2.1 切向量和法向量
向量又称作欧几里得向量（Euclidean vector）、空间向量（spatial vector）或者几何向量（geometric vector）。向量通常由大小（magnitude）和方向（direction）两个元素构成。向量大小又叫作欧几里得距离（Euclidean distance）、欧几里得范数（Euclidean norm）或2范数（2-norm），MATLAB对应函数为norm()和vecnorm()。
和起点无关的向量叫作自由向量（free vector），如图2.1（a）所示；和起点有关的向量被称作固定向量（fixed vector），如图2.1（b）所示；方向上沿着某一条特定直线的向量，称之为滑动向量（sliding vector），如图2.1（c）所示。
图2.1 自由向量、固定向量和滑动向量
直线的法向量（normal vector）为垂直于该直线的非零向量，如图2.2（a）所示。光滑曲线上某点的法向量垂直于曲线上该点处的切线，如图2.2（b）所示。平面法向量（a normal line to a surface）垂直于平面内任意直线，如图2.2（c）所示。光滑连续曲面内某点的法向量为曲面该点处切平面（tangent plane）的法向量，如图2.2（d）所示。
本章用n来表达法向量，而单位法向量（unit nor mal vector）N通过下式获得：
单位法向量N模为1。
图2.2 直线、平面和光滑曲面法向量
直线上任意一点的切向量（tangent vector）是和直线相切的非零向量，如图2.3（a）所示。直线某点处切向量和法向量垂直，即两者内积为0。图2.3（b）所示为光滑曲线的切线。三维空间平面上某点的切线有无数条，如图2.3（c）所示。同样，如图2.3（d）所示，光滑曲面上某点的切线有无数条，且都在曲面该点的切平面内。本书一般用τ来表达切向量。单位切向量（unit tangent vector）T通过下式获得：
单位切向量T模为1。
图2.3 直线、平面和光滑曲面切向量
向量外积，也叫叉乘（cross product）或向量积（vector product）。向量内积（inner product）或标量积（scalar product）为标量，而向量叉乘结果为向量。a和b的向量积，记作a × b。a × b方向分别垂直于向量a和b，即a × b垂直于向量a和b构成的平面。向量a和b以及a × b构成右手法则，如图2.4所示，同时在图中可以看到a × b和b × a方向相反。
图2.4 向量叉乘右手法则
a × b的模通过下式获得：
其中，θ为向量a和b的夹角。
如图2.5（a）所示，空间直角坐标系中三个正交基底向量i（x轴正方向）、j（y轴正方向）和k（z轴正方向）之间满足向量叉乘关系，如下：
图2.5 三维空间正交单位向量基底之间关系
图2.5（b）展示了以上三个等式中i、j和k的前后顺序关系。若调换它们的顺序，会得到以下三个运算式：
向量与自身叉乘等于0向量，如下：
叉乘运算的常见性质如下：
若用基底向量i、j和k表达向量a和b：
整理向量a和b的叉乘，如下：
则结果为以下行列式值：
下面结合代码计算两个向量的叉乘：
a × b结果如下：
b × a结果如下：
MATLAB计算叉乘函数为cross()，图2.6展示cross()计算叉乘a × b和b × a，并用quiver3() 绘制结果。此外，图2.6用fill3()函数绘制a和b构造平面。
图2.6 向量a和b叉乘
以下代码获得图2.6。
B4_Ch1_1.m
clear all; close all; clc
O = [0, 0, 0];
A = [-2,1,1];
B = [1,-2,-1];
AO = A-O;
BO = B-O;
cross_prod1 = cross(AO,BO)
cross_prod2 = cross(BO,AO)
figure( 1)
points=[ A' B' O'];
h5 = fill3(points(1,:),points(2,:),points(3,:),'b');
h5.EdgeColor = [1 1 1];
h5.FaceAlpha = 0.4; hold on
h1 = quiver3(O(1),O(2),O(3),AO(1),AO(2),AO(3));
h2 = quiver3(O(1),O(2),O(3),BO(1),BO(2),BO(3));
h1.AutoScale = 'off'; h2.AutoScale = 'off';
h1.LineWidth = 1; h2.LineWidth = 1;
h3 =
quiver3(O(1),O(2),O(3),cr oss_prod1(1),cross_prod1(2),cross_prod1(3)); hold on
h4 = quiver3(O(1),O(2),O(3),cross_prod2(1),cross_prod2(2),cross_prod2(3));
h3.AutoScale = 'off'; h4.AutoScale = 'off';
h3.LineWidth = 1; h4.LineWidth = 1;
daspect([1,1,1]); box on; grid off; view(-45,45)
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z')
hAxis = gca;
hAxis.XRuler.FirstCrossoverValue = 0; % X crossover with Y axis
hAxis.YRuler.FirstCrossoverValue = 0; % Y crossover with X axis
hAxis.ZRuler.FirstCrossoverValue = 0; % Z crossover with X axis
hAxis.ZRuler.SecondCrossoverValue = 0; % Z crossover with Y axis
hAxis.XRuler.SecondCrossoverValue = 0; % X crossover with Z axis
hAxis.YRuler.SecondCrossoverValue = 0; % Y crossover with Z axis