公理化方法

要确定某个长度有限的逻辑公式的真值，我们必须给出其中布尔变量的真值。然而在谓词逻辑中，我们可不能花上无限长的时间来列出每个谓词的所有可能取值。所以我们必须采用公理化的手段，换句话说，与亚里士多德的三段论一样，我们要从一些被称为“公理”的前提出发，做出逻辑上的推论。从形式上来说，数学可以归结为确定有哪些形如“公理→定理”的重言式。

我们来看看皮亚诺公理这个例子，它是自然数理论，也就是关于 0、1、2、3……这些数的理论基础。第一个公理假设了这个理论中存在某个对象，我们通常把它叫作 0。第二个公理大致说的是所有数都有一个后继者。皮亚诺还提出了其他公理，在这里我就不一一叙述了 ^[3]。相当神奇的是，从皮亚诺的这几条公理出发，我们可以推导出数不胜数的数学定理。

然而，皮亚诺公理只在自然数理论中有效，而大量有趣的数学对象并不是整数，比如说实数、几何曲线甚至概率，等等。因此，今天大部分数学家更偏向于策梅洛–弗兰克（Zermelo - Fraenkel）公理（ZF），有时还包括选择公理（C）。几乎所有被证明的数学定理可以写成“ZFC →某定理”。

哥德尔不完备性定理可以应用到任何推广了皮亚诺公理的公理体系中。更妙的是，它也能应用到所有基于谓词逻辑、公理集合有限（或者可计算），又能够描述自然数的加法和乘法的公理体系中 ³。所以，哥德尔的这个定理断言了，所有这类理论中都存在一些公式，由公理出发无法断定它们是真是假 ^[4]。ZF 和 ZFC 也属于这样的理论。