3.5 平面和曲面梯度分布
这一小节介绍常见三维平面和曲面梯度分布。图3.24展示一个垂直于x1-z平面，具体解析式如下：
图3.24 垂直于x1-z平面，梯度向量防线为x1正方向
二元函数梯度向量如下：
如图3.24所示，发现此梯度向量平行于x1轴，方向为x1正方向，向量方向和大小不随位置变化。沿着梯度方向运动，f（x1, x2）不断增大。
当改变符号x1时：
二元函数梯度如下：
图3.25告诉我们此梯度向量同样平行于x1轴，方向为x1负方向，向量方向和大小不随位置变化。
图3.25 垂直于x1-z平面，梯度向量防线为x1负方向
图3.26展示平面解析式如下：
图3.26 垂直于x2-z平面，梯度向量防线为x2正方向
二元函数梯度如下：
通过观察图3.26，发现此梯度向量同样平行于x2轴，方向为x2正方向，向量方向和大小不随位置变化。
图3.27中平面解析式如下：
该平面梯度也是一个固定向量，如下：
如图3.27所示，梯度向量和x1轴正方向夹角为45°，指向右上方。沿着此梯度方向运动，f（x1, x2）不断增大。f（x1, x2）等高线相互平行，梯度向量和函数等高线垂直。
图3.27 f（x1, x2）= x1 + x2平面和梯度
图3.28中平面解析式如下：
图3.28 f（x1, x2）= x1 - x2平面和梯度
观察图3.28，能发现此平面梯度不随位置变化：
该梯度向量和x1轴正方向夹角为45°，指向右下方。
图3.29中开口朝上圆锥面解析式如下：
图3.29 开口朝上圆锥面
上述曲面梯度如下：
该曲面梯度向量随着位置变化而变化。但是梯度向量模，即向量长度不变，具体计算如下：
图3.29梯度向量指向极小值相反方向。另外，函数在（0, 0）点不可导，即梯度向量在该点没有定义。
图3.30中开口朝下圆锥面解析式如下：
图3.30 开口朝下圆锥面
上述曲面梯度如下：
容易得出结论，曲面不同位置梯度模一样大小。图3.30梯度向量指向极大值方向。同样，函数在（0, 0）点不可导。
图3.31展示开口朝上正圆抛物面解析式如下：
上述曲面梯度如下：
图3.31 开口朝上正圆抛物面
该曲面梯度大小和方向随着位置变化而变化。值得注意是，对于正圆抛物面，同一等高线上不同点梯度大小相同。图3.31所示，梯度向量方向背离最小值点。极小值点处，梯度向量模为0。
图3.32展示开口朝下正圆抛物面解析式如下：
图3.32 开口朝下正圆抛物面
上述曲面梯度如下：
图3.32中梯度向量方向指向最大值点。
图3.33展示双曲抛物面解析式如下：
图3.33 双曲抛物面
以上曲面梯度如下：
图3.33中，鞍点为（0, 0），在该点上有一些梯度向量指向（0, 0），另外一些梯度向量方向背离（0,0）。虽然在（0, 0）点，梯度向量为零向量，该点并非极值点。
图3.34展示旋转双曲抛物面解析式如下：
图3.34 旋转双曲抛物面
上式曲面梯度如下：
图3.34中，鞍点同样为（0, 0），同样一些梯度向量指向原点，另外一些梯度向量背离原点。
图3.35展示山谷面解析式如下：
图3.35 山谷面
此曲面梯度如下：
如图3.35所示，曲面等高线平行于x2轴，曲面梯度垂直于x2轴。梯度向量平行，大小随着位置变化。曲面极小值点无穷多个，这些极小值点均在一条直线上；梯度向量均背离这条最小值所在直线。
图3.36展示山脊面解析式如下：
图3.36 山脊面
该曲面梯度如下：
如图3.36所示，曲面等高线平行于x1轴，曲面梯度垂直于x1轴。曲面极大值点无穷多个，梯度向量方向均指向这条最小值所在直线。请读者根据本章代码自行编写代码绘制本节图像。