高阶单元对线弹性断裂力学中的弯折裂纹进行分析，得到了高精度的结果；Liu等[82]将裂尖渐进位移场的主要项和高阶项作为裂尖加强函数，提高了局部位移场的精度，可以直接求出应力强度因子；后来，Zamani等[110]将其扩展到热弹性断裂问题；Béchet等[111]提出对裂尖函数加强区域采用几何加强代替拓扑加强，即采用给定的加强区域。几何加强提高了收敛性，但加大了裂尖函数加强范围，使得整体劲度矩阵条件数增大；Yu等[112]提出在裂纹附近区域采用广义形函数，其他区域采用传统的有限元形函数，此方法在稍增加计算量的情况下能有效地提高裂纹附近的精度；Menouillard和Belytschko[113]在裂尖附近采用无单元法加强XFEM，可获得高精度的应力强度因子。
在XFEM的计算网格内，部分结点被加强的单元称为混合单元，混合单元的存在不仅会降低XFEM的收敛率还会降低裂纹附近的精度[114]。采用阶跃函数加强的混合单元，通过平移加强函数可消除这些单元中不想要的项。因此，只是采用裂尖函数加强的混合单元才需要进行特别处理。Chessa[114]等提出了增强应变法和分级加强法两种消除混合单元的方法；Ventura等[115]提出在混合单元内对加强函数进行加权处理以消除混合单元；Fries[116]提出了“改进的XFEM”，即在常规XFEM逼近框架内引入一个线增函数，使得新的加强函数在常规单元和混合单元边界处等于零，从而消除混合单元的影响。
1.3.3 多裂纹分析
对于多裂纹问题的数值模拟研究一直是学者们关注的热点和难点问题之一。Daux等[117]建立了任意的分叉和交叉裂纹问题的XFEM，引入连接函数考虑多分支裂纹，并对含孔洞结构的多裂纹问题进行模拟，进一步完善了XFEM的思想；Budyn等[118]提出了一种交叉裂纹的加强函数，并采用XFEM模拟了脆性材料中张开型多裂纹的扩展；Nasri等[119]采用XFEM模拟了存在材料界面结构中的多裂纹扩展，分析了材料界面对多裂纹扩展路径的影响，结果表明裂纹长度和两裂纹之间的距离对裂纹扩展路径有着实质性的影响；Jiang等[120]基于XFEM对动力荷载下的多裂纹进行了模拟，分析了主裂纹动态应力强度因子的影响因素；Jiang等[121]基于XFEM和水平集法分析了孔洞、夹杂和附近的次裂纹对主裂纹的扩展路径的影响；Nanthakumar等[122]采用XFEM对压电材料中的孔隙探测问题进行了研究，数值结果表明XFEM能够有效地确定压电材料中孔隙的数目和其相对应的位置和形状；Singh等[123]采用XFEM对功能梯度材料中的多裂纹、孔洞和夹杂问题进行模拟，详细分析了在多裂纹、孔洞和夹杂的影响下，主裂纹的应力强度因子的变化趋势；Bhattacharya等[124]采用XFEM分析了在循环热荷载作用下任意分布的多裂纹和孔洞对功能梯度板疲劳寿命的影响。
在国内，周小平等[125]采用扩展有限元法模拟了压应力状态下多裂纹扩展过程，采用罚函数法考虑裂纹面的摩擦，但没考虑裂纹的交叉汇合，因此完全等同于单裂纹扩展；刘剑等[126]将XFEM和Abaqus相结合，模拟了平板和含孔洞平板中多裂纹扩展；石路杨等[92]建立了求解多裂纹扩展的XFEM，在裂纹附近区域使用广义形函数，用砂浆法结合增广型Lagrange乘子法处理裂纹面的接触条件。