2.2 黏弹性本构模型分析

为了反映工程材料的时变性（如基岩所具有的蠕变特性），可以采用弹簧（胡克体）、黏壶（牛顿体）和滑块（圣维南体）等3种基本元件相互组合来描述。利用这些基本元件的相互“并联”或“串联”可以建立不同属性的时变模型和相应的理论。例如：黏弹性模型，黏塑性模型，弹-黏塑性模型和黏-弹塑性模型等。以下对黏弹性模型进行分析。

黏弹性理论只描述材料同时出现的弹性和黏性行为（简称黏弹性），不涉及材料的塑性效应。如果在本构关系中假定变形与荷载保持线性关系，但依赖于时间，则称为线性黏弹性本构关系。线性黏弹性本构关系目前在工程中使用较广泛，本书在进行黏弹性模型分析时，如不加说明，均是指线性黏弹性本构模型。

众所周知，黏弹性模型的本构关系可分为两部分：①球应力分量下的本构关系；②应力偏量下的本构关系。研究认为剪切变形（由应力偏量引起）和体积变形（由球应力引起）可以具有相同的流变规律，也可以具有不同的流变规律，甚至认为球应力不引起黏性变形。显然，为了合理地考察工程材料在荷载作用下的黏性变形性态，有必要分别对球应力和应力偏量进行考察。当假设剪切变形和体积变形具有相同的流变规律时，应力偏量下的黏性系数和球应力下的黏性系数之间存在何种关系，是工程科技理论中一个重要的问题。据此，以下对两种常用的黏弹性模型——广义开尔文模型和伯格斯模型进行研究，分别给出应力张量、偏应力、球应力下的黏性应变增量计算式，然后对它们之间的关系进行分析。

2.2.1 广义开尔文模型

广义开尔文模型是一种黏弹性体模型，它由一个胡克体和n个开尔文元件组成。不同应力分量下的广义开尔文模型（n=2）见图2.2.1～图2.2.3。以下分析时，若不加说明，均认为黏性变形的泊松比等于瞬时弹性变形的泊松比。

图2.2.1 对应于应力张量的广义开尔文模型

图2.2.2 对应于应力偏量的广义开尔文模型

图2.2.3 对应于球应力的广义开尔文模型

2.2.1.1 应力张量

图2.2.1中，假定应力偏量和球应力均产生黏性变形，且变形规律相同。由于串联，该模型的应变是初始弹性应变和各个开尔文模型的应变之和，于是可得到广义开尔文模型的应变

当σ=σ₀为常量时，式（2.2.1）成为

由上述广义开尔文模型的一维计算式推广得到复杂三维空间问题的黏性变形增量计算式为

式中：为t₀时刻开尔文元件的黏性应变；t=t₀+Δt；为时段[t₀，t]的黏性应变增量；E_k、η_k分别为开尔文元件的弹性系数和黏性系数；σ为应力张量；M为泊松比矩阵。

2.2.1.2 应力偏量

图2.2.2中，假定仅应力偏量产生黏性变形。由于串联，该模型的应变是初始弹性应变和各个开尔文模型的应变之和，于是可得到广义开尔文模型的应变

当s=s₀为常量时，上式成为

以下由上述广义开尔文模型的一维计算式推广得到复杂三维空间问题的应力偏量下的黏性变形增量计算式。

弹性应变为

黏性应变为

其中，I′=［1 1 1 0 0 0］^T

式中：ε_m为球应变；N为工程剪应变和剪应变张量的转换矩阵。

当t=t₀时，开尔文模型的黏性应变为

时段 ［t₀，t］的黏性应变增量为

其中

式中：G_s0为应力偏量下的剪切模量；E_sk、η_sk分别为应力偏量下开尔文元件的弹性系数和黏性系数，其与式（2.2.3）中的E_k、η_k（k=1，2）不一定相等；s为应力偏量；为t₀时刻开尔文元件的黏性偏应变；M为泊松比矩阵，意义同前；G_sk为应力偏量下开尔文元件剪切模量。

2.2.1.3 球应力

图2.2.3中，假定球应力产生黏性变形，以下仅对球应力产生的黏性变形进行分析。由于串联，该模型的应变是初始弹性应变和各个开尔文模型的应变之和。于是可得到广义开尔文模型的应变之和

当σ_m=σ_m0为常量时，式（2.2.9）成为

与上述应力偏量引起黏性变形的计算公式推导类同，由上述广义开尔文模型的一维计算式推广得到复杂三维空间问题的球应力下黏性变形增量计算式为

其中

式中：K_m0为体积模量；E_mk、η_mk分别为球应力下开尔文元件的弹性系数和黏性系数，其与式（2.2.3）中的E_k、η_k及式（2.2.7）中的E_sk、η_sk （k=1，2）不一定相等；σ_m为球应力；为t₀ 时刻开尔文模型的黏性体积应变；M为泊松比矩阵，意义同前；K_mk为球应力下开尔文元件体积模量。

2.2.2 伯格斯模型

伯格斯模型是一种黏弹性体模型，它由麦克斯韦尔元件和开尔文元件组成。不同应力分量下的伯格斯模型见图2.2.4～图2.2.6。以下分析时，若不加说明，均认为黏性变形的泊松比等于瞬时弹性变形的泊松比。

图2.2.4 对应于应力张量的伯格斯模型

图2.2.5 对应于应力偏量的伯格斯模型

2.2.2.1 应力张量

图2.2.4中，假定应力偏量和球应力均产生黏性变形，且变形规律相同。将伯格斯模型的一维计算式推广得到复杂三维空间问题的黏性变形增量计算式为

图2.2.6 对应于球应力的伯格斯模型

式中：E₁、η₁分别为开尔文元件的弹性系数和黏性系数；η₀为麦克斯韦尔元件的黏性系数；为t₀ 时刻开尔文元件的黏性应变；t=t₀+Δt；为时段[t₀，t]的黏性应变增量；M为泊松比矩阵；其他参数意义同前。

2.2.2.2 应力偏量

图2.2.5，假定仅应力偏量产生黏性变形。将伯格斯模型的一维计算式推广得到复杂三维空间问题的应力偏量下的黏性变形增量计算式为

式中：E_s1、η_s1分别为应力偏量下开尔文元件的弹性系数和黏性系数；_ηs0为应力偏量下麦克斯韦尔元件的黏性系数；为t₀ 时刻开尔文元件的黏性偏应变；M为泊松比矩阵；G_s1 为应力偏量下开尔文元件的剪切模量；其他参数意义同前。

其中

式中：η_Ms0与式（2.2.13）中的η₀不一定相等。

2.2.2.3 球应力

图2.2.6中，假定球应力产生黏性变形，这里仅对球应力产生的黏性变形进行分析。将伯格斯模型的一维计算式推广得到复杂三维空间问题的黏性变形增量计算式为

式中：E_m1、η_m1分别为球应力下开尔文元件的弹性系数和黏性系数；η_m0为球应力下麦克斯韦尔元件的黏性系数；为t₀ 时刻开尔文元件的黏性体积应变；M为泊松比矩阵；K_m1 为球应力下开尔文元件的体积模量；其他参数意义同前。

其中

式中：η_Mm0与式（2.2.13）中的η₀和式（2.2.14）中的η_Ms0不一定相等。

2.2.3 模型参数分析

现假设应力张量引起黏性变形的规律与应力偏量和球应力分别引起黏性变形的规律相同，由上述推导的黏性应变增量有限元计算式分析如下。

（1）对于广义开尔文模型，存在如下关系式：

其中，（k=1，…，n）

此时，式（2.2.3）等于式（2.2.7）与式（2.2.11）之和。

（2）对于伯格斯模型，存在如下关系式：

其中，

此时，式（2.2.13）等于式（2.2.14）与式（2.2.16）之和。

由上述分析可知：①当应力张量引起黏性变形的规律与应力偏量和球应力分别引起黏性变形的规律相同时，那么采用应力张量计算的黏性变形表达式与分别采用应力偏量和球应力计算的黏性变形表达式相加是一致的。对于其他黏弹性模型，当应力偏量和球应力引起的黏性变形规律相同时，同样具有上述类似的关系。由此可见，探讨不同应力分量下的黏性系数之间的关系对从理论上深入认识线性黏弹性模型有一定的价值。②当应力张量引起黏性变形的规律与应力偏量和球应力分别引起黏性变形的规律不同时，那么式（2.2.18）和式（2.2.19）不再成立。显然，在三维空间问题下，应力张量、应力偏量和球应力引起黏性变形的增量表达式仍可以分别使用。但在不同假设下，模型的参数是不相同的。