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第2章基于频率分析的工程结构设计方法研究

2.1 预应力和恒载对结构频率的影响分析

2.1.1 受预应力作用的梁动力学方程

（1）无阻尼等截面受弯梁自由振动平衡方程式为

式中 v（x，t）——梁横向挠度；

——质量分布集度；

EI——梁弯曲刚度。

（2）无阻尼等截面受弯梁考虑直线预应力筋影响，预应力可等效为轴向压力N表示，包括轴向力影响的自由振动平衡方程式，即

式中 N——梁所受的不变轴向压力。

（3）无阻尼等截面受弯梁考虑预应力筋偏心距的影响，预应力可等效为轴力N和均布荷载q_e（图2.1），包括等效荷载影响的自由振动平衡方程式，即

式中 q_e——预应力筋产生的等效荷载集度；

N——张拉力F的水平投影。

图2.1 预应力等效荷载

假定预应力F对跨中截面轴线有e的偏心距，预应力产生的弯矩为^［101］

预应力筋偏心距产生的弯矩可由梁底均布荷载等效，等效荷载为

按照弯矩面积相等的原则，最大偏心距为e的直线形、单折线形和曲线形预应力效应等效荷载分别如下。

对于直线形预应力筋，有

对于折线形预应力筋，有

对于曲线形预应力筋，有

2.1.2 受预应力作用的梁动力学方程求解

利用分离变量法，求方程式（2.1）与时间无关方程的理论解，即

式中 ω——结构圆频率；

A ₁～A₄——系数，由结构边界条件确定。

方程式（2.2）与时间无关方程的理论解为

式中 D₁～D₄——系数，由结构边界条件确定。

方程式（2.3）与时间无关方程的理论解推导以下。

泛定方程式（2.3）为非齐次方程，又因等效横向力q_e与时间无关，利用叠加原理，先求出满足齐次泛定方程函数w（x，t），使v（x，t）=u（x）+w（x，t）^［102］，再求出u（x）。w（x，t）的解同方程式（2.2）的解，u（x）满足的微分方程为

微分方程式（2.12）的解为

方程式（2.3）与时间无关方程的理论解为

式中 D₁～D₄、A、B、C和D——系数，由结构边界条件确定。

2.1.3 受预应力作用的梁动力学方程有限元解法

1.仅有轴向压力作用的梁

受压分析：忽略平面梁的轴向变形，每个节点只有两个自由度，一个梁单元共4个自由度。采用Hermite插值函数，位移函数为^［103］

由形函数推导出的单元刚度矩阵为

几何刚度矩阵为

综合刚度矩阵为

式中 N——轴向压力值。

2.仅有轴向拉力作用的梁

受拉分析：对于斜拉桥的索或拱桥吊杆，构件所受轴向力为拉力。综合刚度矩阵为

式中 N——轴向拉力值。

【例2.1】有轴向压力和轴向拉力Euler-Bernoulli梁对频率影响。

某强度等级为C40的混凝土矩形简支梁，梁宽为0.6m，梁高0.8m，跨度为8m。受到的轴向压力为N的0倍、0.1倍、0.2倍、0.3倍、0.4倍、0.5倍；相应的压力变为拉力。求轴向力对频率的影响，其中：N=P_cr/3=20420kN，P_cr为临界荷载。压力对频率的影响如表2.1所列。拉力对频率的影响如表2.2所列。轴向压力和轴向拉力对前6阶频率的影响如图2.2和图2.3所示。

表2.1 压力对频率的影响单位：Hz

表2.2 拉力对频率的影响单位：Hz

图2.2 轴向压力对频率的影响

图2.3 轴向拉力对频率的影响

通过以上分析，可以得到以下两点。

（1）轴向拉力和轴向压力对各阶频率均有影响。拉力使频率增大，压力使频率减小。

（2）利用频率的改变量可间接求解轴向拉力或压力值。

3.轴向压力临界荷载的求解

对一个结构体系来说，结构的失稳模态有无限多个，而对结构设计有用的仅为第一失稳模态。因此，第一阶临界荷载值是结构保持稳定和失稳的界限值，临界力与基频的关系由式（2.23）给出^［19］，即

式中 P——轴向压力值；

f _p——轴向压力P作用下结构频率；

f ₀——无轴向荷载时结构频率。

式（2.23）可变换为

从式（2.24）可以看出，临界荷载P_cr与（f_p/f₀）²呈线性关系，当已知任意结构体系两不同轴压力作用下的频率比的平方（f_p/f₀）²，则两点连线在荷载轴上的截距就是临界荷载值。如已知结构的频率值和任意轴向压力下的频率值，则可由式（2.24）求解结构的临界荷载。

【例2.2】利用频率求临界荷载。

某强度等级为C40的混凝土矩形简支梁，梁宽为0.6m，梁高0.8m，跨度为8m。受到的轴向压力为临界荷载P_cr的0倍、1/30倍、2/30倍。求轴向力对频率的影响。轴力和频率的关系如表2.3所列，利用频率求临界荷载如图2.4所示。

表2.3 轴力与频率关系表

图2.4 临界值的图示解

已知两点的值的连线与竖轴的交点即为临界荷载值，实际上也是直线方程在竖轴上的截距，荷载值为63812kN，根据经典Euler求稳定荷载方程所求临界力为61260kN，基本能够满足工程精度需要。

对于某结构体系，如已知两不同轴压力作用下的频率解，则可方便求出结构的临界荷载，对于简单结构，本方法优势并不明显，如对于复杂结构，此方法可方便、快速求解结构临界荷载，且安全可靠。

4.预应力对频率影响的有限元分析

假定动力荷载和等效预应力作用方向相同，如图2.5所示。与等效均布预应力荷载q_e对应的位移为，与动力荷载q对应的位移用w表示。不计预应力损失，预应力一旦施加，结构就受到纵向挤压和 “上拱”变形的作用。结构总的应变能为

图2.5 预应力和动力荷载作用下梁的变形图

用有限元法表示总应变能为

式中 δ——动力荷载产生的位移；

——等效预应力产生的位移；

［K_e］^e——结构弹性刚度矩阵；

——等效预应力引起的刚度矩阵，即

式中 E——材料的弹性模量；

A——结构的截面面积；

l——单元长度；

——节点j和节点i的挠度。

作用在单元上的外荷载产生的势能为

式中 {F}^*——等效预应力和动力荷载的节点力之和。

式（2.28）用有限元可表示为

式中。

单元的动能T为

式中——对时间的导数。

用有限元表示的动能表达式为

式中［M］——单元质量矩阵，可以是一致质量矩阵或集中质量矩阵。

应用Hamilton原理，自由振动梁单元动力学方程式为

因此，有效刚度为

考虑预应力对特征参量影响的计算分为以下两步：

（1）用静力法求解结构在等效预应力作用下各节点位移值。

（2）利用已知的节点位移值，组集预应力等效荷载影响的刚度矩阵，进而形成综合刚度矩阵，求解结构的特征参量。

【例2.3】预应力效应对特征参量的影响。

某梁截面为70mm×140mm，梁的长度为3000mm，混凝土强度等级为C30，预应力筋为两根7φ^s5，横截面积为139mm²。混凝土的弹性模量为3×10⁴MPa，钢绞线的弹性模量为1.96×10⁵MPa。混凝土单位长度质量为24.5kg，钢绞线的单位质量为2.2kg，偏心距随工况而定。讨论预应力筋的布置形式和偏心距对频率的影响^［104 ^-108］。

计算工况包括：

（1）轴向压力，预加力为0、20kN、40kN，偏心距为0m。

（2）直线筋，预加力为40kN，跨中偏心距为0.03m和0.06m。

（3）单折线筋，预加力为40kN，跨中偏心距为0.03m和0.06m。

（4）曲线筋，预加力为40kN，跨中偏心距为0.03m和0.06m。

（5）曲线筋，预加力为40kN，跨中偏心距为0.06m，张拉端曲线筋与水平所成角度45°、60°和75°对频率的影响。

5种工况前3阶频率计算值如表2.4至表2.8所列。跨中偏心距为0.03m和0.06m时3种预应力线性前3阶频率值与无预应力频率偏差值如图2.6和图2.7所示。

表2.4 轴向力对频率的影响单位：Hz